第1章 特殊平行四边形 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

面积最大，最大值为1.5m2. 又PE=AB=4cm, 第一章学情评估 ∴.在Rt△PQE中，PQ=√42+4④ 1.B2.D3.B4.B5.B6.B7.C8.A9.A =4√2(cm). 10.C11.AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等 (2)设当运动时间为t秒时，PQ⊥AC. 12.75°13.(4,4)14.2015.矩形 点P,Q的速度都是1cm/s,∴.PD=BQ. 16..'AB=CD,AD=BC, 在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形 AP=QC,.四边形AQCP为平行四边形. ..OA-OC,OB-OD. ∴当AP=PC时，四边形AQCP为菱形，即PQ⊥AC. .OA=OD,∴.OA=OB=OC=OD,即AC=BD. 在Rt△PCD中，PD+DC=PC, .四边形ABCD是矩形 t2+42=(8-t)2,.t=3. 17.(1)CDAD 答：当运动时间为3秒时，PQ⊥AC (2)证明：四边形ABCD是矩形， 23.【阅读理解】 ∴.AD∥BC,AB=CD,AD=BC. 相等.在△ABC和△DBC中，分别作 .AB-BE,EF-AD,CF-CD, AE⊥l2,DF⊥l2,垂足分别为E,F ∴BE=CF,EF=BC, ∠AEF=∠DFC=90°，.AE∥DF. ∴.四边形BEFC是平行四边形， l1∥2， .EF∥BC..AD∥BC,.EF∥AD 图0 .四边形AEFD是平行四边形，，AE 18.(1)证明：：四边形ABCD为正方形， =DF. .BC=DC,∠BCD=∠DCF=9O°， 又.CE=CF.∴.△BEC≌△DFC. 又SaAc=号BC·AE,SaC=号BC·DP, (2)由(1)知，△BEC≌△DFC, '.S△ABC=SADBC. ∴.∠BEC=∠DFC=60°，EC=FC, 【类比探究】 ∴.在Rt△CEF中，∠CEF=∠EFC=45°. 在正方形ABCD中，∠ADC=90°， .∠EFD=∠DFC-∠EFC=60°-45°=15. ∴.EF∥AD,.S△ADE=S△DF, 19.(1)证明：：E是AD的中点，AE=DE. DF∥AC,∠OAD=∠ADF, CE-DE.EFLCD,DF-CD, ,∠AEO=∠DEF,.△AOE≌△DFE(ASA). ,在正方形ABCD中，AD=CD=4, (2)四边形AODF为矩形 理由：，△AOE≌△DFE,AO=DF, ∴SauE=Sam=2 ADX DF=-合X4X2=4, :DF∥AC,四边形AODF为平行四边形， 【拓展应用】 ·四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOD=90°， S△BDF=8. .平行四边形AODF为矩形， 第二章学情评估 20.(1)△EFG是等腰三角形.理由如下： 1.D2.B3.B4.B5.B6.A7.B8.D9.B10.D FG∥CD,∴.∠FGE=∠CEB. 1.-212.-3或2 13.1或414.2√715.2032 △BFE由△BCE折叠得到， ∴.∠CEB=∠FEG. 16.(1)x1=2+√5，x2=2-√5. ∴∠FGE=∠FEG,则FG=FE. (2)x1=4,x2=12. ∴.△EFG是等腰三角形. (3)x1=-3+5 w=二3-6 (2)△BFE由△BCE折叠得到， 2 2 .BF=BC=AD=10. 17.1-2118 AB=6,.AF=8,FD=2, 验证： 在Rt△DEF中，EF=DE2+FD2,EF=EC=6一DE. A-B=3a2-a+1-2a2-a+2=a2-2a+3=(a-1)2 .DE=8 +2, 3 而(a-1)2≥0，则(a-1)2+2≥2， m=×号×2=号 .A-B≥2>0，即A>B. 嘉淇猜测成立. 21.(1)四边形ABCD是平行四边形， 18.(1)证明：由题意，得a=1,b=一4m,c=3m2, .A0=C0. ,∴.△=b2-4ac=16m2-4X1×3m2=4m2, △ACE是等边三角形，∴.EO⊥AC m2≥0，.△=4m2≥0，.该方程总有两个实数根. ∴BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形. (2)设关于x的一元二次方程x2一4mx十3m2=0的两实 (2):△ACE是等边三角形，且EOLAC, 数根为x1,x2,则有x1十x2=4m,x1x2=3m2, .1 ∠AED=z∠AEC=30°， |x1-x2|=2, .(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2=16m2-12m2=4, ∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°， 解得m=士1..m>0,.m=1. .∠ADO=∠AED+∠EAD=45°. 19.(1)2.6(1+x)2 ·四边形ABCD是菱形，∴.DO平分∠ADC, (2)由题意，得4+2.6(1+x)2=7.146, 则∠ADC=2∠ADO=90°. 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）. .四边形ABCD是正方形. 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%. 22.(1)过点P作PE⊥BC于点E,当运动时间为2s时，PD 20.1=-2,x2=1(不合题意，舍去)x1=2,x2=-2 =BQ=2 cm, 当x≥3时，原方程化为x2一x=0, .QE=8-2-2=4(cm), 解得x1=0,x2=1(均不合题意，舍去) 30 一探究在线·九年 当x<3时，原方程化为x2十x一6=0， ..AD-GF-HC-16,BH-BC-HC-5. 解得1=2，x2=-3. :EG∥BH,∴.△AEG∽△ABH. .原方程的根为1=2，x2=一3. AE EG 21.(1)x2-x-12=0; AB BH (2)由题意，得方程x2一3x十c=0的倒方程为cx2-3x十 AE:EB=3:2,AE:AB=3:5. 1=0, ∴.EG=3,EF=EG+GF=3+16=19: 把x=5代入方程cx2-3x十1=0，得25c-15+1=0, 20.(1)图略，M(-1,1). 14 (2)位似比为1：2 :.c=25 (3)图略，P'(-2a,2b). (3)由题意，得方程x2一5x一1=0的倒方程为一x2一5x 21.(1)设DB=xm, 十1=0， m,n是方程-x2一5x十1=0的两个不相等的实数根， AB/CD,部8 .m+n=-5,mn=-1,-n2-5n+1=0. 同理，可相祭器， ∴.n2=1-5n. ∴.2n2-mn-10m=2(n2-5m)-mn=2(1-5n-5m) CD=EF器3. mn=2[1-5(n+m)]-mn=2×[1-5×(-5)]-(-1) 4 5 =53. 六z+427-z-5…x=12. 22.(1)单价每降低2元时，月销售量可增加40件 即小明距离路灯CD有12m. (2)单价降低了x元 2)品-器相品产 4 (3)设每件衬衫降价x元，则根据题意，得 (80-50-x)(200+×40）=7920, ∴.CD=6.即路灯高6m 22.过点P作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于 整理，得x2-20x十96=0， 点R. 解得x1=8,x2=12. ,∠QPE+∠EPR=∠RPF+∠EPR 又要让顾客得到更大的实惠，x=12, =90°，∴.∠QPE=∠RPF, .80-x=80-12=68(元). 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到 R△QPER:/RPF,祭贤器-2 7920元 又：PQ∥BC,.△AQP∽△ABC, 23.(1)24 (2)设CD=x(0<x≤15)m,则BC=45-x-2(x-1)+ 8--脚即品8- QP BC 2BQ4…BQ2’ 1=(48一3x)m,依题意，得 8船是Ap-gac-g×V厚-8 x(48-3x)=180,解得x1=6,x2=10. 23.(1)△ADQ△EPD.证明如下： 当x=6时，48-3.x=48-3×6=30(m),30>27,不合题 'PE⊥DQ,∴∠DEP=∠A=90°， 意，舍去； 四边形ABCD为正方形，∴.DC∥AB 当x=10时，48-3x=48-3×10=18(m),符合题意. .∠PDE=∠DQA,.△ADQc∽△EPD 答：边CD的长为10m (2),AB=4,点Q为AB的中点，∴AQ=BQ=2, (3)不能.理由如下： .DQ=√AD+AQ=42+22=2√5， 设CD=y(0<y≤15)m,依题意，得 :∠PEQ=∠A=90°， y(48一3y)=210,整理，得y2一16y十70=0. .若以点P,E,Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两 .△=(-16)2-4×1×70=256-280=-24<0， 种情况， 该方程没有实数根。 ∴.饲养场的面积不能达到210m2. ①当△ADQ△EPQ时，铝-器-2， 第三章学情评估 设EQ=x,则PE=2x,DE=2√5-x, 1.D2.D3.B4.B5.A6.B7.A8.D9.D10.C 由(1)知，△ADQc∽△EPD, 1.8 12.113.(2,-6)14.①②③15.√85 器铝华-兰 2 16.(1)AD=9 (2)CAABP=9. ∴.DE=√5，DP=√(2√5)2+(W5)2=5; 17.点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点， ②当△ADQ∽△EQP时，设EQ=2a,则PE=a, ∴.DE,DF,EF是△ABC的中位线. 器-器-器= 同理，可得25.20-号-日 a .△ABCc∽△FDE. a=号5，∴DE-25-8y5=25 5 18.(1)相似.理由：由AD∥BC,得∠ADB=∠DBC, 又BD⊥DC,.∠A=∠BDC, DP-/DP-V(2g）'+(g=2 ∴.△ABD∽△DCB. 综上所述，DP的长为2或5时，以点P,E,Q为顶点的三 (2②由△ABD△DCB,得品認， 角形与△ADQ相似. 期中学情评估 .BD=AD·BC=4×9=36,.BD=6. 1.B2.C3.C4.B5.D6.C7.B8.C9.C10.B 19.过点A作AH∥DC交EF于点G,交BC于点H. .AD∥EF∥BC, 1.22+x-1=012.613.号14.号15.116.号 级数学（上）·BS一第一章学情评估 评估内容：特殊平行四边形 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.下列命题是真命题的是 A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.如图，四边形OBCD是正方形，O,D两点的坐标分别是 (0,0),(0,6),点C在第一象限，则点C的坐标是( 警 密 A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6) D 0 第2题图 第3题图 第4题图 数 封 3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB, CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 ( 5 B.4 c 4.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等 ) 线 边三角形.若AB=2,则OE的长度为 9 B.√6 C.22 D.√3 郭 5.(中考·广州)如图，菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的面积 为 A. 2 B.5 C.4 D.8 第5题图 第6题图 6.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC= 60°，则四边形ABCD的面积为 () A.9 B.6√3 C.12 D.12√3 7.已知：如图①，四边形ABCD是菱形，在直线AC上找两点 E,F,使四边形FBED是菱形，则甲、乙两个方案( C E A B B B 图① 甲：令AF=CE乙：作DF⊥AD交AC于点F, 作BE⊥BC交AC于点E A.甲对，乙错 B.乙对，甲错 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 8.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 则下列四个判断中错误的是 A.四边形ADEF不一定是平行四边形 B.若∠A=90°，则四边形ADEF是矩形 C.若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等腰三角形 D.若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形 B E 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,CE BD,垂足为E,CE=5,且EO=2DE,则AD的长为() A.5√6 B.6√5 C.10 D.6√3 10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上， △AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G,下列结论： ①BE=DF;②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF;④BE+ DF=EF.其中正确结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.(中考·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足 为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 .(（只 需写出一个条件即可) 一探究在线·九年级数学（上）·BS 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE,则 ∠BAE的度数是 13.如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8， 2),点D的坐标为(0,2)，则点C的坐标为 14.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是 AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长 是 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,AE是 △BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E,则四边形 ADCE的形状是 三、解答题（共8题，共90分） 16.(本题满分8分)如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证：四边 形ABCD是矩形. 17.(本题满分10分)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD,把 边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会 发生改变（四边形具有不稳定性） (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线 段EB由AB旋转得到，所以EB=AB.我们还可以得到 01 FC- ,EF=; (2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD,请证明这一结论 18.(本题满分10分)如图，在正方形ABCD中，E是CD边上 一点，F为BC延长线上一点，CE=CF (1)求证：△BEC≌△DFC: (2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数. 19.(本题满分12分)（中考·遂宁）如图，在菱形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,点E是AD的中点，连接OE,过 点D作DF∥AC交OE的延长线于点F,连接AF. (1)求证：△AOE≌△DFE; (2)判定四边形AODF的形状并说明理由. 02 20.(本题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E在CD边 上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处， 过点F作FG∥CD交BE于点G. (1)判断△EFG的形状，证明你的结论； (2)若AB=6,AD=10,求△DEF的面积. 21.(本题满分12分)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD交 于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形. 22.(本题满分12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm, BC=8cm,点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P,Q的速度都是1cm/s. (1)连接PQ,当运动时间为2s时，求线段PQ的长； (2)连接PQ,AC,在运动过程中，当运动时间为多少秒时， PQ⊥AC? 一探究在线·九年级数学（上）·BS 23.(本题满分14分)【阅读理解】如图①，l1∥12，△ABC的面 积与△DBC的面积相等吗？为什么？ 图 图② 图③ 【类比探究】问题1：如图②，在正方形ABCD的右侧作等 腰△CDE,CE=DE,AD=4,连接AE,求△ADE的面积. 解：过点E作EF⊥CD于点F,连接AF. 请将余下的求解步骤补充完整. 【拓展应用】问题2：如图③，在正方形ABCD的右侧作正 方形CEFG,点B,C,E在同一直线上，AD=4,连接BD, BF,DF,直接写出△BDF的面积.