2.4 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

4mr+4m十1-4m2-8>0,解得m>子 24÷2=12. 答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于 故m的取值范图是m>子。 墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米。 (2)不能 (2)设x1,x2是方程x2-(2m十1)x+m2+2=0的两个 实数根， 拓展在线 8.C 则x1十x2=2m十1，x1x2=m2+2. x+x=13,.(x十x2)2-2x1x2=13. 第2课时利用一元二次方程解决利润问题 .(2m+1)2-2(m2+2)=13. 基础在线 1.B2.B .m2+2m-8=0. 解得m1=2,m2=一4. 3.(1)100 (2)设二月份到四月份盈利的月平均增长率为x,根据题 m≥ 4心m=-4舍去。 意，得 故m=2. 100(1+x)2=121.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符 4一元二次方程的应用 合题意，舍去) 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 ∴二月份到四月份盈利的月平均增长率为10%. 基础在线 4.B 1.B 5.设每台冰箱应降价x元，由题意，得 2.设需要xh缉私艇能在B处拦截住可疑船只，则 (2400-200-z)(8+0) =4800. OB=75x n mile,AB=60x n mile, 在Rt△ABO中，∠A=90°，由勾股定理，得 整理，得x2-300x+20000=0, OB2=OA2+AB2,即(75x)2=302+(60x)2, 解得x1=100,x2=200, 解得=号=一号（合去）. 要使百姓得到实惠，取x=200. 答：每台冰箱应降价200元. 答：需要子h缉私艇能在B处拦截住可疑船只。 能力在线 6.20%7.C 3.设硬化路面的宽为x米，依题意，得 8.(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x, (80-4x)(60-2x)=5×80×60. 根据题意，得 8 1000(1十x)2=1440,解得x1=0.2,x2=-2.2, 解得x1=5,x2=45. 经检验，x=0.2=20%符合本题要求. 当x=5时，80-4x=80-4×5=60>0.符合题意； 答：该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率为20%， 当x=45时，80-4x=80一4×45=一100<0，不符合题 (2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区，由题意，得 意，舍去。 80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)， 答：硬化路面的宽为5米. 4.设AB=x米，则AD-242-(12-号)米，依题意，得 解得<188 y为正整数，最多可以改造18个小区 (12-号=40，解得五=4=20， 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区， 9.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,将点(1， 又，0<x≤18， ∴x2=20应舍去，只取x1=4. 110),(3,130)代入一次函数关系式，得 答：要围成面积为40平方米的自行车棚，那么AB的长为 110=k+b,解得 k=10, 130=3k+b, b=100, 4米， 5.(1)2t(5-t) 故函数的关系式为y=10x十100， (2)存在.由题意可得 (2)由题意，得(10x+100)×(55-x一35)=1760， 2t(50=4,解得=1,2=4（不符合题意，舍去）， 整理，得x2-10x-24=0. 2 解得x1=12,x2=一2（舍去）.所以55一x=43 .当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2 答：这种消毒液每桶实际售价43元. 能力在线 拓展在线 6.(1)设原正方形空地的边长为xm,依题意，得 10.(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量 (x-4)(x-5)=650, 为(2x-100)吨，由题意，得 解得x1=30,x2=一21（不合题意，舍去）. x+(2.x一100)=800，解得x=300, 答：原正方形空地的边长为30m. ∴.2x-100=500 (2)设小道的宽度为ym,依题意，得 答：4月份再生纸的产量为500吨. (30-y)(30-1-y)=812, (2)由题意，得 解得y=1,2=58(不合题意，舍去) 答：小道的宽度为1m. 500(1+m%)·1000(1+2%）=660000, 7.(1)设每个生态园垂直于墙的边长为x米，根据题意，得 解得m%=20%或m%=-3.2(不合题意，舍去)， x(33+1.5×2-3.x)=48×2, .m=20,.m的值为20. 整理，得x2-12x十32=0， (3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5 解得x1=4,x2=8(不合题意，舍去)， 月份再生纸的产量为a吨， 当x=4时，33+1.5×2-3x=24, 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, 一探究在线·九年 .1200(1+y)2=1500. 则x-2=士2W2,.x1=2十22，x2=2-2√2； 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元 ④因式分解，得(x十2)(x一2)=0， 微专题6一元二次方程的应用 则x十2=0或x-2=0,解得x1=-2,x2=2. 1.C2.9 6.C7.k≤18.3 3.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 9.(1)由题意可得△=(2m)2-4(m2+m)≥0， 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去). 解得m≤0，即实数m的取值范围是m≤0. 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)由x+x号=12可得(x1+x2)2-2x1x2=12. (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， x1十x2=-2m,x1x2=m2十m, 由题意，得 .(-2m)2-2(m2+m)=12, (125-25×2)m+80(100-m)≤7800. 解得m=3或m=一2. ∴.75m+8000-80m≤7800，解得m≥40， :m≤0，.m=一2，即m的值为-2. .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件. 10.A 答：最少购进甲种商品40件. 11.(1)由题意可知，y是x的一次函数. 4.A 设y与x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 5.设小路的宽度为xm,由题意，得 把(52,760)，(53,740)分别代入，得 (20-4知)14-4知)=24X9,解得x=2或x=8(舍去). 805政十解号伦1心 答：小路的宽度为分m y与x的函数表达式为y=-20x+1800(50≤x≤ 75). 6.(1)28 (2)根据题意，得(x一50)y=6000: (2)在运动过程中△DPQ的面积不能为26cm.理由如下： ∴.(x-50)(-20x+1800)=6000.解得x1=60,x2=80. 根据题意，得AP=t,BQ=2t, .50≤x≤75，.x=60. .BP=AB-AP=4-t,CQ=BC-BQ=12-2t. 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 当SADPQ=S矩形AcD-SAcQ一SADP一SAPBQ=26时， 12.(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为 6X12-2×6×(12-20- x12-合(6-0×2=26， (35+x)m,宽为(15十x)m,根据题意，得 (35+x)(15十x)=800, 整理，得t一6t十10=0， 整理，得x2十50x一275=0. △=6-4ac=36-40=-4<0, 解得x1=5,x2=一55（不符合题意，舍去）， ∴.方程无实数根.∴△DPQ的面积不可能为26cm2. .35+x=35+5=40,15+x=15+5=20. (3)6或号 答：新的矩形绿地的长为40m、宽为20m. (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为 7.B8.C (35十y)m、宽为(15十y)m,根据题意，得 9.(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得 (35+y):(15+y)=5:3, 1十x十x(1十x)=81,解得=8,2=一10（不合题意，舍去）. 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15, 答：每轮感染中平均1人会感染8人 .(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500. (2)81×(1+8)=729(人)，729>700. 答：新的矩形绿地面积为1500m2, 答：若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的人会超 核心素养提升 过700人 13.(1)设所求方程的根为y,则y=一x, 10.13 所以x=一y. 11.设共有x个队参加比赛， 把x=一y代入已知方程x2十x-2=0, 根据题意可知，x(x一1)=45， 得(-y)2+(-y)一2=0， 化简，得y2-y一2=0. 解得x=10或x=-9(舍去). 故所求方程为y2-y-2=0. 答：共有10个队参加比赛. 12.84 (2)设所求方程的根为，则之=子，所以x=子 13.设这个最小数为x,根据题意，得 把x=上代入方程ax2+bx十c=0,得 之 x(x+8)=65. 解得x1=5,x2=一13（不符合题意，舍去）. a(2)》+6:2+=0, 答：这个最小数为5. 去分母，得a十bz十c22=0. 单元综合复习（二）一元二次方程 若c=0,则ax2十bx=0,于是方程ax2十bx十c=0有一个 热门考点突破 根为0，不符合题意。 1.D2.13.D4.A 所以c≠0， 5.①移项，得x2+2x=1, 故所求方程为cz2+bz十a=0(c≠0). 配方，得x2+2x+1=1十1，即(x+1)2=2, 第三章图形的相似 则x十1=±√2， 1 相似多边形 ∴.x1=-1十√2，x2=-1-√2； 第1课时相似多边形的定义 ②因式分解，得x(x-3)=0,则x=0或x一3=0， 基础在线 解得x1=0,x2=3; ③配方，得x2-4x十4=4十4，即(x-2)2=8, 1.号2.A3B4A5.46.B7D 级数学（上）·BS 21一元二次方程的应用 ©第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 基础在线> 知识要点分类练 积的，求硬化路面的宽。 知识点1一般图形问题 停车区 停 停 1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的 车区 车区 面积为6平方米，若设它的一条边长为x米，则 域 域 根据题意可列出关于x的方程为 () A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 2.(教材P52随堂练习变式)如图，某海关缉私艇 在点O处发现其正北方向30 n mile的A处有 一艘可疑船只，测得它正以60 n mile/h的速 知识点3 围墙问题 度向正东方向航行，随即调整方向，以 4.如图，学校准备在图书馆后面的场地边建一个 75 n mile/h的速度准备将其拦截.问：需要多 自行车棚，一边利用图书馆的后墙（墙长 长时间缉私艇能在B处拦截住可疑船只？ 18米)，现有总长为24米的铁围栏，如果要围 成面积为40平方米的自行车棚，那么AB的 北 长为多少米？ 图书馆 知识点2边框与甬道问题 知识点4动点问题 3.在一块长80米、宽为60米的长方形空地上修 5.△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=6cm, 建一个停车场，停车场的中间有三个大小相同 点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s 的长方形停车区域，其余部分铺成硬化路面 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 (如图所示)，要求这些硬化路面的宽都相等， BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果点 并且三个停车区域面积的和是长方形空地面 P,Q分别从点A,B同时出发，当点Q运动到 第二章40 点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒. 7.如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三 (1)填空：BQ= cm,PB= cm 边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态 (用含t的代数式表示)； 园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的 (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于 一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园 4cm?若存在，请求出此时t的值；若不存 的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽 在，请说明理由. 忽略不计) (1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生 态园各边的长； (2)每个生态园的面积 (填“能”或“不 能”)达到108平方米. ②能力在线> 具方法规律综合练 6.如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方 形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减 少了4m,另一边减少了5m,剩余部分面积为 650m2. (1)求原正方形空地的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度 考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空 地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成 宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花， 如果栽种鲜花区域的面积为812m2,求小道的 3 拓展在线》培优拨尖提升练 宽度 5 m 8.如图①，矩形ABCD中，E为BC的中点，点P 650m 沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距 离为x,PA一PE=y,图②是点P运动时y随 x变化的关系图象，则BC的长为 () 图① 图② B P E 图① 图② A.4 B.5 C.6 D.7 41探究在线九年级数学（上）·BS