2.2 第3课时 用公式法解一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第3课时 用公式法解一元二次方程 ①基础在线沙 知识要点分类练 7.（中考·四川)若关于x的方程x2一2x十m=0 有两个相等的实数根，则实数m的取值为 知识点1 一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程x2+4x十2=0的根的判别式的 8.(曲靖期末)李大爷准备修建一个养殖园，饲养 值为 ) 鸡、鸭、鹅三种家禽.如图，李大爷用隔离网围 A.8 B.24 C.2√2 D.±2√2 成一个一边靠院墙的矩形养殖园，并且在中间 2.已知关于x的一元二次方程2x2+ax十1=0的 增设了两道隔离网.已知矩形的边AD,BC和 根的判别式的值为8，则a的值为 两道隔离网均与院墙垂直，若隔离网总长为 知识点2用公式法解一元二次方程 40m,则养殖园的面积能否达到120m?若 3.若x=2士4X3x-D是某个一元二次 2×3 能，求出AB的长；若不能，请说明理由。 方程的根，则这个一元二次方程可以是（) A.3x2+2x-1=0B.2x2+4x-1=0 C.-x2+2x十3=0D.3x2-2x-1=0 4.用公式法解下列方程： (1)3y2-y-2=0; (2)2x2+1=3x. 易错点用一元二次方程根的判别式时易忽 略二次项系数不为0 9.已知关于x的一元二次方程(k十1)x2十2x一1=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 知识点3利用根的判别式判断根的情况 能力在线》 方法规律综合练 5.(中考·兰州)若关于x的一元二次方程x2十 2x十a=0有两个不相等的实数根，则a的值 10.一元二次方程2x2一2x一1=0的较大实数根 可以是 ( ) 在下列数轴中哪个范围之内 A.3 B.2 C.1 D.0 6.(中考·广东)不解方程，判断一元二次方程 A B 2x2+x一1=0的根的情况是 2101002 C D 29探究在线九年级数学（上）·BS 11.新定义运算：a※b=a2一ab+b,例如2※1= 22一2×1+1=3，则方程x※2=5的根的情 况为 () A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 12.(中考·东营)若关于x的方程(k2一1)x2十 (+1)z+}-0无实根，则k的取值范固是 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 13.用公式法解下列一元二次方程： (1)3x2-4√3x+2=0; 15.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到 的一个图形，a,b,c是全等的Rt△ABC和 Rt△BED的边长，易知AE=√2c,这时我们 把形如ax2十√2cx十b=0的一元二次方程称 1 为关于x的“勾系一元二次方程”.请解决下 (2)- 3x2+2x=(x+2)(x十3). 列问题： (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax 十√2cx十b=0必有实数根； (2)若x=一1是“勾系一元二次方程”ax2+ √2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周 14.已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x 长是12，求△ABC的面积 的方程x一mx+受=0的两个根 2c (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 求出此时菱形的边长； B b D (2)若AB的长为2，则□ABCD的周长是多少？ 第二章30:.CD-BD-AD-7AB, .AF∥BC,.∠AFE=∠DCE. ∠AFE=∠DCE, ∴∠DCB=∠B. 在△AEF和△DEC中， ∠AEF=∠DEC, 又：∠EFD=∠B,∴∠DCB=∠EFD, AE-DE, .EF∥BC. .△AEF≌△DEC(AAS),∴.AF=CD (2)由题意，知∠B=90°-65°=25°， D是BC的中点，.CD=BD,.AF=BD .EF∥BC,.∠FED=∠B=25°， ∴.四边形ADBF是平行四边形. .∴.∠AEF=180°-∠FED=155° ∠BAC=90°，D是BC的中点， 14.(1)证明：CE∥BD,EB∥AC, .四边形OBEC为平行四边形. .AD-BD-BC. 四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD, ∴.四边形ADBF是菱形， .∠BOC=90°，∴四边形OBEC为矩形， (2)连接DF交AB于点O,如图 ..OE=CB. 由(1)知，四边形ADBF是菱形 (2)16 15.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，FH⊥BH 又S即=合AB·DF=40, ∠ABE=90°，AB=BC,∠EHF=90°. :∠AEF=90°，∠AEB+∠FEH=90° 即2DFX8=40,DF=10, 而∠AEB+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠FEH. 由(1)知，AF=CD,AF∥CD, 又.EF=AE,.△ABE≌△EHF ∴.四边形AFDC为平行四边形， .'BE=FH,AB=EH, ∴.AC=DF=10 ∴.AB=BC=EH,则BC-EC=EH-EC 3.30 .'BE=CH. 4.(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 (2)作FP⊥CD于点P,连接DF,由(1) 线，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 可知EH=AB,∴.CE=3-x. .线段DF与EF也为△ABC的中位线， ..CH=FH=FP=x, .DF∥AC,EF∥AB, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ∴.PD=3-x,DF=√/x2+(3-x)2=√2x2-x+9, ∴AF与DE互相平分. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 1.(1)A (2)当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形.理由如下： (2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所 求作. ~线段DE为△ABC的中位线，：DE=号BC, 证明：设AO=a,则AB=BC=CD=AD 由(1)知，四边形ADFE为平行四边形，若口ADFE为矩 =√2a, 形，则AF=DE, .AE=AF=BG-BH=CI=CI=DK- DL=AO=a, :当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形。 ..AL=AG=BF-BI=CH=CK=DJ=DE=2a-a, 5.36.√67.C8.C9.603 ∠ALG=∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH= 10.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠DJE=∠DEJ=45°. ∴.AD∥BC,∠ADC=∠C=90°. ∴.GL=FI=HK=EJ=2a-√2a. EF∥DC,∴.四边形EFDC为平行四边形 ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ= 'DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∠KJE=∠JEL=135. .AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, ,LE=AD-AL-DE=√2a-(√2a-a)-(√2a-a)= .∠CDE=∠DEC, CD=CE,∴.四边形EFDC是菱形， 2a-√2a, 又：∠C=90°，.平行四边形EFDC是正方形. 同理可得GF=IH=KJ=2a-√2a, (2)由(1)知四边形EFDC为正方形， ..GF=FI=IH=HK-KJ=JE=EL=LG. ∴.CD=CE,∠C=90°， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形 在Rt△CDE中，CE2+CD2=ED,ED=2√2， 2.1号 ..CD=CE=2, (2)如图. 在Rt△BCD中，BC=1+2=3,CD=2, .BD=BC2+CD2=V13 核心素养提升 11.512.5+/37 第二章一元二次方程 图③ 1认识一元二次方程 (3)60 第1课时 一元二次方程 单元综合复习（一）特殊平行四边形 基础在线 热门考点突破 1.C2.C3.m≠-14.C5.x(x+2)=1686.-1 1.D 能力在线 2.(1)证明：E是AD的中点，.AE=DE 7.D8.1 一探究在线·九年 拓展在线 拓展在线 9.(1)m=-2. 17.1 (2)m≠±2. 第2课时用配方法解二次项系数不为1 第2课时 一元二次方程解的估算 的一元二次方程 基础在线 基础在线 1.B2.43.D4.-4.3 1.2x2-4x=6x2-2x=3x2-2x十12=3+12 能力在线 (x-1)2=4x-1=士23-1 5.B6.x2-3x十2=0（答案不唯一） 2.C3.C 7.(1) x 2 3 40-3a=32 2 x2一3x一1 -3-3 3 (2)x1=8+2√13，x2=8-2W√13. 4 5.-11 3.1 3.2 3.3 3.4 6.小明从步骤①开始出错，小刚从步骤②开始出错 x2-3x-1-0.69-0.36-0.010.36 正确的做题步骤如下： 3.33.4 2x+号x+1=2(x+3x+日)=2[x+3x+(6) (2)33 8.由题意知，a-2≥0,2-a≥0， -()+]=2(+)'+路 故a=2,.b=1. ,方程的一个根是1，a十b十c=0,c=一3. (+)≥0 此一元二次方程为2x2+x一3=0. 拓展在线 2(+）+>0 9.B 2一元二次方程的解法 不论x取什么实数，22+号x+1的值一定是一个正数 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 能力在线 基础在线 7.C8.B9.√2±110.7 1.C2.D 11.(1)x=2√2+√6，x2=2√2-√6. 3.(1)= 3一③ (2)原方程无实数根. 3 12.(1)当h=0时，20t-5t2=0,即2-4t=0,(t-2)2=4, (2)1=-6,x2=-14. 解得t=0或t=4. 465,-46.c 故经过4秒后足球回到地面 (2)由题意，得20t-5=15,即(t-2)2=1, 7.(1)x2+10x+25=-16+25, 解得t=1或t=3. (x+5)2=9, 故经过1秒或3秒时足球的高度为15米. x1=-2,x2=-8. (3)不能.由题意，得20t-5t=21, (2)x2+4x+4=-3+4, 即(t-2)2=- 5<0，此时方程没有实数根， 1 (x+2)2=1, x1=-1,x2=一3. ∴足球的高度不能达到21米。 3x-3x+(-)°=4+(-多)”， 拓展在线 13.设公共实数根为m,则am2+bm十c=0①，bm2+cm+a =0②，cm2+am+b=0③. ①+②+③，得(a+b十c)(m2+m+1)=0. x=4,x2=-1. 8.二x1=-3,x2=-9 m+m+1-(m+2)》'+>0, 9.上述解答过程不正确.正确的解答过程如下：x2十8x一5=0. ∴.a+b+c=0,∴.c=-(a+b), 移项，得x2+8x=5.配方，得x2十8x十16=5十16， 原式=Q++c=。+-(a+b2=-3ab(a+b 即(x十4)2=21.两边开平方，得x十4=士√21， abc abc abc =3. x1=-4+√2I,x2=-4-√/21. 第3课时用公式法解一元二次方程 能力在线 基础在线 10.C11.1或-312.2或-613.314.1或-3 1.A2.±43.D 15.(1)a=-1,x2=2.(2=-8, 3,x2=4. 4.1n=-号为=1.(2)a=2=1 2 1 (3)x1=-1+√5，x2=-1-√5. 5.D6.有两个不相等的实数根7.1 16.设花边宽度是xcm,依题意，得 8.养殖园的面积不能达到120m2.理由如下： (60+3.x)(20+2x)=2250, 设AB=xm,:隔离网的总长为40m, 整理，得 x2+30x-175=0, AD-40 m. 4 解得x1=5,x2=-35(不合题意，舍去) 答：花边的宽度是5cm. 根据题意，得工.40-2=120， 4 级数学（上）·BS一 19 整理，得x2-40x十480=0， 8.D9.A △=(-40)2-4X1×480=-320<0, 能力在线 ∴该方程无实数根 10.C11.C12.C13.-1或2 .养殖园的面积不能达到120m. 14.(1)x1=2.5,x2=0.5. 9.k>-2且k≠-1 能力在线 3 °=36 (2)x1=3+6 3 10.B11.D12.k≤-1 （3)x1=-3,x2=-9. 13.1).x=23+ ,=23-6 15.(1)(x+2)(x+4)(x-10)(x+3) 3 3 (2)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x十1)=0， (2)原方程无实数根. 14.(1):四边形ABCD是菱形， 2x-5=0或2x+1=0,=号函=-合 ∴AB=AD,即方程t一mx十受-冬-0有两个相等的 拓展在线 16.(1)设HG的长为xm, 实数根， ,矩形CDEF、矩形AGHE和矩形BFHG面积相等， ∴4=(-m2-4(受-）=m-2m+1=m-1y=0, CF-DE-TAE.AE-GH-BF.CD-EF-AB. .m=1. 2x,AB=34-4x .BC=3 故当m=1时，四边形ABCD是菱形， 3 把m=1代入方程，得2-x+子=0， 由题意，得受·与红-， 3 解得==分， 解得五=3，西-号（不符合题意，舍去， “此时菱形ABCD的边长是号 答：HG的长为3m. (2)嘉嘉的说法是正确的，理由如下： (2)把x=2代入原方程，得4一2m+罗-子=0， 设HG的长为ym,则BC-子ym,AB=4与m, 3 解得加=多， 由题意，得号·34与y=36, 3 把m=号代人原方程，得2-号x十1=0， 9 解得=4，=2（不符合题意，舍去)， 解得=2=名AD= 当y=4时，BC=6m,AB=6m,此时矩形ABCD是正方形； 嘉嘉的说法是正确的. “DABCD的周长是2×(2+号)=5. 微专题4一元二次方程的解法 拓展在线 1.C2.C3.C4.x1=-2+√6，x2=-2-√6. 5.D 6.（1)x1=0,x2=2. 15.(1)证明：△=(W2c)2-4ab=2c2-4ab. .a2+b2=c2, （2==号 ∴.2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0， 7.D ∴.关于x的“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有 实数根. 8.(1)x=7+13 6 =71E 6 (2)当x=-1时，有a-√2c+b=0, 3 (2)x1=2x=-2 ∴.a+b=√J2c. 四边形ACDE的周长是12， 9.B 10.(1)降次. .2a十2b+√2c=12,∴.2(a+b)+√2c=12, (2)设x2十x=y, .c=2√2，.a十b=4,a2+=c2=8. 原方程化为y(y-14)+24=0. 又.(a+b)2=a2+2ab+b, 解得y1=12,y2=2. .16=8+2ab,∴.ab=4, 当y=12时，x2+x=12,解得x=3或-4； Sc=7b=2. 当y=2时，x2十x=2,解得x=一2或1. .原方程的解是x1=3,x2=一4，x3=一2，x4=1. 第4课时用因式分解法解一元二次方程 11.原方程即[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=48, 基础在线 即(x2-5x+4)(x2-5x+6)=48, 1.A2.D3.x1=0,x2=4 设y=x2-5x+5,则原方程变为(y-1)(y+1)=48. 4.(1)x1=0,x2=-16. 解得y1=7,y2=-7. (2)x1=x2=1. 当x2-5x+5=7时， 5.D6.(1)①(2)④⑥(3)③⑤(4)② 7.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 解得4=5+)y压，4=53 2 2 6)m.由题意，得 当x2-5x+5=-7时，x2-5x+12=0,6-4ac= π(r+6)2=2xr2, (-5)2-4×1×12=一23<0，方程无实数根. 解得n=6十6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. ·原方程的实数根为=5十√3， 2=5-V33 2 20 一探究在线·九年 12.C13.B 3.(1).a=1,b=2,c=1,且b-4ac=4-4=0, 14.1)a=-3+页，，=-3,2② 3 3 函十=-合=-2，=名=1 a (2)a=1,b=√2，c=-3,且b-4ac=2+12=14>0, (2)x1=√5，x2=-√5 ∴西十=-名=-厄，w-=-3, (3)x=②+6 4 =②-6 4 (3)方程化为5x2+x-3=0, 阶段测评2(2.1一2.2) a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, 1.A2.C3.C4.A5.C6.D7.x2-9x-1=0 a 5西2=￡=一3 5 8.2+x-2=09.号或110.-203011.1 4.C5.16.-号7.10 3 12.-3或-合 8.(1)m十n=6,mn=7.(2)原式=2.(3)原式=22. 13.(1)直接开平方法：将原方程整理，得(4x一1)2=9，由此 9.A10.211.D 可得4x-1=3,或4x-1=-3, 能力在线 即=1a=-分 12.C13.B14.D15.1016.6 17.(1),一元二次方程x2-4x-2m十5=0有两个不相等 (2)公式法：将原方程整理，得 的实数根， 2x2+8x-1=0. 因为a=2,b=8,c=-1,所以 A=16-4(-2m+5)>0,解得m>2, 1 b2-4ac=82-4X2×(-1)=72>0, (2)设该方程的两个根分别为x,x2, 方程有两个不相等的实数根， 该方程的两个根都是符号相同的整数， x=-8±Y厘=-4±32 .x1x2=-2m+5>0,x1+x2=4, 2×2 2 <m<号， 即1=二4+32 2 x=二4-3v2 2 .m的值为1或2， (3)因式分解法：左边分解因式，得 当m=1时，方程两个根为x1=1,x2=3; 4x(2x-1)=3(1-2x). 当m=2时，方程两个根x1与x2不是整数. 将方程转化为4x(2x-1)+3(2x一1)=0. .m的值为1. 整体分解因式，得(2x-1)(4x十3)=0. 拓展在线 于是2x-1=0,或4x十3=0. 18是 -2 即=分=一是 1 (2)由题意知，n十n=号，m=-合， 3 14.(1):在方程4x2-4m.x十m2-1=0中， △=(-4m)2-4×4×(m2-1)=16>0, ”+m=m+m2-2mn=-13 m n mn 2 ∴.方程4x2一4m.x十m2一1=0有两个不相等的实数根. (3)实数5，t满足2s2-3s-1=0,2:-3t-1=0, (2)将x=2代入原方程中，得16-8m十m2一1=0， .s,t可以看作是方程2x2-3x-1=0的两个根， 即m2-8m=-15, s十t=3 1 ∴.-m2+8m-3=-(m2-8m)-3=12 ,t=-2 15(1)设t秒后点P,D的距离是点P,Q距离的2倍， ∴.PD=2PQ. (1-02=(+)2-4t=7 4 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°. =9孩亚 2 .'PD2=AP2+AD2 PQ=BP2+BQ. .PD2=4PQ. 当0<t≤5时， .82+(2)2=4[(10-2t)2+]. 当一=-四时，1-上=m. 2 s t st 解得=3,2=7（舍去）. 答：3秒后，点P,D的距离是点P,Q的距离的2倍 综上所述，}-的值为VT或-7。 (2)不存在，理由如下： 微专题5根的判别式及根与系数的关系的应用 设x秒后，△DPQ的面积是16cm2, 1.C2.A3.四 'S△DPQ=S矩形ABcD-SAADP-S△BQp-S△DCQ, 4.,一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， ∴7×8×2z+210-2a）·x+号8-0x10=80-16. .k<0,b>0..bk<0..-bk>0. :方程bx2-2x+k=0中，△=(-2)2-46k=4-4bk>0, 整理，得x2-8x十24=0 ∴方程有两个不相等的实数根 .△=(-8)2一4×24=一32<0，.该方程无解， .不存在时间t使得△DPQ的面积是16cm2. 5.A6.D7.B8.9.D 3一元二次方程的根与系数的关系 10.(1)”一元二次方程x2-(2m+1)x十m2+2=0有两个 基础在线 不相等的实数根， 1.D2.A .△=-4ac=[-(2m十1)]2-4X1×(m2+2)>0. 级数学（上）·BS一