2.2 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

:.CD-BD-AD-7AB, .AF∥BC,.∠AFE=∠DCE. ∠AFE=∠DCE, ∴∠DCB=∠B. 在△AEF和△DEC中， ∠AEF=∠DEC, 又：∠EFD=∠B,∴∠DCB=∠EFD, AE-DE, .EF∥BC. .△AEF≌△DEC(AAS),∴.AF=CD (2)由题意，知∠B=90°-65°=25°， D是BC的中点，.CD=BD,.AF=BD .EF∥BC,.∠FED=∠B=25°， ∴.四边形ADBF是平行四边形. .∴.∠AEF=180°-∠FED=155° ∠BAC=90°，D是BC的中点， 14.(1)证明：CE∥BD,EB∥AC, .四边形OBEC为平行四边形. .AD-BD-BC. 四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD, ∴.四边形ADBF是菱形， .∠BOC=90°，∴四边形OBEC为矩形， (2)连接DF交AB于点O,如图 ..OE=CB. 由(1)知，四边形ADBF是菱形 (2)16 15.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，FH⊥BH 又S即=合AB·DF=40, ∠ABE=90°，AB=BC,∠EHF=90°. :∠AEF=90°，∠AEB+∠FEH=90° 即2DFX8=40,DF=10, 而∠AEB+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠FEH. 由(1)知，AF=CD,AF∥CD, 又.EF=AE,.△ABE≌△EHF ∴.四边形AFDC为平行四边形， .'BE=FH,AB=EH, ∴.AC=DF=10 ∴.AB=BC=EH,则BC-EC=EH-EC 3.30 .'BE=CH. 4.(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 (2)作FP⊥CD于点P,连接DF,由(1) 线，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 可知EH=AB,∴.CE=3-x. .线段DF与EF也为△ABC的中位线， ..CH=FH=FP=x, .DF∥AC,EF∥AB, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ∴.PD=3-x,DF=√/x2+(3-x)2=√2x2-x+9, ∴AF与DE互相平分. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 1.(1)A (2)当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形.理由如下： (2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所 求作. ~线段DE为△ABC的中位线，：DE=号BC, 证明：设AO=a,则AB=BC=CD=AD 由(1)知，四边形ADFE为平行四边形，若口ADFE为矩 =√2a, 形，则AF=DE, .AE=AF=BG-BH=CI=CI=DK- DL=AO=a, :当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形。 ..AL=AG=BF-BI=CH=CK=DJ=DE=2a-a, 5.36.√67.C8.C9.603 ∠ALG=∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH= 10.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠DJE=∠DEJ=45°. ∴.AD∥BC,∠ADC=∠C=90°. ∴.GL=FI=HK=EJ=2a-√2a. EF∥DC,∴.四边形EFDC为平行四边形 ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ= 'DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∠KJE=∠JEL=135. .AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, ,LE=AD-AL-DE=√2a-(√2a-a)-(√2a-a)= .∠CDE=∠DEC, CD=CE,∴.四边形EFDC是菱形， 2a-√2a, 又：∠C=90°，.平行四边形EFDC是正方形. 同理可得GF=IH=KJ=2a-√2a, (2)由(1)知四边形EFDC为正方形， ..GF=FI=IH=HK-KJ=JE=EL=LG. ∴.CD=CE,∠C=90°， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形 在Rt△CDE中，CE2+CD2=ED,ED=2√2， 2.1号 ..CD=CE=2, (2)如图. 在Rt△BCD中，BC=1+2=3,CD=2, .BD=BC2+CD2=V13 核心素养提升 11.512.5+/37 第二章一元二次方程 图③ 1认识一元二次方程 (3)60 第1课时 一元二次方程 单元综合复习（一）特殊平行四边形 基础在线 热门考点突破 1.C2.C3.m≠-14.C5.x(x+2)=1686.-1 1.D 能力在线 2.(1)证明：E是AD的中点，.AE=DE 7.D8.1 一探究在线·九年 拓展在线 拓展在线 9.(1)m=-2. 17.1 (2)m≠±2. 第2课时用配方法解二次项系数不为1 第2课时 一元二次方程解的估算 的一元二次方程 基础在线 基础在线 1.B2.43.D4.-4.3 1.2x2-4x=6x2-2x=3x2-2x十12=3+12 能力在线 (x-1)2=4x-1=士23-1 5.B6.x2-3x十2=0（答案不唯一） 2.C3.C 7.(1) x 2 3 40-3a=32 2 x2一3x一1 -3-3 3 (2)x1=8+2√13，x2=8-2W√13. 4 5.-11 3.1 3.2 3.3 3.4 6.小明从步骤①开始出错，小刚从步骤②开始出错 x2-3x-1-0.69-0.36-0.010.36 正确的做题步骤如下： 3.33.4 2x+号x+1=2(x+3x+日)=2[x+3x+(6) (2)33 8.由题意知，a-2≥0,2-a≥0， -()+]=2(+)'+路 故a=2,.b=1. ,方程的一个根是1，a十b十c=0,c=一3. (+)≥0 此一元二次方程为2x2+x一3=0. 拓展在线 2(+）+>0 9.B 2一元二次方程的解法 不论x取什么实数，22+号x+1的值一定是一个正数 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 能力在线 基础在线 7.C8.B9.√2±110.7 1.C2.D 11.(1)x=2√2+√6，x2=2√2-√6. 3.(1)= 3一③ (2)原方程无实数根. 3 12.(1)当h=0时，20t-5t2=0,即2-4t=0,(t-2)2=4, (2)1=-6,x2=-14. 解得t=0或t=4. 465,-46.c 故经过4秒后足球回到地面 (2)由题意，得20t-5=15,即(t-2)2=1, 7.(1)x2+10x+25=-16+25, 解得t=1或t=3. (x+5)2=9, 故经过1秒或3秒时足球的高度为15米. x1=-2,x2=-8. (3)不能.由题意，得20t-5t=21, (2)x2+4x+4=-3+4, 即(t-2)2=- 5<0，此时方程没有实数根， 1 (x+2)2=1, x1=-1,x2=一3. ∴足球的高度不能达到21米。 3x-3x+(-)°=4+(-多)”， 拓展在线 13.设公共实数根为m,则am2+bm十c=0①，bm2+cm+a =0②，cm2+am+b=0③. ①+②+③，得(a+b十c)(m2+m+1)=0. x=4,x2=-1. 8.二x1=-3,x2=-9 m+m+1-(m+2)》'+>0, 9.上述解答过程不正确.正确的解答过程如下：x2十8x一5=0. ∴.a+b+c=0,∴.c=-(a+b), 移项，得x2+8x=5.配方，得x2十8x十16=5十16， 原式=Q++c=。+-(a+b2=-3ab(a+b 即(x十4)2=21.两边开平方，得x十4=士√21， abc abc abc =3. x1=-4+√2I,x2=-4-√/21. 第3课时用公式法解一元二次方程 能力在线 基础在线 10.C11.1或-312.2或-613.314.1或-3 1.A2.±43.D 15.(1)a=-1,x2=2.(2=-8, 3,x2=4. 4.1n=-号为=1.(2)a=2=1 2 1 (3)x1=-1+√5，x2=-1-√5. 5.D6.有两个不相等的实数根7.1 16.设花边宽度是xcm,依题意，得 8.养殖园的面积不能达到120m2.理由如下： (60+3.x)(20+2x)=2250, 设AB=xm,:隔离网的总长为40m, 整理，得 x2+30x-175=0, AD-40 m. 4 解得x1=5,x2=-35(不合题意，舍去) 答：花边的宽度是5cm. 根据题意，得工.40-2=120， 4 级数学（上）·BS一 19@第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1 基础在线> 目知识要点分类练 知识点2 配方法的应用 …0 5.当a= 时，多项式a2+2a+2有最小值 知识点1用配方法解二次项系数不为1的 为 一元二次方程 6.上课时，老师布置一道题目：不论x取什么实 1.(教材P38例2变式)补全解方程2x2-4x一6= 数，2x2+2 x十1的值一定是一个正数，你能 0的过程. 移项，得 说明理由吗？小明和小刚的做法如下： 二次项系数化为1，得 小刚：2x+2x 3x+1 配方，得 小明：2x2+ 3x+1 整理，得 =2(x+3+）0 =2x+号x+()》 开平方，得 =2(2+3x+日 解得x1= x2= (3)》+1 ⑦ -(2x+3)+8@ 日+》 ② 2.用配方法解方程2x2十4x一3=0时，配方结果 正确的是 ( ) =2(x+)+号.③ :(2x+3)广≥0，® A.(x+1)2=4 B.(x+1)2=2 (+）≥0， ④ c(x+1r-8 D.(z+1=号 (2+3+8> ④ 2(+日》+号0 3.用配方法解方程3x2一6x十2=0，将方程变为 (红一m)2=号的形式，则m的值为 老师说：“小明和小刚都做错了.”请指出两位同 ( 学从步骤几开始出错，并写出正确的做题步骤. A.9 B.-9 C.1 D.-1 4.用配方法解下列方程： (1)2x2-6x+3=0; (2)x2-4+3=0. 27探究在线九年级数学（上）·BS ②能力在线> :方法规律综合练 12.(教材P40“思考·交流”变式)把一个足球垂 直地面向上踢，t(秒)后该足球的高度h(米) 7.如果一个一元二次方程的二次项是2x2,配方 适用公式h=20t-5t. 后整理，得（x一 =1,那么它的一次项和常 (1)经过多少秒后足球回到地面； (2)经过多少秒时足球的高度为15米； 数项分别是 B-2,吉 (3)足球的高度能否达到21米，请说明理由. A-,是 C.-2x,-2 3 、3 D.x,一2 8已知M=名一2，N=-4(:为任意实数， 则M,N的大小关系为 A.MN B.M<N C.M=N D.与t的值有关 9.现规定一种新运算： a c d =ad-bc,若2x2 2 0 4x十1=0，则 的值为 -3x2√2 10.已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且 3 拓展在线》培优拔尖凝升练…。 满足2a2+b2-4a-6b+11=0,则△ABC的 13.已知三个关于x的一元二次方程ax2十bx十 周长是 c=0,bx2十cx+a=0,cx2+ax十b=0恰有一 11.解下列方程： (1)x2+2=4√2x; 个公共实缀根，水装十名+后的位。 (2)3(x-1)(x+2)=x-7. 第二章28