2.1 第1课时 一元二次方程&第2课时 一元二次方程解的估算-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

第二章 认识 ©第1课时 ①基础在线沙 :知识要点分类练 知识点1 一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程中，不是一元二次方程的是() A.2x2+7=0 B.2x2=2x+10 C.5x2+1+4=0 D.3x2+4(1+x)+1=0 2.将方程2x2+7=4x改写成ax2+bx十c=0的 形式，则a,b,c的值分别为 A.2,4,7 B.2,4,-7 C.2,-4,7 D.2,-4,-7 3.若关于x的方程(m+1)x2+5x-1=0是一元二 次方程，则m满足的条件为 知识点2建立一元二次方程模型 4.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形 活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为 x米，则可列方程为 () A.x(x-11)=180 B.2x+2(x-11)=180 C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180 5.（教材P35习题T1(2)变式)两个相邻偶数的 积是168，求这两个偶数.若设较小的偶数为 x,列方程为 易错点忽略一元二次方程中二次项系数不 为0而出错 6.若关于x的方程(c一1)xd+1+9x一4=0是一 元二次方程，则c= 23探究在线九年级数学（上）·BS 元二次方程 元二次方程 一元二次方程 2能力在线 ,方法规律综合练 …● 7.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的 矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的 区域修建绿地，小明的设计方案如图所示，若 设绿地的宽度为xm,可列方程为 () -30m↓ 24 A.(30-x)(24-x)= ×30×24 B.(30-2x)(24-x)-}×30X24 C30z+2×24x-号×30X24 D.(30-2.x)(24-x)=3×30×24 4 8.一元二次方程2x2+(m+1)x一1=x(x-1) 的一次项系数是3，则m=一 了拓展在线沙培桃拔尖提升联 9.关于x的方程(m2-4)x2+(m-2)x十m=0. (1)当m为何实数时，它是一元一次方程？ (2)当m为何实数时，它是一元二次方程？ ©第2课时 一元 基础在线> 知识要点分类练。 知识点1一元二次方程的解 1.x=4是下列哪个方程的解 ( A.4x2-4x+1=0 B.x2-3x-4=0 C.3.x2+2x-1=0 D.2x2十x=0 2.若关于x的方程x2十3x一k=0有一个解是1， 则的值是 知识点2估计一元二次方程的近似解 3.根据关于x的一元二次方程x2+x十q=0, 可列表如下： 0 0.5 1.1 1.2 1.3 x2十px十q -15 -8.75 -2 -0.590.842.29 则方程x2十x十q=0的正数解满足 ( A.0<x<0.5 B.0.5<x<1 C.1<x<1.1 D.1.1<x<1.2 4.根据下表可知，方程x2+2x一10=0的一个近 似解为x≈ (精确到0.1) x …-4.1-4.2-4.3-4.4-4.5-4.6… x2+2x-10…-1.39-0.76-0.110.561.251.96… 2能力在线》 方法规律综合练 5.已知m为方程x2十3x一2022=0的根，那么 m3+2m2-2025m+2022的值为 () A.-2022 B.0 C.2022 D.4044 6.(条件开放)写出一个二次项系数为1，且有一 个根为2的一元二次方程： 7.(教材P33“尝试·思考”变式)一块矩形铁片， 面积为1m2,长比宽多3m,求铁片的长，小明 在做这道题时，是这样做的： 设铁片的长为xm,列出方程为 整理，得 二次方程解的估算 小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多 少，下面是他的探索过程 第一步： 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以， <x< 第二步： 3.1 3.23.3 3.4 x2-3x-1-0.69-0.36 所以， <x< (1)请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分； (2)通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数 部分为，十分位为 8.若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 (a≠0)的一个根是1，且a,b满足等式b= √a-2+√2-a+1,求此一元二次方程. 3拓展在线》 路优报尖提升练 …● 9.可以用如图所示的图形研究 A 方程x2十ax=b2的解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 受，BC=b,以点A为圆心作 弧交AB于点D,使AD=AC,则该方程的一 个正根是 ( A.CD的长 B.BD的长 C.AC的长 D.BC的长 第二章24:.CD-BD-AD-7AB, .AF∥BC,.∠AFE=∠DCE. ∠AFE=∠DCE, ∴∠DCB=∠B. 在△AEF和△DEC中， ∠AEF=∠DEC, 又：∠EFD=∠B,∴∠DCB=∠EFD, AE-DE, .EF∥BC. .△AEF≌△DEC(AAS),∴.AF=CD (2)由题意，知∠B=90°-65°=25°， D是BC的中点，.CD=BD,.AF=BD .EF∥BC,.∠FED=∠B=25°， ∴.四边形ADBF是平行四边形. .∴.∠AEF=180°-∠FED=155° ∠BAC=90°，D是BC的中点， 14.(1)证明：CE∥BD,EB∥AC, .四边形OBEC为平行四边形. .AD-BD-BC. 四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD, ∴.四边形ADBF是菱形， .∠BOC=90°，∴四边形OBEC为矩形， (2)连接DF交AB于点O,如图 ..OE=CB. 由(1)知，四边形ADBF是菱形 (2)16 15.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，FH⊥BH 又S即=合AB·DF=40, ∠ABE=90°，AB=BC,∠EHF=90°. :∠AEF=90°，∠AEB+∠FEH=90° 即2DFX8=40,DF=10, 而∠AEB+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠FEH. 由(1)知，AF=CD,AF∥CD, 又.EF=AE,.△ABE≌△EHF ∴.四边形AFDC为平行四边形， .'BE=FH,AB=EH, ∴.AC=DF=10 ∴.AB=BC=EH,则BC-EC=EH-EC 3.30 .'BE=CH. 4.(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 (2)作FP⊥CD于点P,连接DF,由(1) 线，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 可知EH=AB,∴.CE=3-x. .线段DF与EF也为△ABC的中位线， ..CH=FH=FP=x, .DF∥AC,EF∥AB, ∴.四边形ADFE是平行四边形， ∴.PD=3-x,DF=√/x2+(3-x)2=√2x2-x+9, ∴AF与DE互相平分. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 1.(1)A (2)当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形.理由如下： (2)如图，正八边形LGFIHKJE即为所 求作. ~线段DE为△ABC的中位线，：DE=号BC, 证明：设AO=a,则AB=BC=CD=AD 由(1)知，四边形ADFE为平行四边形，若口ADFE为矩 =√2a, 形，则AF=DE, .AE=AF=BG-BH=CI=CI=DK- DL=AO=a, :当AF=合BC时，四边形ADFE为矩形。 ..AL=AG=BF-BI=CH=CK=DJ=DE=2a-a, 5.36.√67.C8.C9.603 ∠ALG=∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH= 10.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠DJE=∠DEJ=45°. ∴.AD∥BC,∠ADC=∠C=90°. ∴.GL=FI=HK=EJ=2a-√2a. EF∥DC,∴.四边形EFDC为平行四边形 ∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ= 'DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∠KJE=∠JEL=135. .AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, ,LE=AD-AL-DE=√2a-(√2a-a)-(√2a-a)= .∠CDE=∠DEC, CD=CE,∴.四边形EFDC是菱形， 2a-√2a, 又：∠C=90°，.平行四边形EFDC是正方形. 同理可得GF=IH=KJ=2a-√2a, (2)由(1)知四边形EFDC为正方形， ..GF=FI=IH=HK-KJ=JE=EL=LG. ∴.CD=CE,∠C=90°， ∴八边形LGFIHKJE是正八边形 在Rt△CDE中，CE2+CD2=ED,ED=2√2， 2.1号 ..CD=CE=2, (2)如图. 在Rt△BCD中，BC=1+2=3,CD=2, .BD=BC2+CD2=V13 核心素养提升 11.512.5+/37 第二章一元二次方程 图③ 1认识一元二次方程 (3)60 第1课时 一元二次方程 单元综合复习（一）特殊平行四边形 基础在线 热门考点突破 1.C2.C3.m≠-14.C5.x(x+2)=1686.-1 1.D 能力在线 2.(1)证明：E是AD的中点，.AE=DE 7.D8.1 一探究在线·九年 拓展在线 拓展在线 9.(1)m=-2. 17.1 (2)m≠±2. 第2课时用配方法解二次项系数不为1 第2课时 一元二次方程解的估算 的一元二次方程 基础在线 基础在线 1.B2.43.D4.-4.3 1.2x2-4x=6x2-2x=3x2-2x十12=3+12 能力在线 (x-1)2=4x-1=士23-1 5.B6.x2-3x十2=0（答案不唯一） 2.C3.C 7.(1) x 2 3 40-3a=32 2 x2一3x一1 -3-3 3 (2)x1=8+2√13，x2=8-2W√13. 4 5.-11 3.1 3.2 3.3 3.4 6.小明从步骤①开始出错，小刚从步骤②开始出错 x2-3x-1-0.69-0.36-0.010.36 正确的做题步骤如下： 3.33.4 2x+号x+1=2(x+3x+日)=2[x+3x+(6) (2)33 8.由题意知，a-2≥0,2-a≥0， -()+]=2(+)'+路 故a=2,.b=1. ,方程的一个根是1，a十b十c=0,c=一3. (+)≥0 此一元二次方程为2x2+x一3=0. 拓展在线 2(+）+>0 9.B 2一元二次方程的解法 不论x取什么实数，22+号x+1的值一定是一个正数 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 能力在线 基础在线 7.C8.B9.√2±110.7 1.C2.D 11.(1)x=2√2+√6，x2=2√2-√6. 3.(1)= 3一③ (2)原方程无实数根. 3 12.(1)当h=0时，20t-5t2=0,即2-4t=0,(t-2)2=4, (2)1=-6,x2=-14. 解得t=0或t=4. 465,-46.c 故经过4秒后足球回到地面 (2)由题意，得20t-5=15,即(t-2)2=1, 7.(1)x2+10x+25=-16+25, 解得t=1或t=3. (x+5)2=9, 故经过1秒或3秒时足球的高度为15米. x1=-2,x2=-8. (3)不能.由题意，得20t-5t=21, (2)x2+4x+4=-3+4, 即(t-2)2=- 5<0，此时方程没有实数根， 1 (x+2)2=1, x1=-1,x2=一3. ∴足球的高度不能达到21米。 3x-3x+(-)°=4+(-多)”， 拓展在线 13.设公共实数根为m,则am2+bm十c=0①，bm2+cm+a =0②，cm2+am+b=0③. ①+②+③，得(a+b十c)(m2+m+1)=0. x=4,x2=-1. 8.二x1=-3,x2=-9 m+m+1-(m+2)》'+>0, 9.上述解答过程不正确.正确的解答过程如下：x2十8x一5=0. ∴.a+b+c=0,∴.c=-(a+b), 移项，得x2+8x=5.配方，得x2十8x十16=5十16， 原式=Q++c=。+-(a+b2=-3ab(a+b 即(x十4)2=21.两边开平方，得x十4=士√21， abc abc abc =3. x1=-4+√2I,x2=-4-√/21. 第3课时用公式法解一元二次方程 能力在线 基础在线 10.C11.1或-312.2或-613.314.1或-3 1.A2.±43.D 15.(1)a=-1,x2=2.(2=-8, 3,x2=4. 4.1n=-号为=1.(2)a=2=1 2 1 (3)x1=-1+√5，x2=-1-√5. 5.D6.有两个不相等的实数根7.1 16.设花边宽度是xcm,依题意，得 8.养殖园的面积不能达到120m2.理由如下： (60+3.x)(20+2x)=2250, 设AB=xm,:隔离网的总长为40m, 整理，得 x2+30x-175=0, AD-40 m. 4 解得x1=5,x2=-35(不合题意，舍去) 答：花边的宽度是5cm. 根据题意，得工.40-2=120， 4 级数学（上）·BS一 19