1.3 第2课时 矩形的判定-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第2课时 ①基础在线 知识要点分类练.。 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC,且AD= BC,若再补充一个条件， B 如∠A= 度时，就能推出四边形ABCD 是矩形 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点 O是边AB的中点，∠ADO=∠BCO.求证：四 边形ABCD是矩形 知识点2三个角是直角的四边形是矩形 3.如图，在四边形ABCD中，∠C A =∠D=90°，若再添加一个条 件，就能推出四边形ABCD是 矩形，条件是 (写出一 种情况即可). 4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD是 ∠BAC的平分线，AN是△ABC的外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为E. 求证：四边形ADCE为矩形， 矩形的判定 知识点3对角线相等的平行四边形是矩形 5.(中考·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 6.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,其中AD∥BC,AB∥CD,AC=2OB. 求证：四边形ABCD是矩形. y 易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错 7.下列命题正确的是 ( A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 21 能力在线方法规律综合练 8.(宜昌期未)如图，□ABCD的对角线AC,BD 交于点O,下列条件中，不能判定口ABCD是 矩形的条件是 () A.AB⊥BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.△ABO是等边三角形 第-章8 9.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 D 2.5 B 2.5 2.5 2.5 90° 90° A40940y D. 909 40°40⊙入 10.(广州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE, 过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于点F. (I)求证：四边形BCDF是矩形； (2)连接CE,若∠A=30°，CE=2,求四边形 BCDF的面积. 11.(一题多解)（中考·青海）如图，在△ABC 中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A 作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接 AD,BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； 9探究在线九年级数学（上）·BS (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形 状，并证明. ③拓展在线》培倪拔尖提升练 …写 12.如图，在□ABCD中，E,F分别是边BC和 AD的中点，G,H在对角线AC上，且AG= CH=AC,连接GF,EH. (1)求证：△AFG≌△CEH; (2)连接GE,FH,当AC与AB满足怎样的 数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明 你的结论.温警提示：清做完后再看答案！ :四边形ABCD是菱形，边长为8，且点E为AB边中点， ∴.BF=BE=4,DF=DC=8. ..BD=BF+DF=12,OB=OD=6. 参考答案 又，AC⊥BD, ∴.AO=AB2-OB2=2√7，AC=47」 第一章特殊平行四边形 S美w=2AC,BD=号×4万X12=247 1认识特殊的平行四边形 基础在线 CG-S影D=247-3V万. AB 8 1.B2.90°3.8 拓展在线 4.:四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. 14.23 ∠D=∠D,DF=DE,∴.△ADF≌△CDE(SAS). 第2课时菱形的判定 ∴∠1=∠2. 基础在线 5.C 1.C 能力在线 6.B7.1 2.AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F, .∠CFB=∠AEB=90°. 8.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. 在△ABE与△CBF中， .∠BCE+∠DCF=90°. ∠B=∠B, .CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC=∠CFD=90° .∠BCE+∠CBE=90°.∴.∠CBE=∠DCF ∠AEB=∠CFB, AE=CF, ∴.△BCE≌△CDF(AAS). .△ABE≌△CBF(AAS)...AB=CB. .BE=CF,CE=DF...CE=CF+EF=BE+EF. ∴.DF=BE+EF 四边形ABCD是平行四边形， ∴.□ABCD是菱形 拓展在线 3.16 9.5 4.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP 2菱形的性质与判定 (2)证明：：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于 第1课时菱形的性质 点B,∴AP=AB. 基础在线 :射线AQ平分∠BAP,∴∠BAC=∠PAC. 1.A2.A 在△ABC和△APC中， 3.四边形ABCD是菱形，AB=BC. (AB=AP, .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, ∠BAC=∠PAC 即BE=BF LAC=AC, '∠B=∠B, .△ABC≌△APC(SAS)..BC=PC ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE 又：以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, 4.A5.B6.C7.B8.12 .PA=PC.,.AP=AB=BC=PC. 9.(1).菱形ABCD的周长为24， 四边形ABCP是菱形. ∴.AB=AD=BC=CD=6. 5.C 又∠BAD=60°，'.△ABD是等边三角形， 6.AB=5,OA=4,OB=3, ∴BD=AB=AD=6,故对角线BD的长为6. ∴.OB2十OA2=32+42=25,AB2=52=25, (2)由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ..OB2+OA2=AB2. ∴0B=2BD=2×6=3,∠A0B=90 .∠AOB=90°..AC⊥BD 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 又AB=6,AO=√AB-OB=√62-32=3√3， 7.(1)(2)(6)(3)(4)(5)或(3)(4)(6) ∴.AC=2A0=6√3， 能力在线 “菱形ABCD的面积为2AC·BD-之×65X6=185. 8.③9.A10.C 11.(1)由垂直平分线得到AE=CE,AD=CD,又由CF∥AB, 故菱形ABCD的面积是18√3， 得∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用AAS证得△AED 能力在线 ≌△CFD. 10.2装1.丽12.)4v5(27 (2)由全等，得AE=CF, 再由CF=AF, 13.（1)菱形对角线互相垂直且平分， 从而得到CE=AE=CF=AF, ∴.BO=√/AB2-AOY=√/52-42=3. .四边形AECF是菱形， ∴.对角线BD=2BO=6,AC=2AO=8. 拓展在线 ∴S美影D=合×ACX BD=-合×6X8=24 12.(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是 (2)如图②，连接AC交BD于点O, 菱形.理由如下：连接AP,PD∥AC,PE '∠BEF=∠CFD,∠BFE=∠CFD, ∥AB, ∠BEF=∠DCF, .四边形ADPE为平行四边形 ..BE=BF,DC=DF. AB=AC,P为BC的中点， 一探究在线·九年 ∴∠PAD=∠PAE. :AC=2OB,∴AC=BD. PE∥AB,∴∠PAD=∠APE. ∴.□ABCD是矩形. ∠PAE=∠APE.EA=EP 7.A .四边形ADPE是菱形. 能力在线 (3)点P运动到∠A的平分线与BC的交点时，四边形 8.B9.D ADPE是菱形. 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 3矩形的性质与判定 DE是△ABC的中位线.DE∥BC. 第1课时矩形的性质 ∴.∠FDC+∠ACB=180° 基础在线 :∠ACB=90°，∴∠CDF=90° 1.B2.C3.D BF⊥DF,.∠F=90° 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴∠BCD=∠CDF=∠F=90. .AB=CD,∠B=∠C=90°. 四边形BCDF是矩形. :∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA). (2)∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. .AB=2CE=4. ∠B=90°，AB=12,.BE=√AE-AB=5. :∠A=30,BC=2AB=2. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.AD∥CE AC-AB-BC=2/3.:CD-AC-/. DE∥AC,.四边形ACED是平行四边形. .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. (2)DE∥AC,∠E=35°，∠OCB=∠E=35. 11.(1)证明：.点O为AB的中点，.OA=OB, 在矩形ABCD中，OB=OC, :AE∥BC,∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. ∴∠OBC=∠OCB=35. △AEO≌△BDO(AAS).∴.AE=BD. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. :AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形 8.49.C (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 能力在线 证明如下： 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 15.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. AB=AC,点D是BC边的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90°. (2)四边形ABCD为矩形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC, 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形. ∠A=90°. 拓展在线 .∠ADB=∠CBD. 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， :∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB. ∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠FAG=∠ECH .BE=DE. :E,F分别是边BC和AD的中点， 设AF=x,则DF=BF=2-x, 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, CE=合BC,A=合AD.∴AF=CE, 解得x=是AF的长为子 .AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS). 4 (2)当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 拓展在线 证明：连接EF交AC于点O,如图. 16.130 由(1)知，△AFG≌△CEH, 2 ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 第2课时矩形的判定 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 基础在线 .四边形EHFG是平行四边形 1.90 ..OG=OH. 2.点O是边AB的中点，.OA=OB. :∠A=∠B,∠ADO=∠BCO, AG-CH-AC,.GH-AC-AG-CH-AC. .△AOD≌△BOC(AAS)..AD=BC ∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°. 0G=0H=AG=CH=子AC.:OA=0C=号AC .AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. CE-BE.OE-AB. 3.∠A=90(答案不唯一) “AC=2AB,0E=4AC 4..AB=AC,AD是∠BAC的平分线 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∴.∠ADC=90. ∴.OE=OG=OF=OH. ,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， EF=GH.平行四边形EHFG是矩形 ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. 4正方形的性质与判定 CE⊥AN,∠AEC=90°. 第1课时正方形的性质 ∴四边形ADCE为矩形. 基础在线 5.D 1.D2.B3.C4.B5.2 6.AD∥BC,AB∥CD, 6.:四边形ABCD是正方形， .四边形ABCD是平行四边形. .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D, ∴.OB=OD..BD=2OB. I∠BAE=∠DAF, 级数学（上）·BS一 17