第二章 一元二次方程概念清单速记表（知识清单）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学一元二次方程知识清单系统梳理了第二章核心内容，涵盖概念认知、解法技巧、根与系数关系及实际应用四大知识范畴，搭建了从基础定义到方法运用再到问题解决的递进式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”关联呈现知识体系，如“一元二次方程的一般形式”明确二次项、一次项等要素，培养抽象能力。解法部分分步骤详解配方法、公式法等，强化运算能力，应用环节结合几何面积、销售利润等实例发展模型意识。教师可直接用于课堂复习，学生能自主梳理知识，提升学习效率。

第二章 一元二次方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1 认识一元二次方程 一元二次方程 只含有一个未知数 的整式方程，并且都可以化成 （ 是常数，）的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 未知数、整式方程、二次项、一般形式 一元二次方程的一般形式 把 （ 是常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中 叫作二次项， 是二次项系数； 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。 一元二次方程、二次项、一次项、常数项 二次项与二次项系数 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫作二次项， 是二次项系数。 一般形式、系数 一次项与一次项系数 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫作一次项， 是一次项系数。 一般形式、系数 常数项 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫作常数项。 一般形式、二次项、一次项 一元二次方程的根（解） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作这个一元二次方程的根，也叫作这个方程的解。 解方程、方程的解、检验 估算一元二次方程的解 当方程不能精确求解时，可以先确定解所在的大致范围，再通过逐位逼近（由整数部分到十分位、百分位等）求出解的近似值。例如对于梯子滑动问题的方程，由 与 时方程左边取值的正负可得 ，进一步计算可得 ，从而 的整数部分是 1，十分位是 1。 近似解、取值范围、逐位逼近 2 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路 解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 开平方、完全平方式、一元一次方程 直接开平方解一元二次方程 对于形如 （）或 （）的一元二次方程，直接两边同时开平方，得 或 ，从而转化为两个一元一次方程求出方程的根。 开平方、平方根、一元一次方程 配方法 通过配方，把一元二次方程的一边配成完全平方式、另一边化为常数，当这个常数大于等于 0 时，两边开平方求根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方、完全平方式、开平方 配方法的一般步骤 用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 将方程化成一般形式；② 把常数项移到方程右边；③ 若二次项系数不为 1，先把方程两边都除以二次项系数，使二次项系数化为 1；④ 在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑤ 当右边是非负常数时，两边开平方，求出方程的根。 配方、完全平方式、开平方 求根公式 一元二次方程 （）当 时，它的根是 ，这个式子称为一元二次方程的求根公式。 一元二次方程、公式法、根的判别式 求根公式的推导（配方法） 由 （）两边都除以 ，得 ；配方得 。因为 ，所以 ，当 时，两边开平方得 ，即 。 配方法、开平方、求根公式 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 求根公式、一元二次方程 根的判别式 叫作一元二次方程 （）的根的判别式，通常用希腊字母 来表示， 读作 delta。 判别式、根的情况 根的判别式与根的情况 对于一元二次方程 （）：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。 根的判别式、实数根 因式分解法 当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，把方程化为两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 因式分解、一次因式、一元一次方程 因式分解法的依据 如果两个因式的乘积等于 0，那么至少有一个因式等于 0，即若 ，则 或 。因式分解法正是据此把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。 因式分解法、一元一次方程 3 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系（韦达定理） 如果 是一元二次方程 （）的两个根，那么 ，。 韦达定理、两根之和、两根之积、系数 两根之和 一元二次方程 （）的两个根 的和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，即 。 根与系数的关系、韦达定理 两根之积 一元二次方程 （）的两个根 的积等于常数项与二次项系数之比，即 。 根与系数的关系、韦达定理 一元二次方程的分解式 如果 是一元二次方程 （）的两个实数根，那么 成立；反过来，若 （， 是实数），则方程 必有两个实数根 ，。 因式分解、根与系数的关系 二次项系数为 1 时根与系数的关系 若一元二次方程 的两个根为 ，则 ，。 韦达定理、两根之和、两根之积 根与系数的关系的应用 利用根与系数的关系，可以在不解方程的情况下求一元二次方程两根之和与两根之积，检验某个值是否为方程的根，已知一根求另一根及待定系数，还可以写出以给定两个数为根的一元二次方程。 求系数、检验方程的根、构造方程 4 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 根据实际问题中的数量关系和等量关系建立一元二次方程，通过解方程求得实际问题的答案，涉及几何图形（面积、长度）、行程、销售利润、增长率等问题。 一元二次方程、等量关系、实际问题 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的一般步骤：审清题意，找出等量关系；设未知数；根据等量关系列出一元二次方程；解方程；检验方程的解是否符合实际问题的意义；写出答案。 等量关系、设未知数、解方程、检验 几何图形问题 利用图形的面积、周长、线段长度等关系，结合几何图形性质（如勾股定理、三角形中位线定理）列出一元二次方程求解，例如梯子滑动、矩形地面铺设地毯、修路面积等问题。 面积、勾股定理、中位线 销售利润问题 根据售价、进价、销售量与利润之间的数量关系（总利润 单件利润 销售量）列出一元二次方程，求售价或购进数量，例如冰箱定价、台灯售价等问题。 利润、售价、进价、销售量 平均增长率问题 若基础数量为 ，平均增长率为 ，经过两次增长后的数量为 （经过 次增长后为 ），据此可列一元二次方程求平均增长率。 增长率、二次增长 检验解的合理性 求得的一元二次方程的解要代入方程检验是否成立，还要检验是否符合实际问题的意义（如长度、人数、价格等不能为负或超出合理范围），不符合实际意义的解要舍去。 检验、实际意义、舍去 利用方程解决实际问题的关键 利用方程解决实际问题的关键是寻找问题中的等量关系，并用含未知数的代数式把等量关系表示成方程。 等量关系、列方程、建模 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $