4.3 对数专题训练【6大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以6大考点为核心，构建从概念到应用的递进式训练体系，覆盖选择、填空、解答等多元题型，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数的概念判断与求值|4题|选择（含多选）、函数求值|从概念辨析到函数应用，夯实基础认知| |指数式与对数式的互化|6题|填空、选择、解答（比较大小）|承接指数知识，建立互化桥梁，体现转化思想| |对数的运算|6题|化简计算、解答题（含条件求值）|基于运算性质，训练基本运算技能| |对数的运算性质的应用|6题|化简、证明、多选（性质辨析）|深化性质理解，培养灵活应用能力| |运用换底公式化简计算|8题|选择（含多选）、解答（多步化简）|拓展运算工具，提升复杂计算能力| |运用换底公式证明恒等式|6题|证明题、选择（结论判断）|强化逻辑推理，体现数学语言表达|

4.3 对数 6大考点汇总 考点01 对数的概念判断与求值 考点02 指数式与对数式的互化 考点03 对数的运算 考点04 对数的运算性质的应用 考点05 运用换底公式化简计算 考点06 运用换底公式证明恒等式 题型专练 考点01 对数的概念判断与求值 1．（25-26高一上·全国·专题训练）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高一下·山西大同·阶段检测）（多选）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 4．（25-26高一上·贵州黔西南·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为 所以，所以. 故选：B 考点02 指数式与对数式的互化 5．（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 6．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 8．（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 【答案】 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 【答案】(1) (2)15 (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的单调性确定的范围，进而可判断的大小. （2）根据指数与对数的互换求出，进而得到，从而求得结果. （3）根据（2）中的结果，结合基本不等式的性质即可证明结论. 【详解】（1）由，且，知，即. 由，且，知，即. 综上可知. （2）由，可得，， 则，， 因此，. （3）证明：由（2）知，即， 则. 10．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. 【答案】 【分析】由指对互换公式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 故答案为： 考点03 对数的运算 11．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 【答案】/ 【详解】 . 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 13．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）（1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1） . （2） . （3）由 得 ，； 由 得 ，， 故 . 14．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 【答案】/ 【详解】原式. 15．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 16．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【答案】/0.5 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 考点04 对数的运算性质的应用 17．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）已知，化简 ； （2）化简 ． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）. （2）， ， . 18．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 19．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 20．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 21．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 22．（25-26高一上·全国·专题训练）计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 考点05 运用换底公式化简计算 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【详解】. 24．（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 25．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D． 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 26．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算及换底公式求解. 【详解】 . 27．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 28．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 29．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 30．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 考点06 运用换底公式证明恒等式 31．（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 32．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 33．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明：设，显然， 则，可得， 所以. 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】略 34．（25-26高一·全国·随堂练习）求证：． 【答案】 左边， 右边， 所以左边=右边，得证. 【分析】利用换底公式，即可化简证明. 【详解】略 35．（25-26高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 36．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 6大考点汇总 考点01 对数的概念判断与求值 考点02 指数式与对数式的互化 考点03 对数的运算 考点04 对数的运算性质的应用 考点05 运用换底公式化简计算 考点06 运用换底公式证明恒等式 题型专练 考点01 对数的概念判断与求值 1．（25-26高一上·全国·专题训练）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山西大同·阶段检测）（多选）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一上·贵州黔西南·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 考点02 指数式与对数式的互化 5．（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 6．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（25-26高一上·天津河西·阶段检测），，则______． 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 10．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. 考点03 对数的运算 11．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 13．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）（1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 14．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）计算：______. 15．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 16．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 考点04 对数的运算性质的应用 17．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）已知，化简 ； （2）化简 ． 18．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 19．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知实数满足，且，则的值为___________. 21．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 22．（25-26高一上·全国·专题训练）计算下列各题： (1)； (2). (3). 考点05 运用换底公式化简计算 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 24．（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 25．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 26．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）________． 27．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 30．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 考点06 运用换底公式证明恒等式 31．（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 32．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 33．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 34．（25-26高一·全国·随堂练习）求证：． 35．（25-26高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $