1.2.3 充分条件、必要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件及充要条件的概念与判断方法，通过报刊中“充分”“必要”的生活实例导入，衔接“如果p，那么q”的命题形式，借助命题真假引出推出符号，搭建从日常用语到数学概念的学习支架。 其亮点是生活化情境激发兴趣，结合集合子集关系直观阐释逻辑条件，关联判定定理、性质定理深化应用。通过实例分析培养数学抽象和逻辑推理能力，课堂练习覆盖不同题型，助力学生巩固，教师可直接用于逻辑教学，提升效率。

人教B版(2019)必修第一册 1.2.3 充分条件、必要条件 第一章 集合与常用的逻辑用语 1 学习目标 理解充分、必要条件、充要条件的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ (1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）； (2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年3月4日）； (3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）； 3 新课导入 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ (4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）． 4 新课学习 我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”的命题，例如： (1) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)如果x>2，那么x>3； (4)如果 a>b且c>0，那么ac>bc. 5 新课学习 命题的条件与结论的定义 在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作 p⇒q， 读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作p⇏q，读作“p推不出q”. 6 新课学习 上述例子的符号表示： (1)是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作: 两条直线都与第三条直线平行⇒这两条直线也互相平行； (3)是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作 x>2⇏x>3. 7 新课学习 尝试与发现：用类似的方法分析上述例子中的(2)(4)，并将它们用符号表示出来. (2)是一个真命题，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°”可以推出“这个锐角所对的直角边等于斜边的一半”，这也可记作: 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°⇒这个锐角所对的直角边等于斜边的一半”； (4)是一个真命题，即“ a>b且c>0”可以推出ac>bc，这也可记作 a>b且c>0⇒ac>bc. 8 新课学习 充分条件与必要条件的概念 当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p⇏q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 事实上，前述情境与问题中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思. 9 新课学习 充分条件与必要条件的四种表述 (1)“如果 p，那么 q”是真命题， (2) p⇒q， (3) p 是 q 的充分条件， (4) q 是 p 的必要条件， 这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已. 10 新课学习 举个例子： 因为“如果 x=-y，则 x2=y2”是真命题，所以 x=-y⇒x2=y2； x=-y 是 x2=y2 的充分条件； x2=y2 是 x=-y 的必要条件. 因为“若A∩B≠Ø，则A≠Ø”是真命题，所以 A∩B≠Ø⇒A≠Ø； A∩B≠Ø是 A≠Ø的充分条件； A≠Ø是 A∩B≠Ø的必要条件. 11 新课学习 例1：判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： (1) p：x∈Z，q： x∈R； 因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p⇒q， 因此p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2) p：x是矩形，q：x是正方形. 因为矩形不一定是正方形，即p⇏q， 因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 12 新课学习 思考一下：设A={x|x≥0}，B={x|x>-1}，那么A是B的充分条件还是必要条件？ 不难看出，A是B的子集（如图所示），即A⊆B． -3 x 3 2 1 O -1 -2 “如果x≥0，那么x>-1”是真命题，也就是说 x≥0⇒x>-1， x≥0 是 x>-1 的充分条件， x>-1是 x≥0 的必要条件． 13 新课学习 充分条件与必要条件的集合表示 一般地，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A⊆B(如图所示)，那么p(x)⇒ q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件． A={x|p(x)} B={x|q(x)} 例如：设 A={x|x是在北京市出生的人}，B={x|x是在中国出生的人}，则A⊆B，所以“x 是在北京市出生的人”可以推出“x 是在中国出生的人”．“x是在北京市出生的人”是“x是在中国出生的人”的充分条件，“x是在中国出生的人”是“x是在北京市出生的人”的必要条件． 14 新课学习 充分条件与必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关 例如：“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理．这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数．不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件． 而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理．这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等．不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件． 15 新课学习 例2：说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件： (1)形如 y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数； 这可以看成一个判定定理，因此“ y=ax2(a 是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件. (2)菱形的对角线互相垂直． 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件. 16 新课学习 思考一下：判断下列命题的条件. 因为 x>3⇒x>2，所以 x>3是x>2的充分条件， 又因为x>2⇏x>3，所以x>3不是x>2的必要条件， 把这两方面综合起来，可以说成 x>3是x>2的充分不必要条件． 17 新课学习 充分不必要条件、必要不充分的概念 如果 p⇒q 且 q⇏p，则称p是q充分不必要条件. 如果p⇏q 且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 例如：x(x-1)=0是x=0 的必要不充分条件. 如果p⇒q 且 q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作： p⇔q， 此时，也读作“p 与q等价”“p当且仅当q”． 如果 p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．例如：当 p：x>0，q：x²>2时就是如此. 18 新课学习 充要条件的概念 p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 19 新课学习 例3： 在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件． 因为“在三角形中，等角对等边”，所以 ∠B=∠C ⇒ AC=AB； 又因为“在三角形中，等边对等角”，所以 AC=AB ⇒∠B=∠C． 从而∠B=∠C AC=AB，因此 △ABC 中，∠B=∠C 是 AC=AB 的充要条件． 20 新课学习 充要条件的集合表示 从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，则p(x)⇔q(x)，因此也就有 p(x)是 q(x)的充要条件. 例如：当A={x|x≤0}，B={x||x|=-x}，不难看出A=B，因此x≤0⇒|x|=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的充要条件，x≤0与|x|=-x等价，x≤0当且仅当|x|=-x． 21 新课学习 充要条件与数学中的定义有关 例如：“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形； 反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等. 不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件. 注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形.” 22 新课学习 需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，还存在p既不是q的充分条件，也不是q 的必要条件的情形，例如：当p：x>0，q：x²>2 时就是如此. 23 课堂练习 A 24 课堂练习 25 课堂练习 A 26 课堂练习 27 课堂练习 A 28 课堂练习 B 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂练习 a≥3 33 课堂总结 1.充分条件、必要条件的概念 2.充分不要必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念 34 谢 谢 观 看 35 $