第4章 圆的再认识 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦圆的性质与应用，覆盖基础概念、几何推理及综合计算，适配初中数学“圆的再认识”单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆的基本性质（如第1题圆心角与弧关系）、切线性质（第3题）|基础概念辨析，结合图形考查空间观念| |填空题|6/18|正多边形中心角（第11题）、弧长计算（第12题）、正方形外接圆（第13题）|针对核心公式应用，强化运算能力| |解答题|8/72|作图找圆心（17题）、切线证明（22题）、综合计算（24题切线与面积）|分层设计，从基础操作到复杂推理，体现模型意识与创新应用|

第4章 圆的再认识（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法中，正确的是（) A.弦是直径 B.相等的圆心角所对的孤相等 C.圆内接四边形的对角互补 D.三个点确定一个圆 【答案】C 【详解】解：A、因为直径是弦，但弦不一定是直径，故A选项错误，不符合题意； B、因为同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，故B选项错误，不符合题意； C、圆内接四边形对角互补，说法正确，故C选项符合题意； D、不共线的三个点确定一个圆，故D选项错误，不符合题意； 2、如图，点A,B,C是⊙0上的点，四边形ABC0是平行四边形，OF⊥OC,交⊙0于，点F, 则∠BAF的度数为() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【详解】解：连接OB, :四边形ABCO是平行四边形， :.OC=AB,又OA=OB=OC, ..OA=OB=AB .△AOB为等边三角形， .·OF⊥OC,OC∥AB .OF⊥AB, :.∠BOF=∠AOF=30° ∠BAF=∠BOF=15° 由圆周角定理 2 3、已知：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=130°，过D,点的线PD与直 线AB交于P点，则∠ADP的度数为（) B A.45° B.40° C.50° D.65o 【答案】B 【详解】连接BD,OD, ,∠DAB=180°-∠C-50°，AB是直径， ∴.∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°， ,PD是切线， ∴.∠PDO=90°， ∴.∠PDO=∠AOB, 2 .OB=OD, ∴.∠ODB=∠OBD=40°， ∴.∠ADP=∠BOD=40°」 4、如图，BC为⊙O直径，弦AD L BC于点E,直线l切⊙O于点C,延长OD交1于点F,若 AE=2∠ABC=22.5°CF ，则的长度为（) B 0 D F A.2 B.2V2 c.25 D.4 【答案】B 【详解】解：BC为O0的直径，弦AD1BC于点E,AE=2,∠ABC=22.5, AC-CD,AE=DE-2, ∴.∠COD=2∠ABC45°， ∴△OED是等腰直角三角形， ..OE=ED-2, .0D=V22+22=2√5 直线1切⊙O于点C, BC⊥CF) ∴△OC℉是等腰直角三角形， ..CF=OC, 0C=0D=2W2, ·CF=22, —3 5、如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以，点A为圆心，以AC的长为半径画孤，分别交 征的是长我于点R,Q连接CG,DG,对∠CGD等于() B G D 4.160 8170 c.18o 019o 【答案】C 【详解】解：如图，连接AC，AD B D 则∠CAD与∠CGD是⊙A上孤CD所对的圆心角和圆周角， ∠C4D=22cGD,2CoDC4D 五边形ABCDE为正五边形 ∠B=∠BAE=180°×(5-2)540 =1080 在等腰△ABC中，AB=BC ∠BAC=180°-108 -=36° 2 同理：∠EAD=36° .∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE=36 CGD-CAD-3 6、如图，⊙O的弦AB垂直于CD,E为垂足，AE=3,BE=7,且AB=CD,则圆心O到CD —4 的距离是() C 。0 E B D A.2 8.v5 c.3 o.20 【答案】A 【详解】解：连接CO,AO,过，点O,分别作OM L AB于M,ON⊥CD于N,则四边形 OMEN 是矩形， C E M B D .OM⊥ABON⊥CD AB=CD :.CN-1CD.AM-14B 2 2 .CN=AM .CO=A0 ∴.RtACNO≌RtA AMO(HL) ∴.NO=MO 则NO=MO=EM, .OM⊥AB 5 AM=MB-1AB=(4E+BE)=5 ∴.EM=AM-AE=5-3=2 .∴ON=EM=2 7、知图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点B、B、C、O,且C(0,6)、E(8,0)、O(0,0), 则cos∠OBC的值为() A. E B 3 A.5 a C.4 。 【答案】B 【详解】解：如图，连接EC, B .∠C0E=90° 六EC是⊙A 的直径， :C(0,6)E(-8,0) ∴.OC=6OE=8 由勾股定理得：EC=V62+82=10 .∠OBC=∠OEC 6 ÷Cos∠0BC=cos∠OEC=OE-8_4 ΓEC105. 8、如图，O0是边长为6N5的学边△AC的外接图，点D是BC的中，点，连接BD,CD.以，点D 为圆心，BD的长为半径在⊙0内画孤，则阴影部分的面积为() A B D A12 B.187 c.36 16π D. 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接AD, 4 D :△ABC是等边三角形， ,AB=AC,∠BAC=∠ABC=60° ,∠BDC+∠BAC=180° ∴.∠BDC=180°-∠BAC=180°-60°=120° 点D为孤BC的中点， ∴.BD=CD AD垂直平分线段BC, ∴.AD经过，点O,∠BAD=30° -7 ∴.∠ABD=90° 3 D8= 3 x63=6 S阴影 120m×62_36m=12元 360 3 9、如图，MN是⊙O的直径，A,B,C是⊙O上的三，点，∠ACM=60°，B,点是N的中点，P,点是 MN上一动，点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为() A M ② A.1 B.2 c.2 D.√3-1 【答案】C 【详解】解：作，点B关于MN的对称，点B,连接OA、OB、OB、AB, A B 0 B 则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的，点，PA+PB的最小值=AB', .∠ACM=60°， .∠AOM=2∠ACM=2×60°=120°， ∴.∠AON=60°， ',点B为劣孤AN的中点， 1 .∠BON=2∠AON=2×60°=30°， 由对称性，∠B'ON=∠BON=30°， 8 ∴.∠AOB=∠AON+∠BON=60°+30°=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， AB=√20A=√2x1=√2， 即A+PB的最小值=V√2 10、如图，在半径为6cm的⊙0中，点A是劣孤BC的中，点，点D是优孤BC上一点，且 ∠D=30°，下列四个结论：①OA1BC;②0C⊥AD;⑧BC=6N3cm;④劣孤BC的长度是 4πcm ；⑤四边形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是（) A.①③ B.①②③④⑤ C.②④⑤ D.①③④⑤ 【答案】D 【详解】解：点D是优孤BC上一，点，且∠D=30 ∴.∠A0C=60° .OA=OC ∴.△OAC 是等边三角形， 点A是劣孤BC的中点， :.AC=AB .AB=AC=OC=OB ∴.OCAB 是菱形， 故⑤正确； OA⊥BC 故①正确； ∠ACO=60° 9 当∠COD=60°时，即B、O、D共线时， ∠C1D=5C0D=30 ∠AC0+∠CAD=90°，OC⊥AD ,即 故②不一定正确， 半径为6cm,OCAB是菱形， ∴.OC=6cm∠BC0=30° ∴.OE=3cm .CE=VOC2-OE2 =33cm .BC=6v3cm 故③正确； 劣孤BC的长度是： 120π×6 =4πcm 180 故④正确； 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、正n边形的中心角为45°，则n= 【答案】8 【详解】解：正n边形中心角为45°， ∴.45°.n=360° 10 .n=8 故答案为：8 12、若扇形的圆心角为60°，孤长为2π，则扇形的半径为一 【答案】6 【详解】扇形的圆心角为60°，孤长为2π， l=nπR 60πR π= .180,即 180,解得，扇形的半径R=6. 故答案为：6 13、若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为一 【答案】2V2 【详解】解：如图，连接OA、OE，根据题意知OA=4, AB是小圆的切线， .OE⊥AB 四边形ABCD是正方形， △AOE是等腰直角三角形，AE=OE, ·在Rt△AOE中根据勾股定理得： AE2+OE2=OA2 .20E2=42,解得0E=2W2或0E=-2W2(舍去)， 故答案为：2√2 E B 14、如图，AB是⊙0的直径，AB=15,AC-9,则tan∠ADC一 —11 o 3 【答案】4 【详解】解：AB为⊙O直径， ∴.∠ACB=90°. .AB=15,AC9, .根据勾股定理，得BC=12 ,∠ADC和∠ABC是同孤所对的圆周角， ∴.∠ADC∠ABC. tan∠ADC=tan∠ABC=AC=9-3 BC124. 3 故答案为：4 3 15、如图，AB是O0的直径，CD是孩，AB1CD,垂足为点E,BD=6,an∠BDC= 4,则 ⊙0 的半径为」 D 【答案】5 【详解】解：如图，连接AC, -12 ---- B AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° AB⊥CD,垂足为点E,BD=6, .'BC=BD=6 BC=BC, ∠BDC=LBAC, tan∠BDC=tan∠BAC=3 4, BC AC= =8 tan∠BAC :.AB=VAC2+BC2=V82+6=10 .⊙0的半径为5. 故答案为：5」 12 16、在平面直角坐标系中，直线1经过，点P(0,3),Q(4,0),若⊙M的半径为5，圆心M在坐标轴 上，且不与原，点重合，当⊙M与直线I相切时，则，点M的坐标为 【答案】(8,0)或(0,6) 【详解】解：如图， 13 M MO M 在Rt△PQ0中，OP-3,OQ-4, :P0=V0Pp2+002=V32+42=V25=5 当圆心M在x轴上，在，点2的左边时，设⊙M与直线1相切于F, 12 连接MF,则MF=5,MF⊥P2, .'∠MFQ=∠POQ=90°，∠MQF=∠PQO, ∴.△MQF△PQO, MF MO .POPO, 12 .MF=5,OP=3,PQ=5, 25 MQ-MF.PO OP 34 即点M与原点重合，不合题意， 当圆心M在x轴上，在，点2的右边时，设⊙M与直线I相切于N, 同理可得，△MQN~△PQO,得QM=4, ∴.OM=4+4=8, ∴.点M的坐标M(8,0), 当圆心M在y轴上，在，点P的下边时，圆心M与原点重合，不合题意， —14— 当圆心M在y轴上，在点P的上边时，设⊙M与直线I相切于E, 12 连接MB,则ME=5,ME⊥PQ, .·∠MEP=∠POQ=90°，∠MPE=∠QPO, ∴.△MPE~△QPO, M,E M,P ∴.OQPQ, 12 .ME=5,O0=4,PQ=5, 12 ×5 2P=aE,PQ-5。-=3 00 ∴.OM5=3+3=6, 点M的坐标M(0,6), 综上所述，则点M的坐标为(8,0)或(0,6). 故答案为(8,0)或(0,6).· 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题8分，18题6分，19-20，每题9分，21-24，每题10 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点4，B,C. B (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心O.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)连接0A,0C,若圆形轮片的直径为6，圆心角∠A0C=120°，求孤AC的长 【答案】(1)作图见详解 —15 (2)孤AC的长为2π 1 AC 【详解】(1)解：分别以，点4B为圆心，以大于2为半径画孤交于点M,N,连接MN; 分别以，点B,C为圆心，以大于2为半径画孤交于，点P,0，连接P; 线段MN,P交于，点O,如图所示， M B 点O即为所求圆心 (2)解：根据题意，如图所示，连接0A,0C,圆形轮片的直径为6，圆心角∠A0C=120°， B .0A=OC=3 AC=120°xxx3 2π 180° .孤AC的长为2π. —16 18、已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE,求证：AC=AB D E 【答案】见详解 【详解】证明：连接AE, D E B AB为⊙0的直径， :.∠AEB=90° :.∠AEB=∠AEC=90° 弦BE=DE, :DE=BE, .∠DAE=∠BAE, ·∠C=90°-∠DAE,∠B=90°-∠BAE, .∠B=∠C .AC=AB I9、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E为BA延长线上一，点，连接EC交△ABC的外接圆于，点 D,连接D、BD —17 E A D B (1)求证：AD平分∠BDE: (2)若∠BAC=30°，AE=AB,BC=2,求CD的长. 【答案】(1)见详解 (2)CD=23 【小问1详解】 证明：：四边形ABCD内接于圆， .∠EDA=∠ABC, .AB=AC, .∠ACB=∠ABC, ∠EDA=∠ACB, 又∠ADB=∠ACB .LADB=∠EDA, AD平分∠BDE; 【小问2详解】 解：AE=AB=AC, .∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠E, .·∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠E=180° 18- :.∠ACB+∠ACE=90° :.∠BCE=90°， ·∠BDC=∠BAC=30°、BC=2 tan30°= BC 23 CDCD 3, .CD=2V3 20、如图，四边形OABC在直角坐标系中，点A(6,0),OA∥BC,且OA=BC=2AB,以，点O 为圆心，OA长为半径画孤交y轴于点D,交BC于点E,点M为y轴上一点，M(0,12),连接 ME M D (1)求证：ME是孤AD所在圆的切线； (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)见详解 218-9y5-3玩 2 【小问1详解】 证明：连接OE 19— M D EB A :OA∥BCOA=BC∠AOC=90° ·四边形 OABC 为矩形 ,点A(6,0) .·OA=BC=6 .OA=BC=2AB .0C=3, ·M(0,12) ∴.MC=12-3=9 由题意知OA=OE=6 在RtAOCE中 CE=V0E2-0C2=3√3 Rt△MCE 必 tan∠CME= CE_35√5 MC 93 ∴.∠CME=30° 在RtAOCE中 tan∠COE- CE 33 0C3 .∠C0E=60° ∴.∠OEM=90° -20 为孤AD ..ME 所在圆的切线 【小问2详解】 解：S阴=S边形04Bc-S60cE-SO4E =3x6-x3×3N5-30x-6=18-95-3元 360 2 21、如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切，点为E,AC经过圆心0并与圆相交于点F,CB交 ⊙0 于D,连接CE,DE,EF,且DE=EF, (1)求证：AB⊥BC; (2) BC=3.sinA=3 ,求AF的长。 【答案】(1)见详解 (2)4 【小问1详解】 证明：连接OE, O E B AB是⊙O的切线，切，点为E, .OE⊥AB .∠OEA=90° -21 ·EF=ED, :.∠FCE=∠DCE, ·OE=OC .∠FCE=∠OEC, .∠DCE=∠OEC、 .OE∥CB .∠B=∠0EA=90°， .AB⊥BC; 【小问2详解】 解：设⊙0半径为”， ·BC=3sinA=2,∠B=90o 5 .AC=5, sinA=OE=r 3 在Rt△AOE中， A05-r5 15 r= 解得： 8, AF=5-2r=5-2× 155 84. 22、如图，AB为⊙0的半径，点C在⊙0上，AD⊥DE于点D,AC平分∠DAB. D E (1)求证：DE是⊙O的切线； -22 (2)若⊙0的半径为4，AD=6,求AC的长。 【答案】(1)见详解；(2)4V3 【详解】(1)连接OC」 D :AC平分∠DAB .∠DAC=∠OAC, .OA=OC, :.∠OCA=∠OAC .∠DAC=∠OCA .OC∥AD .∠OCE=∠ADC=90° .DC是⊙0切线 (2)解：连接BC,则LACB=90°，∠ACB=∠ADC=90° .∠DAC=∠BAC .△ADC∽△ACB AC AB ·.ADAC :4C2=ADAB=8×6=48 :AC=V48=4V3 23、如图，等腰Rt△ABC内接于⊙0，，点D是线段OB上异于O,B的一点.连接CD并延长交 ⊙0 于点E,点P在1B的延长线上，PD=PE 23 D B (1)求证：PE是⊙0的切线； PB (2)若BD=3OD,求PE的值， 3 【答案】(1)见详解 (2)5 【小问1详解】 证明：连接OC,OE 因为⊙0是等腰Rt△ABC的外接圆，O为AB的中点， 所以OC=OE,∠COB=90° 所以∠OED=∠OCD 因为PD=PE, 所以∠PED=∠PDE. 因为∠PDE=∠ODC, 所以∠PED=∠ODC D B 在RtACOD中，∠OCD+∠ODC=90°」 所以∠OED+∠PED=∠OCD+∠ODC=90° 所以OE⊥PE -24 所以PE是⊙0的切线. 【小问2详解】 解：设OD=a,则BD=3OD=3a, 此时OE=OB=4a 由(1)知，△POE是直角三角形 由勾股定理可得：PE2+OE2=PO2 因为PE=PD=PB+BD, 所以(PB+BD}'+OE2=(PB+OB} (PB+3a)+(4a)}=(PB+4a}. 解得PBa 2. 所以PE、 15a +3a= 2 2. 9a PB 23 所以PEa行. 2 24、如图，以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于，点C,AD平分∠CAB交⊙O于，点D,过，点D作 直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交射线AC于点M. (I)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)求证：AB=AM; (3)若ME=2,∠F=30°，求图中阴影部分的面积. M E C —25 【答案】(1)见详解(2)见详解 (2)3 【详解】(1)证明：连接OD,则OD=OA, ∴.∠ODA=∠OAD, .AD平分∠CAB, '.∠OAD=∠DAC ∴.∠ODA=∠DAC, ∴.OD∥AC, .DE⊥AC, ∴.∠ODF=∠AED=90°， .OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, .直线DE是⊙O的切线. (2)证明：线段AB是⊙O的直径， .∴.∠ADB=90°， ∴.∠ADM=180°-∠ADB=90°， ∴.∠M+∠DAM=90°，∠ABM什∠DAB=90°， .·∠DAM=∠DAB, .∴.∠M=∠ABM, .'.AB=AM. (3)解：连接OC交AD于N, .∠AEF=90°，∠F=30°， ∴.∠BAM=60°，∠M=60°， .∴.∠EDM=30°， .△ABM是等边三角形， -26 ∴.BD=MD=2ME=2, ∴.∠BDF=∠F, ..BF=BD=2, ∴.OD=4, .A0=0C, ∴.AC=OD, .△ANC≌△NOD(AAS), 60元×42 8 ∴.阴影部分的面积=扇形C0D的面积=360=3π， M E 、 27 第4章 圆的再认识（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法中，正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 圆内接四边形的对角互补 D. 三个点确定一个圆 2、如图，点A，B，C是上的点，四边形是平行四边形，，交于点F，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 3、已知：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于P点，则∠ADP的度数为（     ） A. 45° B. 40° C. 50° D. 65° 4、如图，为⊙O直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 4 5、如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交的延长线于点F，G.连接，则等于（ ） A. B. C. D. 6、如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 7、如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E、B、C、O，且、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 8、如图，是边长为的等边△ABC的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9、如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 10、如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④劣弧的长度是；⑤四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ①②③④⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、正n边形的中心角为，则______． 12、若扇形的圆心角为60°，弧长为２，则扇形的半径为___． 13、若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为______． 14、如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=_____． 15、如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，，，则的半径为______． 16、在平面直角坐标系中，直线经过点，若的半径为，圆心M在坐标轴上，且不与原点重合，当与直线相切时，则点M的坐标为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题8分，18题6分，19-20，每题9分, 21-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 18、已知为的直径，弦，求证：． 19、已知：如图，在△ABC中，为延长线上一点，连接交△ABC的外接圆于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 20、如图，四边形在直角坐标系中，点，，且，以点O为圆心，长为半径画弧交y轴于点D，交于点E，点M为y轴上一点，，连接． （1）求证：是弧所在圆的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 21、如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交于D，连接CE,DE,EF，且DE=EF． （1）求证：； （2）若，求的长． 22、如图，为的半径，点在上，于点，平分. （1）求证:是的切线； （2）若的半径为4，，求的长. 23、如图，等腰内接于，点是线段上异于，的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 24、如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $