25.3实际问题与一元二次方程 同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，系统梳理列方程一般步骤及传播、增长率、图形面积、数字、营销利润等10类问题模型，构建从基础步骤到具体应用的学习支架，覆盖多种现实情境。 该资料通过题型分类与典例变式结合，突出解题思路与易错提醒，培养学生抽象能力、模型意识和应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生强化练习，有效弥补知识盲点。

25.3实际问题与一元二次方程 目录 知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 2 知识点2 传播问题的基本模型 2 知识点3 增长率（降低率）问题的基本模型 2 知识点4 图形面积问题的基本模型 3 知识点5 数字问题的基本模型 3 知识点6 营销利润问题的基本模型 3 知识点7 动态几何问题的基本模型 3 知识点8 工程问题的基本模型 3 知识点9 行程问题的基本模型 3 知识点10 握手与循环赛问题的基本模型 4 题型1 传播问题 4 题型2 增长率问题 6 题型3 与图形有关的问题 8 题型4 数字问题 11 题型5 营销问题 13 题型6 动态几何问题 16 题型7 工程问题 22 题型8 行程问题 25 题型9 握手、循环赛问题 28 题型10 其他问题 31 1. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 2. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 3. 能解决传播、增长率、图形面积、数字、营销利润、动态几何、工程、行程、握手循环赛等常见实际问题。 4. 能根据实际意义检验方程的根是否合理，学会取舍不符合题意的根。 知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审题，明确已知量和未知量，找出题目中的等量关系。 （2）设：设未知数，一般设所求量为x，注意单位统一。 （3）列：根据等量关系列出一元二次方程。 （4）解：解这个一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）。 （5）验：检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 （6）答：写出答案，注意单位和完整表述。 知识点2 传播问题的基本模型 设每轮传染中平均一个人传染x个人，开始有1人患病，经过两轮传染后共有y人患病，则： 第一轮后：1 + x 人；第二轮后：(1+x) + x(1+x) = (1+x)² 人。 核心公式：经过n轮传染后，患病人数为 (1+x)ⁿ。 知识点3 增长率（降低率）问题的基本模型 设原量为a，平均增长率为x，经过两次增长后的量为b，则： 第一次增长后：a(1+x)；第二次增长后：a(1+x)² = b。 若为降低率，则公式为：a(1-x)² = b。 核心公式：a(1±x)ⁿ = b（n为增长或降低的次数）。 知识点4 图形面积问题的基本模型 利用几何图形的面积公式（矩形、三角形、梯形、圆等）建立方程。常见类型： （1）围栏问题：利用一面墙或围栏围成矩形，求边长。 （2）修路问题：在矩形场地内修等宽道路，求道路宽度。 （3）镶边问题：在矩形四周镶等宽边框，求边框宽度。 关键：用含未知数的代数式表示相关线段长度，再利用面积关系列方程。 知识点5 数字问题的基本模型 （1）连续整数：设中间数为x，则三个连续整数为 x-1, x, x+1。 （2）连续奇数/偶数：设中间数为x，则三个连续奇数（偶数）为 x-2, x, x+2。 （3）两位数：设十位数字为a，个位数字为b，则两位数为 10a+b。 （4）三位数：设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，则三位数为 100a+10b+c。 关键：用数位上的数字正确表示多位数，注意数字的取值范围（0-9，首位不为0）。 知识点6 营销利润问题的基本模型 基本关系式： （1）单件利润 = 售价 - 进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 × 销售量 （3）利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% 常见模型：每降价（涨价）x元，销售量增加（减少）m件，求最大利润或特定利润时的定价。 关键：用含x的代数式表示出单件利润和销售量，再根据总利润列方程。 知识点7 动态几何问题的基本模型 点在图形上运动，设运动时间为t秒，用含t的代数式表示运动后相关线段的长度，再利用面积、勾股定理或相似关系列方程。 关键：画出运动后的图形，确定动点位置，用速度×时间表示路程，注意分类讨论。 知识点8 工程问题的基本模型 基本关系式： （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）通常把工作总量看作单位"1" （3）合作效率 = 各队效率之和 常见模型：甲单独完成需a天，乙单独完成需b天，合作或先后完成工程，求时间。 知识点9 行程问题的基本模型 基本关系式： （1）路程 = 速度 × 时间 （2）相遇问题：路程和 = 速度和 × 相遇时间 （3）追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间 （4）流水行船：顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 - 水速 一元二次方程常见于：往返行程、变速运动、相遇后继续行驶等场景。 知识点10 握手与循环赛问题的基本模型 （1）握手问题：n个人每两人握一次手，握手总次数为 n(n-1)/2。 （2）单循环赛：n个队每两队比赛一场，比赛总场数为 n(n-1)/2。 （3）双循环赛（主客场）：n个队每两队比赛两场，比赛总场数为 n(n-1)。 关键：判断是"单循环"（除以2）还是"双循环"（不除以2），注意是否包含自己与自己。 题型1 传播问题 【解题思路】 第一步：设每轮传播中平均一个人（或一个传染源）传染x个对象。 第二步：分析每轮传播后的总数。第一轮后为 1+x；第二轮后为 (1+x)+x(1+x) = (1+x)²。 第三步：根据题目给出的最终患病人数（或感染数）列出方程 (1+x)ⁿ = 总数。 第四步：解方程，注意x必须为正数，舍去负根。 第五步：检验并作答。 【易错提醒】传播问题中，已感染者在每一轮都会继续传染，不要遗漏已感染者的二次传播。若开始时有a个传染源，则公式为 a(1+x)ⁿ。 【典例1】．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1】．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 【变式2】．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 【变式3】．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 题型2 增长率问题 【解题思路】 第一步：确定原量a、增长次数n和最终量b。 第二步：设平均增长率为x（降低率问题设为x，公式中用减号）。 第三步：列方程 a(1+x)ⁿ = b（增长）或 a(1-x)ⁿ = b（降低）。 第四步：用直接开平方法解方程：1+x = ±√(b/a)，取正根。 第五步：求出x后化为百分数，检验是否符合实际（增长率通常为正，降低率在0到1之间）。 【易错提醒】增长率问题中，每次增长的基数是上一次增长后的量，不是原始量。降低率问题解出的x必须小于1，否则不合题意。 【典例2】．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 【变式1】．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 【变式2】．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【变式3】．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 题型3 与图形有关的问题 【解题思路】 第一步：仔细读题，画出示意图，标注已知条件和未知量。 第二步：设未知数（通常设道路宽度、边框宽度、边长等为x）。 第三步：用含x的代数式表示图形中相关线段的长度。 - 围栏问题：设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为 总长-2x。 - 修路问题：设路宽为x，剩余种植面积的长和宽分别为 原长-x 和 原宽-x（十字路）。 - 镶边问题：设边框宽为x，外部大矩形的长和宽分别为 原长+2x 和 原宽+2x。 第四步：根据面积关系（总面积=各部分面积之和，或剩余面积=总面积-道路面积等）列方程。 第五步：解方程，检验根是否使线段长度为正且符合图形实际。 【易错提醒】图形问题中，道路交叉部分（重叠区域）的面积容易重复计算，需注意减去重叠部分。设未知数时要明确x代表的是哪条线段，避免混淆。 【典例3】．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 【变式1】．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 【变式2】．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 【变式3】．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 题型4 数字问题 【解题思路】 第一步：判断数字类型（连续整数、连续奇数/偶数、多位数等）。 第二步：设未知数。 - 连续整数：设最小的为x，则依次为x, x+1, x+2... - 连续奇数/偶数：设最小的为x，则依次为x, x+2, x+4... - 两位数：设个位数字为x，十位数字用含x的式子表示（或反过来），两位数为 10×十位+个位。 第三步：根据题目中的等量关系（和、差、积、倍数、数位对调后的关系等）列方程。 第四步：解方程，注意数字的取值范围：单个数字为0-9，首位数字不为0；连续数需为整数。 第五步：检验并写出完整的数。 【易错提醒】两位数的表示必须用 10×十位数字+个位数字，不能直接写成"十位数字+个位数字"。数位对调后，新数的表示也要正确。 【典例4】．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 【变式1】．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 【详解】解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 【变式2】．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 【变式3】．2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 题型5 营销问题 【解题思路】 第一步：明确进价、原售价、原销售量、每降价（涨价）对应的销售量变化。 第二步：设每件降价（或涨价）x元。 第三步：用含x的代数式表示： - 现售价 = 原售价 ± x - 现单件利润 = 现售价 - 进价 - 现销售量 = 原销售量 ± (x÷单位变化量)×变化件数 第四步：根据"总利润 = 单件利润 × 销售量"列方程。 第五步：解方程，检验x的取值是否使售价为正、销售量为正，且符合题目限制条件（如降价不能低于成本等）。 第六步：若题目要求"最大利润"，则需将方程化为顶点式求最值（九年级可结合二次函数）。 【易错提醒】营销问题中，"每降价1元，多卖m件"——降价x元时，多卖的件数是 mx，不是m。计算销售量时要注意是"增加"还是"减少"。总利润不等于总销售额，必须减去成本。 【典例5】．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【变式1】．某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． 【变式2】．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 【变式3】．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 题型6 动态几何问题 【解题思路】 第一步：设运动时间为t秒（或运动路程为x）。 第二步：根据动点的速度，用含t的代数式表示动点运动的路程和相关线段的长度。 第三步：画出运动后的图形（或在原图上标注），确定动点的位置。 第四步：根据题目条件选择等量关系： - 面积关系：三角形面积、矩形面积等等于给定值。 - 勾股定理：直角三角形中三边满足 a²+b²=c²。 - 线段相等：两条线段长度相等。 - 相似关系：对应边成比例。 第五步：列方程并求解。 第六步：检验t的取值范围——动点不能超出图形边界，需分类讨论动点在不同边上的情况。 【易错提醒】动态几何问题必须考虑动点的运动范围，当t使动点超出图形边界时，该解无效。多个动点时，要分别表示每个动点的位置，注意速度和方向。分类讨论是这类题的关键，不要遗漏情况。 【典例6】．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【变式2】．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 【变式3】．如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 题型7 工程问题 【解题思路】 第一步：把工作总量看作单位"1"。 第二步：根据"工作效率 = 1 ÷ 单独完成时间"，表示出各队（各人）的工作效率。 第三步：设未知数（通常设合作时间为x天，或设某队单独完成需x天）。 第四步：根据"工作量 = 工作效率 × 工作时间"，表示出各部分工作量。 第五步：根据等量关系列方程： - 合作完成：甲工作量 + 乙工作量 = 1 - 先后完成：先做的工作量 + 后做的工作量 = 1 - 有未完成：已完成工作量 = 总量 - 剩余量 第六步：解方程，检验时间是否为正，且符合实际。 【易错提醒】工程问题中，若设"甲单独完成需x天"，则甲的效率为1/x，不是x。合作时效率相加，但工作时间可能不同，要分别计算各自的工作量。注意"完成了工程的几分之几"与"还剩几分之几"的区别。 【典例7】．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式1】．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【变式2】．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式3】．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 题型8 行程问题 【解题思路】 第一步：画线段示意图，标注出发点、方向、速度和已知路程。 第二步：判断行程类型（相遇、追及、往返、变速等）。 第三步：设未知数（通常设速度为x km/h，或设时间为x小时）。 第四步：根据基本公式列方程： - 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 - 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 路程差 - 往返问题：去时路程 = 返回路程（或 去时时间+返回时间=总时间） - 变速问题：分段路程之和 = 总路程 第五步：解方程，注意单位统一（速度km/h对应时间h、路程km）。 第六步：检验解是否使速度、时间为正，且符合实际场景。 【易错提醒】行程问题中，相遇时间是从出发到相遇的时间，两人用时相同（同时出发时）。追及问题中，追及时间是从追及开始到追上的时间，不是总时间。往返问题中，去和回的路程相同，但速度和时间可能不同。单位不统一是常见错误，务必先统一单位。 【典例8】．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 【变式1】．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【变式2】．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【变式3】．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 题型9 握手、循环赛问题 【解题思路】 第一步：判断问题类型——是"握手/单循环"还是"双循环/互赠礼物"。 第二步：设参与人数（或队数）为n。 第三步：根据类型列方程： - 握手问题（每两人握一次）：n(n-1)/2 = 总次数 - 单循环赛（每两队赛一场）：n(n-1)/2 = 总场数 - 双循环赛（主客场，每两队赛两场）：n(n-1) = 总场数 - 互送礼物（每人送其他人一份）：n(n-1) = 总礼物数 第四步：整理为一元二次方程标准形式，用因式分解法或公式法求解。 第五步：检验n必须为正整数，舍去负根和非整数根。 【易错提醒】握手问题和单循环赛要除以2，因为A与B握手和B与A握手是同一次。双循环赛和互送礼物不除以2，因为A送B和B送A是两份不同的礼物。注意题目中"每两人之间"、"每两队之间"的表述，判断是否需要除以2。 【典例9】．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 【变式1】．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 【变式2】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【变式3】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 题型10 其他问题 【解题思路】 对于不属于以上典型类型的实际问题，采用通用解题策略： 第一步：认真审题，提取题目中的关键信息（已知量、未知量、等量关系）。 第二步：设未知数，选择合适的量设为x，尽量使方程简洁。 第三步：用含x的代数式表示其他相关量。 第四步：寻找题目中的等量关系（常见的有：总量=各部分之和、变化前后相等、公式关系等）。 第五步：列出一元二次方程，整理为标准形式 ax²+bx+c=0。 第六步：选择合适的方法解方程（因式分解法优先，其次公式法）。 第七步：检验根是否符合实际意义（正数、整数、不超过范围等），舍去不合题意的根。 第八步：写出完整答案。 【常见其他问题类型】 - 浓度问题：溶质 = 溶液 × 浓度，混合前后溶质总量不变。 - 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息，利息 = 本金 × 利率 × 期数。 - 年龄问题：年龄差不变，用含x的式子表示几年前/后的年龄。 - 分配问题：按比例分配或盈不足问题，总量不变。 【易错提醒】无论哪种问题，检验根的实际意义都是必不可少的步骤。一元二次方程通常有两个根，但实际问题中往往只有一个根符合题意，甚至两个根都不符合（此时说明题目无解或条件矛盾）。 【典例10】．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 【变式1】．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 【答案】或 【分析】根据定义可得：等于、中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可． 【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值 ∴当时 ∴ ∴ 解出， ∵ ∴取 当时 ∴ 解得：， ∵ ∴取 综上所述：的值为或． 【变式2】．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 【变式3】．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 1．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 2．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 3．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 4．随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用一元二次方程求解即可，设第一季度成本为单位1，设下降百分率为x，根据题意列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：设每个季度的下降百分率为，设第一季度制造成本为单位， ∵从第一季度到第三季度共经过个季度，且第三季度制造成本为第一季度的， ∴， 开方得， ∵下降率满足， ∴取正根得， 解得． 5．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 6．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 7．宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年平均增长率的计算方法，从2023年的初始里程推出2025年的里程表达式，结合已知2025年的里程即可列出方程． 【详解】解：∵2023年运营里程为公里，年平均增长率为.， ∴2024年运营里程为，2025年运营里程为.， 又∵2025年运营里程为公里， ∴可列方程为 ． 8．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 9．据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据平均增长率问题的数量关系，结合题干已知量列方程．本题中8月销量为初始量，经过两次增长后得到10月销量，代入平均增长率问题的数量关系即可得到方程． 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． 10．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 【答案】 【分析】根据题意可得正方形休闲广场的边长为，根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴步道的宽为； 设区域丙的边长为， 由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多， ∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大， ∴， ∴， ∴塑胶跑道的总面积为． 11．一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，因为，所以是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为 ___． 【答案】 【分析】根据“合十数”定义，设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是，则有，根据题意得到，因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出的值． 【详解】解：设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是，则有， 则，， ， ， ， ， ， ， a和c为1到9的整数，b为0到9的整数， 也是正整数， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 当时，（不符合条件）， 故，，则， 故答案为：． 12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的宽与长各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为_______． 【答案】（或） 【分析】可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据题意得， 化为一般式为：． 13．如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】设小道的宽度应为，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为， 由题意得：， 故答案为：. 14．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 15．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 【答案】(1)男会员160人，女会员40人 (2)①；②相等 【分析】（1）根据男、女会员人数之比为和总人数，列出方程求解即可； （2）①根据男、女会员人数之比为，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 16．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 17．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 18．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 目录 知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 2 知识点2 传播问题的基本模型 2 知识点3 增长率（降低率）问题的基本模型 2 知识点4 图形面积问题的基本模型 3 知识点5 数字问题的基本模型 3 知识点6 营销利润问题的基本模型 3 知识点7 动态几何问题的基本模型 3 知识点8 工程问题的基本模型 3 知识点9 行程问题的基本模型 3 知识点10 握手与循环赛问题的基本模型 4 题型1 传播问题 4 题型2 增长率问题 4 题型3 与图形有关的问题 5 题型4 数字问题 7 题型5 营销问题 8 题型6 动态几何问题 9 题型7 工程问题 10 题型8 行程问题 11 题型9 握手、循环赛问题 12 题型10 其他问题 13 1. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 2. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 3. 能解决传播、增长率、图形面积、数字、营销利润、动态几何、工程、行程、握手循环赛等常见实际问题。 4. 能根据实际意义检验方程的根是否合理，学会取舍不符合题意的根。 知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审题，明确已知量和未知量，找出题目中的等量关系。 （2）设：设未知数，一般设所求量为x，注意单位统一。 （3）列：根据等量关系列出一元二次方程。 （4）解：解这个一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）。 （5）验：检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合题意的根。 （6）答：写出答案，注意单位和完整表述。 知识点2 传播问题的基本模型 设每轮传染中平均一个人传染x个人，开始有1人患病，经过两轮传染后共有y人患病，则： 第一轮后：1 + x 人；第二轮后：(1+x) + x(1+x) = (1+x)² 人。 核心公式：经过n轮传染后，患病人数为 (1+x)ⁿ。 知识点3 增长率（降低率）问题的基本模型 设原量为a，平均增长率为x，经过两次增长后的量为b，则： 第一次增长后：a(1+x)；第二次增长后：a(1+x)² = b。 若为降低率，则公式为：a(1-x)² = b。 核心公式：a(1±x)ⁿ = b（n为增长或降低的次数）。 知识点4 图形面积问题的基本模型 利用几何图形的面积公式（矩形、三角形、梯形、圆等）建立方程。常见类型： （1）围栏问题：利用一面墙或围栏围成矩形，求边长。 （2）修路问题：在矩形场地内修等宽道路，求道路宽度。 （3）镶边问题：在矩形四周镶等宽边框，求边框宽度。 关键：用含未知数的代数式表示相关线段长度，再利用面积关系列方程。 知识点5 数字问题的基本模型 （1）连续整数：设中间数为x，则三个连续整数为 x-1, x, x+1。 （2）连续奇数/偶数：设中间数为x，则三个连续奇数（偶数）为 x-2, x, x+2。 （3）两位数：设十位数字为a，个位数字为b，则两位数为 10a+b。 （4）三位数：设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，则三位数为 100a+10b+c。 关键：用数位上的数字正确表示多位数，注意数字的取值范围（0-9，首位不为0）。 知识点6 营销利润问题的基本模型 基本关系式： （1）单件利润 = 售价 - 进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 × 销售量 （3）利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% 常见模型：每降价（涨价）x元，销售量增加（减少）m件，求最大利润或特定利润时的定价。 关键：用含x的代数式表示出单件利润和销售量，再根据总利润列方程。 知识点7 动态几何问题的基本模型 点在图形上运动，设运动时间为t秒，用含t的代数式表示运动后相关线段的长度，再利用面积、勾股定理或相似关系列方程。 关键：画出运动后的图形，确定动点位置，用速度×时间表示路程，注意分类讨论。 知识点8 工程问题的基本模型 基本关系式： （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）通常把工作总量看作单位"1" （3）合作效率 = 各队效率之和 常见模型：甲单独完成需a天，乙单独完成需b天，合作或先后完成工程，求时间。 知识点9 行程问题的基本模型 基本关系式： （1）路程 = 速度 × 时间 （2）相遇问题：路程和 = 速度和 × 相遇时间 （3）追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间 （4）流水行船：顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 - 水速 一元二次方程常见于：往返行程、变速运动、相遇后继续行驶等场景。 知识点10 握手与循环赛问题的基本模型 （1）握手问题：n个人每两人握一次手，握手总次数为 n(n-1)/2。 （2）单循环赛：n个队每两队比赛一场，比赛总场数为 n(n-1)/2。 （3）双循环赛（主客场）：n个队每两队比赛两场，比赛总场数为 n(n-1)。 关键：判断是"单循环"（除以2）还是"双循环"（不除以2），注意是否包含自己与自己。 题型1 传播问题 【解题思路】 第一步：设每轮传播中平均一个人（或一个传染源）传染x个对象。 第二步：分析每轮传播后的总数。第一轮后为 1+x；第二轮后为 (1+x)+x(1+x) = (1+x)²。 第三步：根据题目给出的最终患病人数（或感染数）列出方程 (1+x)ⁿ = 总数。 第四步：解方程，注意x必须为正数，舍去负根。 第五步：检验并作答。 【易错提醒】传播问题中，已感染者在每一轮都会继续传染，不要遗漏已感染者的二次传播。若开始时有a个传染源，则公式为 a(1+x)ⁿ。 【典例1】．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式1】．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【变式2】．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【变式3】．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 题型2 增长率问题 【解题思路】 第一步：确定原量a、增长次数n和最终量b。 第二步：设平均增长率为x（降低率问题设为x，公式中用减号）。 第三步：列方程 a(1+x)ⁿ = b（增长）或 a(1-x)ⁿ = b（降低）。 第四步：用直接开平方法解方程：1+x = ±√(b/a)，取正根。 第五步：求出x后化为百分数，检验是否符合实际（增长率通常为正，降低率在0到1之间）。 【易错提醒】增长率问题中，每次增长的基数是上一次增长后的量，不是原始量。降低率问题解出的x必须小于1，否则不合题意。 【典例2】．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【变式2】．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【变式3】．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 题型3 与图形有关的问题 【解题思路】 第一步：仔细读题，画出示意图，标注已知条件和未知量。 第二步：设未知数（通常设道路宽度、边框宽度、边长等为x）。 第三步：用含x的代数式表示图形中相关线段的长度。 - 围栏问题：设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为 总长-2x。 - 修路问题：设路宽为x，剩余种植面积的长和宽分别为 原长-x 和 原宽-x（十字路）。 - 镶边问题：设边框宽为x，外部大矩形的长和宽分别为 原长+2x 和 原宽+2x。 第四步：根据面积关系（总面积=各部分面积之和，或剩余面积=总面积-道路面积等）列方程。 第五步：解方程，检验根是否使线段长度为正且符合图形实际。 【易错提醒】图形问题中，道路交叉部分（重叠区域）的面积容易重复计算，需注意减去重叠部分。设未知数时要明确x代表的是哪条线段，避免混淆。 【典例3】．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【变式2】．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【变式3】．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 题型4 数字问题 【解题思路】 第一步：判断数字类型（连续整数、连续奇数/偶数、多位数等）。 第二步：设未知数。 - 连续整数：设最小的为x，则依次为x, x+1, x+2... - 连续奇数/偶数：设最小的为x，则依次为x, x+2, x+4... - 两位数：设个位数字为x，十位数字用含x的式子表示（或反过来），两位数为 10×十位+个位。 第三步：根据题目中的等量关系（和、差、积、倍数、数位对调后的关系等）列方程。 第四步：解方程，注意数字的取值范围：单个数字为0-9，首位数字不为0；连续数需为整数。 第五步：检验并写出完整的数。 【易错提醒】两位数的表示必须用 10×十位数字+个位数字，不能直接写成"十位数字+个位数字"。数位对调后，新数的表示也要正确。 【典例4】．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【变式1】．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【变式2】．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【变式3】．2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 题型5 营销问题 【解题思路】 第一步：明确进价、原售价、原销售量、每降价（涨价）对应的销售量变化。 第二步：设每件降价（或涨价）x元。 第三步：用含x的代数式表示： - 现售价 = 原售价 ± x - 现单件利润 = 现售价 - 进价 - 现销售量 = 原销售量 ± (x÷单位变化量)×变化件数 第四步：根据"总利润 = 单件利润 × 销售量"列方程。 第五步：解方程，检验x的取值是否使售价为正、销售量为正，且符合题目限制条件（如降价不能低于成本等）。 第六步：若题目要求"最大利润"，则需将方程化为顶点式求最值（九年级可结合二次函数）。 【易错提醒】营销问题中，"每降价1元，多卖m件"——降价x元时，多卖的件数是 mx，不是m。计算销售量时要注意是"增加"还是"减少"。总利润不等于总销售额，必须减去成本。 【典例5】．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【变式2】．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【变式3】．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 题型6 动态几何问题 【解题思路】 第一步：设运动时间为t秒（或运动路程为x）。 第二步：根据动点的速度，用含t的代数式表示动点运动的路程和相关线段的长度。 第三步：画出运动后的图形（或在原图上标注），确定动点的位置。 第四步：根据题目条件选择等量关系： - 面积关系：三角形面积、矩形面积等等于给定值。 - 勾股定理：直角三角形中三边满足 a²+b²=c²。 - 线段相等：两条线段长度相等。 - 相似关系：对应边成比例。 第五步：列方程并求解。 第六步：检验t的取值范围——动点不能超出图形边界，需分类讨论动点在不同边上的情况。 【易错提醒】动态几何问题必须考虑动点的运动范围，当t使动点超出图形边界时，该解无效。多个动点时，要分别表示每个动点的位置，注意速度和方向。分类讨论是这类题的关键，不要遗漏情况。 【典例6】．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【变式1】．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【变式2】．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【变式3】．如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 题型7 工程问题 【解题思路】 第一步：把工作总量看作单位"1"。 第二步：根据"工作效率 = 1 ÷ 单独完成时间"，表示出各队（各人）的工作效率。 第三步：设未知数（通常设合作时间为x天，或设某队单独完成需x天）。 第四步：根据"工作量 = 工作效率 × 工作时间"，表示出各部分工作量。 第五步：根据等量关系列方程： - 合作完成：甲工作量 + 乙工作量 = 1 - 先后完成：先做的工作量 + 后做的工作量 = 1 - 有未完成：已完成工作量 = 总量 - 剩余量 第六步：解方程，检验时间是否为正，且符合实际。 【易错提醒】工程问题中，若设"甲单独完成需x天"，则甲的效率为1/x，不是x。合作时效率相加，但工作时间可能不同，要分别计算各自的工作量。注意"完成了工程的几分之几"与"还剩几分之几"的区别。 【典例7】．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【变式1】．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式2】．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【变式3】．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 题型8 行程问题 【解题思路】 第一步：画线段示意图，标注出发点、方向、速度和已知路程。 第二步：判断行程类型（相遇、追及、往返、变速等）。 第三步：设未知数（通常设速度为x km/h，或设时间为x小时）。 第四步：根据基本公式列方程： - 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 - 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 路程差 - 往返问题：去时路程 = 返回路程（或 去时时间+返回时间=总时间） - 变速问题：分段路程之和 = 总路程 第五步：解方程，注意单位统一（速度km/h对应时间h、路程km）。 第六步：检验解是否使速度、时间为正，且符合实际场景。 【易错提醒】行程问题中，相遇时间是从出发到相遇的时间，两人用时相同（同时出发时）。追及问题中，追及时间是从追及开始到追上的时间，不是总时间。往返问题中，去和回的路程相同，但速度和时间可能不同。单位不统一是常见错误，务必先统一单位。 【典例8】．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【变式2】．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【变式3】．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 题型9 握手、循环赛问题 【解题思路】 第一步：判断问题类型——是"握手/单循环"还是"双循环/互赠礼物"。 第二步：设参与人数（或队数）为n。 第三步：根据类型列方程： - 握手问题（每两人握一次）：n(n-1)/2 = 总次数 - 单循环赛（每两队赛一场）：n(n-1)/2 = 总场数 - 双循环赛（主客场，每两队赛两场）：n(n-1) = 总场数 - 互送礼物（每人送其他人一份）：n(n-1) = 总礼物数 第四步：整理为一元二次方程标准形式，用因式分解法或公式法求解。 第五步：检验n必须为正整数，舍去负根和非整数根。 【易错提醒】握手问题和单循环赛要除以2，因为A与B握手和B与A握手是同一次。双循环赛和互送礼物不除以2，因为A送B和B送A是两份不同的礼物。注意题目中"每两人之间"、"每两队之间"的表述，判断是否需要除以2。 【典例9】．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【变式2】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【变式3】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 题型10 其他问题 【解题思路】 对于不属于以上典型类型的实际问题，采用通用解题策略： 第一步：认真审题，提取题目中的关键信息（已知量、未知量、等量关系）。 第二步：设未知数，选择合适的量设为x，尽量使方程简洁。 第三步：用含x的代数式表示其他相关量。 第四步：寻找题目中的等量关系（常见的有：总量=各部分之和、变化前后相等、公式关系等）。 第五步：列出一元二次方程，整理为标准形式 ax²+bx+c=0。 第六步：选择合适的方法解方程（因式分解法优先，其次公式法）。 第七步：检验根是否符合实际意义（正数、整数、不超过范围等），舍去不合题意的根。 第八步：写出完整答案。 【常见其他问题类型】 - 浓度问题：溶质 = 溶液 × 浓度，混合前后溶质总量不变。 - 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息，利息 = 本金 × 利率 × 期数。 - 年龄问题：年龄差不变，用含x的式子表示几年前/后的年龄。 - 分配问题：按比例分配或盈不足问题，总量不变。 【易错提醒】无论哪种问题，检验根的实际意义都是必不可少的步骤。一元二次方程通常有两个根，但实际问题中往往只有一个根符合题意，甚至两个根都不符合（此时说明题目无解或条件矛盾）。 【典例10】．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 【变式2】．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【变式3】．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 1．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 3．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 4．随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A． B． C． D． 5．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 6．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 7．宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 10．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 11．一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，因为，所以是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为 ___． 12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的宽与长各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为_______． 13．如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 14．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 15．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 16．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 17．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 18．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $