专题11实际问题与一元一次方程精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦实际问题与一元一次方程这一核心知识点，系统梳理审、设、列、解、验、答六大解题步骤，覆盖配套、工程、销售、积分等十五类常考题型，构建从问题分析到规范解题的完整学习支架。 资料特色在于分类细化题型（如方案选择分步骤指导）、易错点辨析（单位统一、实际意义检验）及星级难度标注。通过实际问题抽象等量关系培养数学眼光，逻辑推理列方程发展数学思维，规范步骤训练数学语言。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

专题11实际问题与一元一次方程精讲学案 核心立意： 学会分析实际问题，精准挖掘等量关系；掌握直接设元、间接设元两种设元方法；熟练运用一元一次方程解决六大类常考应用题，严格规范应用题完整解题流程。 列一元一次方程解应用题六大步骤 ①审：认真审题，梳理题意，区分已知量、未知量； ②设：合理设未知数，分为直接设元、间接设元； ③列：抓住题干核心等量关系，列出一元一次方程； ④解：正确求解一元一次方程； ⑤验：双重检验，既要满足方程左右相等，又要符合实际现实意义，不合理解舍去； ⑥答：书写完整答句，结果带上对应单位。 配套问题 常见场景：零件‑部件配套，人员分工配套；核心逻辑：配套的两类物体，数量满足题目给定比例；若甲∶乙=m∶n，则 n×甲的数量=m×乙的数量；注意：看清谁配谁，不要把比例写颠倒；生产类配套，总产量=单人产量×人数。 和差倍分问题 读懂题干倍数、多少关系；关键词：多、少、几倍、增加、减少；基本关系：总量=各部分量之和；A比B多n：A=B+n；A是B的n倍：A=n·B；注意区分“增加到”与“增加了”。 工程问题 基本公式：工作总量＝工作效率×工作时间；没有给出具体工作量时，总工作量记作1；多人合作，总工作效率等于每个人工作效率相加。 行程问题 基本公式：路程＝速度×时间；相遇问题：两者行驶路程之和＝总路程；追及问题：快者行驶路程−慢者行驶路程＝路程差。 销售利润问题 利润＝售价−进价；利润率＝利润÷进价×100%；售价＝标价×折扣；利润率计算基准为进价，不以售价作为计算基准。 积分问题 比赛、答题计分两类考法，总积分＝答对得分−答错扣分；看清计分规则，区分答错扣分、不答不得分也不扣分、不答也要扣分三种情况；得分、扣分数值要看清题干，不能主观默认数值。 方案选择问题 ①读懂每一种方案收费规则； ②设未知数，分别列出每种方案对应的代数式； ③令方案相等，求出临界点； ④分区间讨论，对比各个方案数值大小； ⑤结合题意选出费用最低或者收益最大的最优方案。 重点辨析 1. 设未知数必须标注单位，列方程时等式左右两边单位一定要统一。 2. 方程求解出的数值数学上成立，不一定符合现实生活，与实际矛盾的解要舍去。 3. 直接设元列式繁琐时，可以选用间接设元，简化方程。 4. 销售问题利润率是以进价为基数，不能用售价计算利润率。 1. 审题不到位，找不准等量关系，依靠主观感觉列方程。 2. 题目单位不统一，没有换算直接代入列式计算。 3. 混淆进价、标价、售价，利润率、折扣计算出现错误。 4. 工程问题多人合作效率处理错误，错误将工作总量当作0。 5. 只检验方程，忽略结果的实际意义，直接书写答案。 6. 最后答语缺少单位，回答语句残缺不全 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★ 题型二 工程问题 ★ 题型三 销售盈亏 ★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★必考；★★高频；★★★难点； 题型一：配套问题 解题思路：①读题找出需要配套的两种物品，找出题目给出的配套比例；②按照配套比例写出等式，保证物品刚好成套；③结合单人产量、人数，分别表示两种物品的总产量；④设未知数，列出一元一次方程；⑤算出结果后，人数必须是正整数，不符合的解要舍去。 1．某服装车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应该怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套?设有x人做上衣，根据题意，可列方程为____． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设安排人生产上衣，人生产裤子，再由一件上衣配1条裤子，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设安排人生产上衣，人生产裤子， 根据题意，得：， 故答案为：． 2．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据配套关系找等量关系即可列方程.总铁皮共140张，张制盒身，剩余张制盒底，根据一个盒身配两个盒底的要求，得到盒身与盒底的数量比为，即可列出方程． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身， ∵总铁皮共140张， ∴制盒底的铁皮数量为张，可得盒身总数量为，盒底总数量为 ， 又∵一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，即盒身数量与盒底数量的比为， ∴可列方程． 3．某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 【答案】分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸。 【分析】设出制作书签套盒的同学人数，据此表示出制作装饰贴纸的同学人数，根据配套要求得到两种产品的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设社团应该分配名同学制作书签套盒，则分配名同学制作装饰贴纸， 根据题意，每天制作的书签套盒总数量为个，每天制作的装饰贴纸总数量为 张， 由1个书签套盒与4张装饰贴纸配成一套，可得等式： ， 解得， 制作装饰贴纸的同学人数为（名）， 答：社团应该分配5名同学制作书签套盒，25名同学制作装饰贴纸． 4．在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 题型二：工程问题 解题思路：①把全部工作总量看作整体1，计算每个人的工作效率；②梳理整个工作过程，分清哪些人全程做、哪些中途停工或者换人；③用“效率×时间”表示各部分完成的工作量；④所有部分工作量相加等于总工作量；⑤设未知数，列方程求解。 5．现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 6．甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程：__． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程； 根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 7．现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】(1) 两队合作需要12天完成此工程 (2) 甲队还需要10天才能完成工程 【分析】 将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问． 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 8．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【答案】(1)60平方米 (2)雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程，理解工作总量除以工作效率等于工作时间． （1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积每名徒弟每天粉刷的面积每名师傅比徒弟一天多刷的面积，据此列出方程，并求解； （2）分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，再求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，然后根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米． 根据题意得，， 解得， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米； （2）解：每名师傅每天粉刷墙面的面积为： （平方米）， 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：（平方米）， 单位面积的成本： 徒弟：元/平方米， 师傅：元/平方米， 所以应该优先雇佣徒弟， 40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： （平方米）， 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 师傅需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 徒弟需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （名）， 一天的费用： （元）， ， 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： （元）， 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元． 题型三：销售盈亏 解题思路：①区分清楚进价、标价、售价、折扣、利润率这几个概念；②从题目找出已知条件，确定要求的未知量；③结合销售中的数量关系写出等式；④列出方程，求出进价或者售价；⑤对比售价和进价，判断是盈利还是亏损。 9．一个商人把一件连衣裙标价为640元，经工商人员核价，降至60元出售，仍可获利，若按原标价出售，则一条裙子可获利_______元． 【答案】590 【分析】先根据降价后的售价与利润率，计算出连衣裙的成本，再用原标价减去成本，得到按原标价出售可获得的利润． 【详解】解：设该连衣裙的成本为元， 根据题意，得， 解得， 则按原标价出售可获利为（元）． 10．一盒薯片的购入价为元，王老板订购一批薯片后，以元的价格卖出，在卖到还剩12盒时，他已获利16元，求王老板购入薯片的数量．若设王老板购入盒薯片，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“获利=卖出总销售额购入总成本”的等量关系，梳理已知量即可列出正确方程； 【详解】解：∵设王老板购入x盒薯片，卖到还剩12盒时，卖出的数量为盒， ∴卖出薯片获得的总销售额为元， 购入所有薯片的总成本为元， ∵此时已经获利16元， ∴可列方程，因此选项C正确； 11．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【分析】（1）根据盈利、亏损的利润率关系，直接算出甲、乙两件商品的进价； （2）先排除不优惠方案，再分别按九折、八折两种优惠方案列方程求出件数． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 12．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 【答案】两次邮购的折扇分别是160把和40把 【分析】先设购买数量超100把的那次为把，则另一次为把；再结合表格优惠规则分别列出两次采购的花费表达式，根据总花费1504元建立一元一次方程，解方程后得到两次购买折扇的数量． 【详解】解：设一次邮购折扇x（）把，则另一次邮购折扇把，依题意，得 ∴， ∴， ∴． 答：两次邮购的折扇分别是160把和40把． 题型四：比赛积分 解题思路：①看清题目积分规则，弄明白答对、答错、不答分别怎么计分；②确定总场数或者总答题数；③用未知数表示不同结果对应的场次；④结合积分规则写出总积分的关系式；⑤列方程求解，场次结果必须是非负整数。 13．阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 【答案】 【分析】总题量20题，弃权2题，参与评分的题目共18题，设答对题数为，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设芳芳所在小组答对了题，则答错了（）题， 根据题意得：， ， ， 答：他们答对了题． 14．贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】根据比赛总场数得到胜场和平场的总场数，再结合得分规则列方程求解即可． 【详解】解：∵ 球队共比赛10场，负了4场 ∴ 胜场和平场的总场数为 场 设该球队胜了场，则平了场 根据得分规则和总得分列方程得 化简得 解得 ∴ 该球队胜了3场． 15．某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分； (2)甲同学得了70分，他答对了几道题？ (3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5，； (2)甲同学答对了道题 (3)不可能； 理由如下：设乙同学答对了道题，则答错了道题， 由题意得：，解得：； 是答对题目个数， ∴是自然数， ∴乙同学的成绩不可能是50分． 【分析】（1）根据表格解题即可； （2）设甲同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可； （3）设乙同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，答对一题得（分），答错一题得（分）； （2）解：设甲同学答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得； 答：甲同学答对了道题； （3）略 16．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 题型五：方案选择 解题思路：①逐条读懂每一种方案的收费或者获利规则；②设题目中的关键量为未知数，写出每种方案费用的代数式；③令两个方案代数式相等，算出两种方案费用相等的临界点；④以临界点划分取值范围；⑤代入数值比较，选出最优方案。 17．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解∶共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： (元)， ．购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得： ， 解得：． 故答案为：2． 18．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 19．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 20．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 题型六：数字问题 解题思路：①把某一个数位上的数字设为未知数；②正确用代数式表示这个多位数；③根据数字和、数字调换、倍数等条件找相等关系；④列出一元一次方程；⑤解出各个数位数字，还原出原来的数。 21．若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为（    ） 9 6 A．18 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例关系的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据成反比例的两个量的乘积为定值这一性质，建立方程计算即可得． 【详解】解：∵表中的和两个量成反比例关系， ∴， ∴， 故选：D． 22．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴3和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：． 23．嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将图中所有数相加即可； （2）根据“横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等”列方程求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得． 24．综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 十字框中的五个数字之和不能等于2020，理由： 设十字框中的最中间一个数为 ，由题意得， 解得 ， 由题意可知， 应为奇数， 则十字框的中五个数字之和不能等于2020． 【分析】（1）利用任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等求出即可； （2） 设十字框中的最中间一个数为，依据题意列方程求出为偶数，但题意应为奇数，故不能． 【详解】（1） 解：由题意， 解得， ， 解得， ， 解得； （2） 解：略． 题型七：几何问题 解题思路：①读题提取图形已知边长、周长、面积、体积条件；②把图形未知的边长设成未知数；③利用几何公式建立等式；④列出一元一次方程；⑤求出边长后，再计算题目要求的几何量。 25．如图是一枚庆祝中国共产党成立100周年的长方形纪念币，其周长是，长和宽的比为．这枚纪念币的长和宽分别是多少？若设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可知这枚纪念币的宽为，根据周长（长宽）列方程即可． 【详解】解：设这枚纪念币的长为， ∵长和宽的比为， ∴这枚纪念币的宽为， ∵周长是， ∴． 故选：A． 26．如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 【答案】30 【分析】设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米，再根据大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米建立方程求解即可． 【详解】解：设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米， 由题意得，， 解得， 所以重叠部分的面积是30平方厘米． 27．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 28．如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 【答案】起跳板的宽度为米 【分析】设起跳板的宽度为米，由题意，表示出助跑道的长度，落地区的宽度，再根据落地区的宽度比助跑道的长度少22米，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设起跳板的宽度为米，由题意，得助跑道的长度为米，落地区的长度为米， ∵落地区的宽度与长度的比为， ∴落地区的宽度为米， ∵落地区的宽度比助跑道的长度少22米， ∴， 解得； 答：起跳板的宽度为米. 题型八：动点问题 解题思路：①找出动点的起点、运动方向、运动速度；②用运动时间t，表示动点走过的路程；③结合图形，写出对应线段长度的代数式；④根据题目给出的线段相等、位置关系列方程；⑤算出时间，结果要符合动点实际运动范围。 29．如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 【答案】C 【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可． 【详解】解：设第一次需要t秒相遇， 根据题意得， 解得， ∴它们第1次相遇的时间为秒， 故选：C． 30．已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 【答案】 或 【分析】分相遇前、相遇后两种情况讨论，设运动时间为秒，根据线段长度关系列方程求解。 【详解】解：设经过秒时线段的长为，分两种情况计算： 当点，相遇前，时， ∵，，， ∴，即， 解得； 当点，相遇后，时， ∵的总长度比多出的长度 ∴， 解得； 综上，经过秒或秒时线段的长为． 31．如图，在数轴上点、、表示的数分别是、、动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动． (1)的长为______； (2)t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______． (3)当点P与点Q相遇时，求t的值． (4)若，直接写出点P表示的数． 【答案】(1)14 (2)； (3) (4)或0 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的表示方法列式计算即可； （2）根据运动速度表示出结果即可； （3）当点与点相遇时，即，解方程即可； （4）分两种情况讨论，两点都在运动时，即时，； 到达终点时，不成立，据此解答即可． 【详解】（1）解：的长为； （2）解：秒后，点对应的数为，点对应的数为； （3）解：当点与点相遇时，， 解得：； （4）解：当到达终点时，用时秒，当到达终点时，用时秒， 两点都在运动时，即时， 秒后，长度为个单位，长度为个单位， ， 即， ， ， 解得：或； 此时点对应的数为或； 当到达终点时， ，此种情况不成立， 综上所述，若，点表示的数为或0． 32．在直角三角形中，若．点P从点A开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，如果点P、Q同时出发，当点P到达C点时，P、Q两点都停止运动，用t（秒）表示移动时间，，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示． ①点Q在上时， ； ②当点Q在上时， ； ③当点P在上时， ； ④当点P在上时， ． (2)如图2，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当时，试求出t的值． (3)如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，当时，试求出t的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长、点的运动速度解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时、点P在线段上运动，点Q在线段上运动时、当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①点Q在上时，； ②当点Q在上时，； ③当点P在上时，； ④当点P在上时， （2）解：由题意得，， 解得，； （3）解：秒，秒，秒， ∵ ∴当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得， 当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得， 当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得（不合题意） 则当或时，． 题型九：和差倍分问题 解题思路：①圈画题目关键字：多、少、几倍、增加了、增加到；②分清总量和各个部分量之间的关系；③选择合适的量设未知数；④依据和、差、倍数关系列方程；⑤计算求出题目需要的各个数量。 33．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍，根据年后爸爸年龄等于倍的年后小川年龄这一等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍， ∴年后小川的年龄为 岁，年后爸爸的年龄为 岁， 根据题意得： ． 34．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 【答案】 【分析】设原来小新的碧根果数量为未知数，根据变化后的数量关系列一元一次方程求解即可； 【详解】解：设小新原来有个碧根果，则小创原来有个碧根果； 小创吃个后剩余碧根果数量为个，小新吃个后剩余碧根果数量为个， 根据题意列方程得：， 展开并整理方程得：， 解得， 因此小创原来的碧根果数量为（个）； 35．家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） 【答案】 家具厂卖出书柜30个，办公桌150张 【分析】以办公桌数量为未知量，结合书柜与办公桌的数量关系和数量差列方程求解． 【详解】解：设卖出办公桌的数量为x，则卖出书柜的数量为， 根据题意得：， 解得：， ∴书柜数量为（个）， 答：家具厂卖出书柜30个，办公桌150张． 36．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【答案】(1)15 (2)①七（1）班有24人得满分；②七（2）班的总分高 【分析】（1）分析4个元素的错排情况，明确连对的条数可能的取值，根据每连对1条得5分，判断是否存在对应连对条数得到给出的分数即可； （2）①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，根据总人数为40人列出方程，解方程即可； ②先计算七（1）班的总分，先明确除0分和满分外的得分人数分布，结合对应得分计算总分； 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人，计算其总分，与七（1）班的总分相比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，连对0个得分为0分；连对一个得分为5分；连对两个得分为10分；连对四个得分为20分； 不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的； （2）解：①设七（1）班满分人数有x人，则未满分的有人， 根据题意得：， 解得：， 答：七（1）班有24人得满分； ②根据题意，七（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等， 七（1）班得5分和10分的人数相等， 即其人数为人， 七（1）班的总分为分； 七（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况， 设七（2）班得5分的有y人，得10分的有人，满分20分的有人， ， ， 七（2）班的总分为：分， ， 七（2）班的总分高． 题型十：电费和水费问题 解题思路：①读懂每个计费档位的用量区间以及对应单价；②分析实际用量会跨越哪几个计费段；③分别计算每一个档位产生的费用；④总费用等于各段费用相加；⑤设未知数，列方程求出实际用量。 37．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 38．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是____． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 39．在甲复印店用纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为元．在乙复印店用纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费元．复印页数超过25页时，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确的列方程；设复印页数为页，根据两店的收费相同列方程求解即可． 【详解】解：设复印页数为页时，两店的收费相同， 由题意，得， 解得：， 答：当复印页数为40页时，两店的收费相同． 40．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 题型十一：行程问题 解题思路：①判断题目是相遇、追及还是往返类题型；②整理每个人的速度、时间、路程信息；③利用路程=速度×时间表示每个人的路程；④相遇用路程之和、追及用路程之差建立等式；⑤设未知数，列方程求解。 41．汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米． 【答案】620 【分析】本题可先将汽车速度单位换算为米/秒，再分别计算出汽车在4秒内行驶的距离和声音在4秒内传播的距离，最后通过设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是米，根据声音传播的总路程与汽车行驶的路程和等于按喇叭时汽车到山谷距离的2倍，列出方程求解． 【详解】解：1千米米，1小时秒 （米/秒） （米） （米） 设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是米． 解得： 听到回响时汽车离山谷的距离是620米． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 43．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 44．马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 【答案】(1) (2) 马术三项训练场的总长度为米 【分析】（1）根据时间相等的关系结合即可求出； （2）将相遇时间换算为分钟后，代入时间公式结合第一问得到的与的关系求出和，再计算三段总长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，场地障碍赛段长度为米，甲在越野赛段的速度为米/分钟，乙在越野赛段的速度为米/分， 相遇时，甲走完全部盛装舞步段，且走了越野赛段的，因此甲的运动时间为 ， 相遇时，乙走完全部场地障碍赛段，且走了越野赛段的，因此乙的运动时间为， 甲乙同时出发，相遇时运动时间相等， ，代入，得 ， ∴两边同除以，得， 解得； （2）解：3分钟40秒换算为分钟是分钟，即， 由第一问得，代入的表达式得 ， 解得， 则， 训练场总长度为（米）． 答：马术三项训练场的总长度为米． 题型十二：比例分配 解题思路：①题目给出比例，把每一份设为未知数；②用含未知数的式子表示每一个分量；③根据总量条件建立等式；④解方程求出一份是多少；⑤代入计算出每一个分量的具体数值。 45．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为，旧工艺的废水排量为，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键． 【详解】解：设环保限制的最大量为，则 ， 故选：A． 46．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 47．列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】(1)前年这所学校购买了台计算机； (2)这三个数是，，； (3)年的产值是万元； (4)型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台，根据题意得，然后解方程即可； （）设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，，由三个数的和是，得，然后解方程即可； （）设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元，根据题意得，然后解方程即可； （）设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台， 根据题意，得，解得：， 答：前年这所学校购买了台计算机； （2）解：设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，， 由三个数的和是，得， 解得：， 所以，， 答：这三个数是，，； （3）解：设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元， 根据题意，得，解得， 答：年的产值是万元； （4）解：设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台， 根据题意，得，解得， 所以，， 答：型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 48．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【答案】(1)， (2)① ②10个，20个． 【分析】（1）根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形，分别计算做a个A型铁盒和b个B型铁盒，各所需要的长方形与正方形个数，再相加即可解题； （2）①设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个； ②由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解题． 本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形， 故做a个A型铁盒需要个长方形，个正方形，做b个B型铁盒需要个长方形，个正方形， 故需要个长方形，个正方形， （2）①解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 故答案为：； ②解：根据题意，得， 解得， 此时， 故制作A型、B型两种铁盒的个数分别为10个，20个． 题型十三：日历问题 解题思路：①记住日历规律：上下相邻日期差7，左右相邻日期差1；②选其中一个日期设为未知数；③用代数式表示出其他相关日期；④根据几个数字相加的条件列方程；⑤检验结果必须符合日历日期实际情况。 49．在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 【答案】D 【分析】先设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为，再表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，最后结合月历表中数的特点，即可得出结论． 【详解】解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意． 50．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 【答案】504 【分析】观察数表，可知，，，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：观察数表，可知：，，， 根据题意得：， 解得：． 51．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． 题型十四：古代问题 解题思路：①读懂古文题意，转化成普通数学语言；②提取题目里面的总量、部分量之间关系；③选取合适的量设未知数；④根据题意列出一元一次方程；⑤解方程得到问题答案。 53．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程． 【详解】解：设人数为， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵每人出钱，还差钱， ∴羊价可表示为钱， ∵羊价固定不变， ∴可列方程为． 54．创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【答案】3 【分析】左边表示的数是108，右边表示36与a的积，据此列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 55．我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两(注：在明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语)．求银子共有多少两？ 【答案】银子共有46两 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设银子共有两，根据人数不变列方程求解． 【详解】解：设银子共有两． 根据题意，每人分七两，剩余四两，则人数为． 每人分九两，还差八两，则人数为． 由于人数相等，得方程：． 两边同时乘以63，得：． 展开得：． 移项得：． 即：． 解得：． 答：银子共有46两． 56．列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 【答案】(1)合伙人数是，物品的价格是钱 (2) 【分析】本题考查一元一次方程在实际问题中的应用，根据题意建立等量关系是解题关键． （1）设合伙人数为，以物品价格为等量列方程，求出人数后，代入表达式求出物品价格． （2）设进价为，再以“打折后的售价-进价=进价×20%”列方程，求解得进价． 【详解】（1）解：设合伙人数为， 依题意，得， 解方程得：，即合伙人数为， 故物品的价格为：（钱）． 答：合伙人数是，物品的价格是钱． （2）解：设该服装的进价是元， 依题意得：， 解得：． 答：该服装的进价是元/件． 题型十五：其他问题 解题思路：①抛开题目情景背景，提炼里面的数学数量关系；②区分清楚哪些是已知量，哪些是要求的未知量；③合理设置未知数；④挖掘题目隐藏的相等关系；⑤列出方程，完成求解。 57．情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题中等量关系为：总积分等于兑换纸巾的积分和兑换洗手液的积分之和，据此即可列出方程． 【详解】解：∵3个积分兑换1包纸巾，兑换4包纸巾需要的积分为， 5个积分兑换1瓶洗手液，兑换2瓶洗手液需要的积分为 ， 已知总积分恰好用完，总积分等于兑换两种物品的积分和， ∴ 可列方程 ． 58．中学生天地节目中有个游戏：用一个有个洞的杯子从水缸里舀水倒到三个同样容积的空桶中．第一个桶距水缸有米，第二个桶距水缸有米，第三个桶距水缸有米．第一个桶小方用次恰好把桶装满；第二个桶用次恰好把桶装满；第三个桶小方至少要_______次才能把它装满．（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变．） 【答案】 【分析】根据前两次装桶的条件求出每米漏水量和桶的容积，再计算装第三个桶所需的次数． 【详解】解：设满杯水量为，每米路程漏水量为，桶的容积为． 第一次装桶，次恰好装满，距离米，可得， 第二次装桶，次恰好装满，距离米，可得， 联立两式得：， 展开计算得， 解得， 将代入， 计算得， 第三个桶距离米，每次舀水到达后剩余水量为，需要次数为，因此小方要次才能把第三个桶装满． 59．某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了．” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题． (1)试计算两种笔记本各买了多少本． (2)请你解释：为什么不可能找回68元？ 【答案】(1) 单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本 (2) 解：不可能找回68元，理由如下：假设能找回68元，设购买5元笔记本本，8元笔记本本， 由题意得， 解得， 则， ∵笔记本的数量必须是正整数，求得的两种笔记本的数量均不符合实际意义， ∴不可能找回68元． 【分析】（1）先计算实际花费金额，结合两种笔记本的总数量与总花费列方程求解； （2）假设找回68元，列方程求解，根据解是否为正整数判断是否可能． 【详解】（1）解：实际花费为（元）． 设单价为5元的笔记本买了本，单价为8元的笔记本买了本． 根据题意得： ， 解得， 答：单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本； （2）略 60．综合与实践 全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 开私家车二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？ (2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量； (3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？ 【答案】(1) (2)私家车耗油量为，天然气使用量为 (3) 【分析】（1）直接代入数值计算自来水碳排放量； （2）设未知数，根据总碳排放量的数量关系列一元一次方程，求解得到两种用量； （3）先根据减少的百分比分别求出下个月各项用量，再代入公式计算总碳排放量即可． 【详解】（1）解：已知家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量，小阳家本月用水吨， ， 答：小阳家本月家用自来水的碳排放量是； （2）解：设小阳家本月天然气使用量为，则私家车耗油量为． 根据题意，开私家车碳排放量加天然气碳排放量等于， 可得：， 解得： 则私家车耗油量为． 答：小阳家本月私家车耗油量为，天然气使用量为； （3）解：私家车耗油量：， 天然气使用量：， 自来水使用量：， 总碳排放量为三种排放量相加：， 答：小阳家下个月这几项总的碳排放量是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11实际问题与一元一次方程精讲学案 核心立意： 学会分析实际问题，精准挖掘等量关系；掌握直接设元、间接设元两种设元方法；熟练运用一元一次方程解决六大类常考应用题，严格规范应用题完整解题流程。 列一元一次方程解应用题六大步骤 ①审：认真审题，梳理题意，区分已知量、未知量； ②设：合理设未知数，分为直接设元、间接设元； ③列：抓住题干核心等量关系，列出一元一次方程； ④解：正确求解一元一次方程； ⑤验：双重检验，既要满足方程左右相等，又要符合实际现实意义，不合理解舍去； ⑥答：书写完整答句，结果带上对应单位。 配套问题 常见场景：零件‑部件配套，人员分工配套；核心逻辑：配套的两类物体，数量满足题目给定比例；若甲∶乙=m∶n，则 n×甲的数量=m×乙的数量；注意：看清谁配谁，不要把比例写颠倒；生产类配套，总产量=单人产量×人数。 和差倍分问题 读懂题干倍数、多少关系；关键词：多、少、几倍、增加、减少；基本关系：总量=各部分量之和；A比B多n：A=B+n；A是B的n倍：A=n·B；注意区分“增加到”与“增加了”。 工程问题 基本公式：工作总量＝工作效率×工作时间；没有给出具体工作量时，总工作量记作1；多人合作，总工作效率等于每个人工作效率相加。 行程问题 基本公式：路程＝速度×时间；相遇问题：两者行驶路程之和＝总路程；追及问题：快者行驶路程−慢者行驶路程＝路程差。 销售利润问题 利润＝售价−进价；利润率＝利润÷进价×100%；售价＝标价×折扣；利润率计算基准为进价，不以售价作为计算基准。 积分问题 比赛、答题计分两类考法，总积分＝答对得分−答错扣分；看清计分规则，区分答错扣分、不答不得分也不扣分、不答也要扣分三种情况；得分、扣分数值要看清题干，不能主观默认数值。 方案选择问题 ①读懂每一种方案收费规则； ②设未知数，分别列出每种方案对应的代数式； ③令方案相等，求出临界点； ④分区间讨论，对比各个方案数值大小； ⑤结合题意选出费用最低或者收益最大的最优方案。 重点辨析 1. 设未知数必须标注单位，列方程时等式左右两边单位一定要统一。 2. 方程求解出的数值数学上成立，不一定符合现实生活，与实际矛盾的解要舍去。 3. 直接设元列式繁琐时，可以选用间接设元，简化方程。 4. 销售问题利润率是以进价为基数，不能用售价计算利润率。 1. 审题不到位，找不准等量关系，依靠主观感觉列方程。 2. 题目单位不统一，没有换算直接代入列式计算。 3. 混淆进价、标价、售价，利润率、折扣计算出现错误。 4. 工程问题多人合作效率处理错误，错误将工作总量当作0。 5. 只检验方程，忽略结果的实际意义，直接书写答案。 6. 最后答语缺少单位，回答语句残缺不全 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★ 题型二 工程问题 ★ 题型三 销售盈亏 ★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★必考；★★高频；★★★难点； 题型一：配套问题 解题思路：①读题找出需要配套的两种物品，找出题目给出的配套比例；②按照配套比例写出等式，保证物品刚好成套；③结合单人产量、人数，分别表示两种物品的总产量；④设未知数，列出一元一次方程；⑤算出结果后，人数必须是正整数，不符合的解要舍去。 1．某服装车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应该怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套?设有x人做上衣，根据题意，可列方程为____． 2．现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 3．某中学手工社团有名同学，平均每人每天可制作个书签套盒或张装饰贴纸，已知个书签套盒与张装饰贴纸配成一套，为使每天制作的手工产品刚好配套．社团应该分配制作书签套盒和装饰贴纸的同学各多少名？ 4．在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 题型二：工程问题 解题思路：①把全部工作总量看作整体1，计算每个人的工作效率；②梳理整个工作过程，分清哪些人全程做、哪些中途停工或者换人；③用“效率×时间”表示各部分完成的工作量；④所有部分工作量相加等于总工作量；⑤设未知数，列方程求解。 5．现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程：__． 7．现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 8．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 题型三：销售盈亏 解题思路：①区分清楚进价、标价、售价、折扣、利润率这几个概念；②从题目找出已知条件，确定要求的未知量；③结合销售中的数量关系写出等式；④列出方程，求出进价或者售价；⑤对比售价和进价，判断是盈利还是亏损。 9．一个商人把一件连衣裙标价为640元，经工商人员核价，降至60元出售，仍可获利，若按原标价出售，则一条裙子可获利_______元． 10．一盒薯片的购入价为元，王老板订购一批薯片后，以元的价格卖出，在卖到还剩12盒时，他已获利16元，求王老板购入薯片的数量．若设王老板购入盒薯片，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 12．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 题型四：比赛积分 解题思路：①看清题目积分规则，弄明白答对、答错、不答分别怎么计分；②确定总场数或者总答题数；③用未知数表示不同结果对应的场次；④结合积分规则写出总积分的关系式；⑤列方程求解，场次结果必须是非负整数。 13．阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 14．贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 15．某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分； (2)甲同学得了70分，他答对了几道题？ (3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？ 16．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型五：方案选择 解题思路：①逐条读懂每一种方案的收费或者获利规则；②设题目中的关键量为未知数，写出每种方案费用的代数式；③令两个方案代数式相等，算出两种方案费用相等的临界点；④以临界点划分取值范围；⑤代入数值比较，选出最优方案。 17．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人． 18．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 19．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 20．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 题型六：数字问题 解题思路：①把某一个数位上的数字设为未知数；②正确用代数式表示这个多位数；③根据数字和、数字调换、倍数等条件找相等关系；④列出一元一次方程；⑤解出各个数位数字，还原出原来的数。 21．若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为（    ） 9 6 A．18 B． C．2 D． 22．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 23．嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 24．综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 题型七：几何问题 解题思路：①读题提取图形已知边长、周长、面积、体积条件；②把图形未知的边长设成未知数；③利用几何公式建立等式；④列出一元一次方程；⑤求出边长后，再计算题目要求的几何量。 25．如图是一枚庆祝中国共产党成立100周年的长方形纪念币，其周长是，长和宽的比为．这枚纪念币的长和宽分别是多少？若设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 26．如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 27．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 28．如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）． 题型八：动点问题 解题思路：①找出动点的起点、运动方向、运动速度；②用运动时间t，表示动点走过的路程；③结合图形，写出对应线段长度的代数式；④根据题目给出的线段相等、位置关系列方程；⑤算出时间，结果要符合动点实际运动范围。 29．如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 30．已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 31．如图，在数轴上点、、表示的数分别是、、动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动． (1)的长为______； (2)t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______． (3)当点P与点Q相遇时，求t的值． (4)若，直接写出点P表示的数． 32．在直角三角形中，若．点P从点A开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，如果点P、Q同时出发，当点P到达C点时，P、Q两点都停止运动，用t（秒）表示移动时间，，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示． ①点Q在上时， ； ②当点Q在上时， ； ③当点P在上时， ； ④当点P在上时， ． (2)如图2，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当时，试求出t的值． (3)如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，当时，试求出t的值． 题型九：和差倍分问题 解题思路：①圈画题目关键字：多、少、几倍、增加了、增加到；②分清总量和各个部分量之间的关系；③选择合适的量设未知数；④依据和、差、倍数关系列方程；⑤计算求出题目需要的各个数量。 33．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 34．小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 35．家具厂卖出书柜的数量是办公桌的，卖出书柜的个数比办公桌的张数少120，家具厂卖出书柜多少个，办公桌多少张？（列方程解答） 36．七（1）班和七（2）班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． 图中4种垃圾分别对应4种类别，请一对一连线 (注：每连对一条线得5分)纸巾    易拉罐    破灯泡    苹果核 有害垃圾    可回收物    厨余垃圾    其它垃圾 (1)分数5， 10， 15， 20中， 每人得分不可能是 分． (2)七（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问七（1）班有多少人得满分？ ②若七（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 题型十：电费和水费问题 解题思路：①读懂每个计费档位的用量区间以及对应单价；②分析实际用量会跨越哪几个计费段；③分别计算每一个档位产生的费用；④总费用等于各段费用相加；⑤设未知数，列方程求出实际用量。 37．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 38．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是____． 39．在甲复印店用纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为元．在乙复印店用纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费元．复印页数超过25页时，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 40．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 题型十一：行程问题 解题思路：①判断题目是相遇、追及还是往返类题型；②整理每个人的速度、时间、路程信息；③利用路程=速度×时间表示每个人的路程；④相遇用路程之和、追及用路程之差建立等式；⑤设未知数，列方程求解。 41．汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 43．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 44．马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 题型十二：比例分配 解题思路：①题目给出比例，把每一份设为未知数；②用含未知数的式子表示每一个分量；③根据总量条件建立等式；④解方程求出一份是多少；⑤代入计算出每一个分量的具体数值。 45．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 46．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 47．列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 48．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 题型十三：日历问题 解题思路：①记住日历规律：上下相邻日期差7，左右相邻日期差1；②选其中一个日期设为未知数；③用代数式表示出其他相关日期；④根据几个数字相加的条件列方程；⑤检验结果必须符合日历日期实际情况。 49．在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 50．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 51．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 题型十四：古代问题 解题思路：①读懂古文题意，转化成普通数学语言；②提取题目里面的总量、部分量之间关系；③选取合适的量设未知数；④根据题意列出一元一次方程；⑤解方程得到问题答案。 53．《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 54．创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 55．我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两(注：在明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语)．求银子共有多少两？ 56．列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 题型十五：其他问题 解题思路：①抛开题目情景背景，提炼里面的数学数量关系；②区分清楚哪些是已知量，哪些是要求的未知量；③合理设置未知数；④挖掘题目隐藏的相等关系；⑤列出方程，完成求解。 57．情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 58．中学生天地节目中有个游戏：用一个有个洞的杯子从水缸里舀水倒到三个同样容积的空桶中．第一个桶距水缸有米，第二个桶距水缸有米，第三个桶距水缸有米．第一个桶小方用次恰好把桶装满；第二个桶用次恰好把桶装满；第三个桶小方至少要_______次才能把它装满．（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变．） 59．某班将举行“庆祝建党103周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情景： 小明：“买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我付了300元，现在找回68元！” 班长：“你肯定搞错了！” 小明：“哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱了．” 班长：“这就对啦！” 请根据上面的信息，解决问题． (1)试计算两种笔记本各买了多少本． (2)请你解释：为什么不可能找回68元？ 60．综合与实践 全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 开私家车二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？ (2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量； (3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $