专题12几何图形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦几何图形核心知识，系统梳理立体与平面图形分类、点线面体关系（静态构成与动态运动规律）、常见几何体识别、展开图（含正方体11种有效展开图）及三视图，构建从概念认知到转化应用的学习支架。 资料通过重点辨析易错点（如平面与曲面混淆）、18类分层题型（基础到偏难）及解题思路指导，培养空间观念与几何直观，如正方体展开图识别、三视图绘制实例。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题12几何图形精讲学案 核心立意： 了解几何学科研究范畴；认识立体图形与平面图形；掌握点、线、面、体之间的联系；会识别常见几何体、辨别正方体展开图；掌握展开图表面积相关计算；学会从三个方向观察几何体，建立初步空间观念。 几何的研究对象 几何只研究物体的形状、大小、位置关系，不研究物体的颜色、材质、重量。 几何图形分类 ①立体图形：各部分不在同一平面内，占有一定空间；分为柱体、锥体、球体；柱体包含棱柱、圆柱；锥体包含棱锥、圆锥。 ②平面图形：各部分都在同一平面内；常见有线段、角、三角形、四边形、圆等。 点、线、面、体的关系 ①体由面围成，面分为平面、曲面；面与面相交得到线；线与线相交得到点。 ②运动规律：点动成线，线动成面，面动成体。 常见立体图形识别 ①棱柱：侧面为长方形，上下底面是完全相同的多边形，全部由平面围成。 ②圆柱：上下底面是大小相等的圆，侧面是曲面。 ③棱锥：底面是多边形，侧面是三角形，全部由平面围成。 ④圆锥：底面是圆，侧面是曲面。 ⑤球：整体由一个曲面围成。 立体图形与平面图形的转化 ①从正面、左面、上面观察立体图形，可以得到对应的平面图形。 ②立体图形表面剪开铺平，可以得到平面展开图。 几何体的展开图 ①棱柱：2个全等多边形底面，搭配若干长方形侧面。 ②圆柱：2个圆形底面加1个长方形侧面。 ③圆锥：1个圆形底面加1个扇形侧面。 ④正方体：共11种有效展开图；含有田字形、凹字形的图形，不能折叠成正方体。 ⑤球体没有平面展开图。 展开图相关计算 ①表面积：展开图所有面的面积之和即为几何体表面积； 正方体表面积=单个正方形面积×6 ②体积：展开图只能看到各个面，不能直接求体积，必须还原成立体图形后，再代入体积公式计算。  从三个方向观察几何体 ①从正面看（主视图）； ②从左面看（左视图）； ③从上面看（俯视图）； 观察所得均为平面图形；几何体摆放位置改变，观察得到的图形可能发生变化。 重点辨析 1. 立体图形占有空间，平面图形没有厚度。 2. 棱柱、棱锥全部由平面构成；圆柱、圆锥、球含有曲面。 3. 面分为平面和曲面。 4. 面动成体，绕不同边旋转，得到的立体图形不一样。 5. 展开图可以计算表面积，不能直接计算体积，必须还原立体图形。 1. 分不清平面与曲面，混淆棱柱和圆柱、棱锥和圆锥。 2. 将田字格、凹字格图形误判为正方体有效展开图。 3. 绘制三视图漏数小正方形，视图画错。 4. 错误认为球体可以展开为平面图形。 5. 面动成体题型，旋转后几何体判断出错。 6. 直接利用展开图求体积，忽略立体还原。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★★ 题型三 立体图形的分类 ★ 题型四 几何体中的点、棱、面 ★★ 题型五 从不同方向看几何体 ★★★ 题型六 几何体展开图的认识 ★★ 题型七 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型八 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型九 正方体几种展开图的识别 ★★★ 题型十 正方体几种展开图的识别 ★★★ 题型十一 含图案的正方体的展开图 ★★★★ 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★★ 题型十三 补一个面使图形围成正方体 ★★★★ 题型十四 平面图形形状的识别 ★ 题型十五 用七巧板拼图形 ★★ 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★★ 题型十八 截一个几何体 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难 题型一：常见的几何体 解题思路：①识别几何体大类：柱体、锥体、球体；②区分表面是平面还是曲面；③对照棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的外形特征；④确定几何体名称，不要写错别字。 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】解：观察图片可得，该作品中的几何体有球，棱柱，圆锥，不存在圆柱． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 3．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 题型二：组合几何体的构成 解题思路：①把组合几何体拆解成多个基础简单几何体；②逐个判断每一部分是什么几何体；③理清各部分上下、内外的位置关系；④完整描述该组合体由哪些几何体组成。 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可． 【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意； B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意； C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意； D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键． 5．若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型三：立体图形的分类 解题思路：①先区分：立体图形（占有空间）vs平面图形；②按柱体、锥体、球体三大类归类；③棱柱、圆柱属于柱体；棱锥、圆锥属于锥体；④分类做到不重复、不遗漏。 7．下列立体图形是圆柱的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的识别，根据立体图形的特点逐一识别即可． 【详解】解：A、此立体图形是球，故不正确； B、此立体图形是三棱柱，故不正确； C、此立体图形是棱锥，故不正确； D、此立体图形是圆柱，正确； 故选：D． 8．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 9．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 题型四：几何体中的点、棱、面 解题思路：①数出面的数量，分清哪些是平面、哪些是曲面；②面和面相交形成棱，数棱的条数；③棱和棱相交形成顶点，数顶点个数；④根据数据完成填空或者简单推理计算。 10．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 11．如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为________．（用含m，h的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，立体图形的识别，先根据图形确定正方形和等边三角形的块数，再根据正方形的面积边长边长，三角形的面积底高，正方形和等边三角形的边长都为m，等边三角形的高为，所以个正方形的面积是，个等边三角形的面积是，即可得解．正解理解题意是解题的关键． 【详解】解：由图可知，该印章共有个面，其中正方形有个，等边三角形有个， ∴这个印章的表面积是， 故答案为：． 12．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 题型五：从不同方向看几何体 解题思路：①三个观察方向：从正面看、从左面看、从上面看；②视线垂直于观察面，只看投影得到的平面图形；③数清楚每行每列小正方形的个数与排布；④选出或者画出对应的视图，看不见的棱本题一般不要求虚线。 13．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 14．仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 【答案】8 【分析】分别从前面、左面和上面观察到的形状进行分析即可． 【详解】解：从上面看，这堆纸箱分为前后2行、左右2列，第1层共有4个位置，每个位置至少有1个纸箱， 从左面看，左边（对应物体的后排）只有1层，右边（对应物体的前排）有3层， 从前面看，左列、右列的最大高度都是3层， ∴前排左列、前排右列都必须有3层， ∴前排（2个位置）：每个位置3层，共（箱）； 后排（2个位置）：每个位置1层，共（箱）， ∴总箱数（箱）． 15．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 【答案】B 【分析】先确定从前面、左面、上面看到的图形的面积即可判断A、B、C选项；再求出几何体的表面积即可判断D选项． 【详解】 解：从前面看到的视图为，面积为6；从左面看到的视图为，面积为4． 从上面看到的视图为，面积为5，则从左面看到的形状图的面积最小，即选项A、C不符合题意，B选项符合题意． D该几何体的表面积为：，即选项D不符合题意． 题型六：几何体展开图的认识 解题思路：①熟记棱柱、圆柱、圆锥展开图的固定结构；②观察展开图由哪些平面图形组成；③想象折叠，判断能否还原成立体图形；④匹配得到它对应的几何体名称。 16．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：可以作为三棱柱的展开图的是． 17．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为______（π取）． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积等知识．解题的关键在于明确该几何体的表面展开图是圆柱的表面展开图． 由展开图可知，该几何体为圆柱，底面是以1为半径的圆，高为4根据圆柱的体积为，计算求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱． 底面是以1为半径的圆，高为4， ∴圆柱的体积 故答案为：． 18．在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，两个底面是圆，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】解： A选项，由一个长方形和两个圆组成，符合圆柱展开图的特征，故A符合题意； B选项，由四个三角形组成，是三棱锥的展开图，故B不符合题意； C选项，由一个扇形和一个圆组成，是圆锥的展开图，故C不符合题意； D选项，由三个长方形和两个三角形组成，是三棱柱的展开图，故D不符合题意． 题型七：由展开图计算几何体的表面积 解题思路：①由展开图还原立体几何体；②从图中提取各个面的边长；③分别计算每一个面的面积；④所有面面积相加 = 几何体的表面积。 19．如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 20．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为_____．    【答案】104 【分析】打孔后的长方体的表面积原来长方体的表面积6个正方形的面积24个矩形的面积． 【详解】解：打孔后的长方体的表面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识． 21．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 题型八：由展开图计算几何体的体积 解题思路：①由展开图还原立体几何体；⚠️注意：不是所有展开图都自带求体积条件，必须能找到长、宽、高/半径等关键数据才可以计算；②提取长、宽、高或者底面半径、高；③选用对应几何体的体积公式；④代入数值计算体积。 22．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题的关键． 根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案． 【详解】解：长方体的长为，宽为，高为1，则容积为． 故选C． 23．如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 ________（棱柱的体积＝底面积×高）．    【答案】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，判断出被截取的几何体形状是解题的关键．根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱，确定出底面积和高求出体积，然后用正方体的体积减去三棱柱的体积即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱， 三棱柱的体积， 正方体的体积， 剩余部分的体积为． 故答案为：． 24．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 题型九：正方体几种展开图的识别 解题思路：①熟记正方体11种合法展开图；②快速排查：出现田字形、凹字形，一定不能折成正方体；③看正方形数量必须是6个；④判断图形能否折叠围成正方体。 25．下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 26．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 27．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 题型十：正方体相对两面上的字 解题思路：记住口诀：同行隔一个，异行隔一列，就是相对面；①利用口诀快速找出每一个正方形的对面；②相对的面折叠之后永远不会相邻；③匹配题目文字、数字条件，得出答案。 28．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“中”与“故”是相对面，“国”与“事”是相对面，“讲”与“好”是相对面． 29．若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 【答案】6 【分析】先找出正方体展开图各组相对的面，根据互为相反数求出、、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由题意可得，正方体展开图中，与相对，与相对，与相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． ∴． 30．南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确正方体平面展开图中相对面的判定规则：同行或同列中，间隔一个面的两个面为相对面．逐个分析每个选项的展开图，定位“有”字的位置，根据相对面判定规则找到其对应的对面文字．对比每个选项中“有”的对面是否为“竟”，筛选出符合要求的选项． 【详解】选项A：该展开图中，“有”的对面是“成”，不符合要求． 选项B：该展开图中，“有”的对面是“竟”，符合要求． 选项C：该展开图中，“有”的对面是“事”，不符合要求． 选项D：该展开图不能构成正方体，不符合要求． 题型十一：含图案的正方体的展开图 解题思路：①不光看哪两个面相对、哪两个面相邻，重点观察图案本身的方向；②想象折叠，相邻面图案的朝向会跟着折叠发生旋转；③排除矛盾选项：相对面不能挨在一起，图案方向不对直接排除；④选出全部条件满足的答案。 31．有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个汉字的面均是相邻的，C选项中，还原正方体后，符合题意；其它选项不符合题意 故选：C． 32．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 33．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 题型十二：求展开图上两点折叠后的距离 解题思路：①在脑海中将展开图折叠成正方体；②分清题意：求的是正方体表面爬行距离，还是空间直线距离（考试大多考表面距离）；③判断两点之间跨越几条棱，换算棱长；④结合棱长计算出两点距离。 34．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 35．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 36．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 题型十三：补一个面使图形围成正方体 解题思路：①对照正方体11种展开图的模型；②看已有5个正方形，分析可以补正方形的候选位置；③避开补完后出现田字形、凹字形的位置；④选出正确补充位置。 37．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 38．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 39．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 题型十四：平面图形形状的识别 解题思路：①所有点都在同一个面上，就是平面图形；②观察图形的边、角特征；③对照三角形、四边形、圆等特征；④识别写出平面图形名称。 40．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的分类，根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可． 【详解】解：圆柱、四棱锥、圆锥都是立体图形；圆形是平面图形； 故选：D． 41．如图，图中的长方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查平面图形的知识，难度不大，注意仔细按顺序地查找，不要漏查．根据图形查找即可，注意以一条边为基础依次查找． 【详解】解：如图， 根据图形依次查找可得：，，，，，，，，．共有9个长方形． 故选：D． 42．下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 题型十五：用七巧板拼图形 解题思路：①明确七巧板7块板块：5个三角形、1个正方形、1个平行四边形；②观察目标拼接图形外轮廓；③匹配板块大小、角度；④确定各个板块摆放位置。 43．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了七巧板拼图形问题，一元一次方程的应用，设，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 设， ∵七巧板面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴图②中阴影部分的面积是． 故选：D． 44．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 45．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 题型十六：点、线、面、体四者之间的关系 解题思路：静态：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；动态：点动成线，线动成面，面动成体；①分清题目问静态构成还是动态运动形成；②结合概念进行选择填空。 46．笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【分析】本题考查点，线，面，体之间的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体可得答案． 【详解】解：∵笔尖可看作一个点，笔尖滑动是点的运动过程，写出的汉字由线条构成， ∴对应“点动成线”的原理， 故选：D． 47．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． 48．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 题型十七：平面图形旋转后所得的立体图形 解题思路：①找准旋转轴，看清绕哪一条边旋转；②想象平面图形绕轴旋转扫过的空间；⚠️同一个图形绕不同边旋转，得到几何体不一样；③判断旋转之后得到的立体图形。 49．下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体的原理，判断各选项图形绕轴旋转后形成的立体图形，依据直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥的性质，筛选出符合条件的 选项． 【详解】解：A、该直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是圆锥，符合要求； B、该直角梯形绕直线旋转一周，得到的是圆台，不符合要求； C、该长方形绕直线旋转一周，得到的是圆柱，不符合要求； D、该图形绕直线旋转一周，得到的立体图形不是圆锥，不符合要求． 50．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 51．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 题型十八：截一个几何体 解题思路：①确定被切割的几何体；②看切割平面的方向、角度；③截面经过几何体几个面，截面就是几边形；④结合几何体有没有曲面，判断截面是多边形还是带曲线图形；⚠️易错：正方体截不出七边形。 52．传统文化  栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截面不可能是（   ） A．七边形 B．六边形 C．矩形 D．三角形 【答案】A 【分析】根据截面经过几个面来判断截面是几边形即可． 【详解】解：正方体最多有6个面，截面最多也经过6个面，所以得到的多边形的边数最多是六边形，所以不可能是七边形． 53．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 54．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 解答题 1．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形， (1)请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． (2)如图是一张长方形纸片，长为5，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1) 如图； (2) 【分析】本题考查了三视图和立体图形的表面积求解，掌握其基本知识体系是解题关键； （1）根据三视图画出图形即可求解； （2）根据圆柱展开图为长方形和圆即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：根据长方形纸片绕一周形成圆柱， ∴ . 2．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 3．综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有 ；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是 ； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 【答案】(1)A，C，D； (2)； (3) Ⅰ．示意图如下： Ⅱ．这个纸盒的容积为 【分析】（1）依据无盖纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成的结构，判断各展开图是否满足底面与四个侧面合理相连，且折叠后无重叠、无缺失，进而确定能围成该纸盒的展开图； （2）结合展开图的折叠方式，通过判断面与面之间无公共边和公共顶点的位置关系，找到与标有数字“5”的面相对的面； （3）Ⅰ．根据四角剪去小正方形折成无盖纸盒的要求，在边长为25cm的正方形卡纸上用实线画出剪切线、虚线画出折痕即可； Ⅱ．设剪去的小正方形边长为未知数，利用原正方形卡纸边长与纸盒底面正方形边长的数量关系列一元一次方程，求出小正方形的边长即纸盒的高，再根据长方体容积公式底面积×高计算纸盒的容积． 【详解】（1）解：无盖底面为正方形的纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成，展开图需满足底面与四个侧面合理相连： 选项A：四个侧面并排，底面在其中一个侧面的一侧，折叠后可围成无盖纸盒； 选项B：四个侧面无法折叠，无法围成无盖纸盒； 选项C：折叠后可围成无盖纸盒； 选项D：四个侧面交错排列，底面与其中一个侧面相连，折叠后可围成无盖纸盒； ∴能围成该纸盒的是A，C，D． （2）解：观察图②的展开图，折叠成无盖纸盒后，标有数字“5”的面与标有数字“2”的面没有公共边和公共顶点，折叠后成为相对的侧面，故与“5”相对的面是2． （3）Ⅰ．略 Ⅱ．解：设剪去的小正方形的边长为， ∵折成的无盖纸盒底面正方形边长为，原正方形卡纸边长为， ∴，解得， 即纸盒的高为， 所以纸盒的容积为． 答：这个纸盒的容积为． 4．正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 【答案】见解析 【分析】根据点，在同一个正方形边上和在两个正方形边上两种情况，标出点，的位置即可． 【详解】解：点，的所在位置如图所示： 5．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】 如答图，点D为所求．    【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 6．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1) 作图如下： （答案不唯一） (2) 填写如下： （答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：； 7．课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12几何图形精讲学案 核心立意： 了解几何学科研究范畴；认识立体图形与平面图形；掌握点、线、面、体之间的联系；会识别常见几何体、辨别正方体展开图；掌握展开图表面积相关计算；学会从三个方向观察几何体，建立初步空间观念。 几何的研究对象 几何只研究物体的形状、大小、位置关系，不研究物体的颜色、材质、重量。 几何图形分类 ①立体图形：各部分不在同一平面内，占有一定空间；分为柱体、锥体、球体；柱体包含棱柱、圆柱；锥体包含棱锥、圆锥。 ②平面图形：各部分都在同一平面内；常见有线段、角、三角形、四边形、圆等。 点、线、面、体的关系 ①体由面围成，面分为平面、曲面；面与面相交得到线；线与线相交得到点。 ②运动规律：点动成线，线动成面，面动成体。 常见立体图形识别 ①棱柱：侧面为长方形，上下底面是完全相同的多边形，全部由平面围成。 ②圆柱：上下底面是大小相等的圆，侧面是曲面。 ③棱锥：底面是多边形，侧面是三角形，全部由平面围成。 ④圆锥：底面是圆，侧面是曲面。 ⑤球：整体由一个曲面围成。 立体图形与平面图形的转化 ①从正面、左面、上面观察立体图形，可以得到对应的平面图形。 ②立体图形表面剪开铺平，可以得到平面展开图。 几何体的展开图 ①棱柱：2个全等多边形底面，搭配若干长方形侧面。 ②圆柱：2个圆形底面加1个长方形侧面。 ③圆锥：1个圆形底面加1个扇形侧面。 ④正方体：共11种有效展开图；含有田字形、凹字形的图形，不能折叠成正方体。 ⑤球体没有平面展开图。 展开图相关计算 ①表面积：展开图所有面的面积之和即为几何体表面积； 正方体表面积=单个正方形面积×6 ②体积：展开图只能看到各个面，不能直接求体积，必须还原成立体图形后，再代入体积公式计算。  从三个方向观察几何体 ①从正面看（主视图）； ②从左面看（左视图）； ③从上面看（俯视图）； 观察所得均为平面图形；几何体摆放位置改变，观察得到的图形可能发生变化。 重点辨析 1. 立体图形占有空间，平面图形没有厚度。 2. 棱柱、棱锥全部由平面构成；圆柱、圆锥、球含有曲面。 3. 面分为平面和曲面。 4. 面动成体，绕不同边旋转，得到的立体图形不一样。 5. 展开图可以计算表面积，不能直接计算体积，必须还原立体图形。 1. 分不清平面与曲面，混淆棱柱和圆柱、棱锥和圆锥。 2. 将田字格、凹字格图形误判为正方体有效展开图。 3. 绘制三视图漏数小正方形，视图画错。 4. 错误认为球体可以展开为平面图形。 5. 面动成体题型，旋转后几何体判断出错。 6. 直接利用展开图求体积，忽略立体还原。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★★ 题型三 立体图形的分类 ★ 题型四 几何体中的点、棱、面 ★★ 题型五 从不同方向看几何体 ★★★ 题型六 几何体展开图的认识 ★★ 题型七 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型八 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型九 正方体几种展开图的识别 ★★★ 题型十 正方体几种展开图的识别 ★★★ 题型十一 含图案的正方体的展开图 ★★★★ 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★★ 题型十三 补一个面使图形围成正方体 ★★★★ 题型十四 平面图形形状的识别 ★ 题型十五 用七巧板拼图形 ★★ 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 ★★ 题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★★ 题型十八 截一个几何体 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难 题型一：常见的几何体 解题思路：①识别几何体大类：柱体、锥体、球体；②区分表面是平面还是曲面；③对照棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球的外形特征；④确定几何体名称，不要写错别字。 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 3．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 题型二：组合几何体的构成 解题思路：①把组合几何体拆解成多个基础简单几何体；②逐个判断每一部分是什么几何体；③理清各部分上下、内外的位置关系；④完整描述该组合体由哪些几何体组成。 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A．B． C．D． 5．若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型三：立体图形的分类 解题思路：①先区分：立体图形（占有空间）vs平面图形；②按柱体、锥体、球体三大类归类；③棱柱、圆柱属于柱体；棱锥、圆锥属于锥体；④分类做到不重复、不遗漏。 7．下列立体图形是圆柱的是（    ） A． B． C．D． 8．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 题型四：几何体中的点、棱、面 解题思路：①数出面的数量，分清哪些是平面、哪些是曲面；②面和面相交形成棱，数棱的条数；③棱和棱相交形成顶点，数顶点个数；④根据数据完成填空或者简单推理计算。 10．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 11．如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为________．（用含m，h的代数式表示） 12．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 题型五：从不同方向看几何体 解题思路：①三个观察方向：从正面看、从左面看、从上面看；②视线垂直于观察面，只看投影得到的平面图形；③数清楚每行每列小正方形的个数与排布；④选出或者画出对应的视图，看不见的棱本题一般不要求虚线。 13．观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C．D． 14．仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方向看到的形状如右图所示，这堆货物有_____箱． 15．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 题型六：几何体展开图的认识 解题思路：①熟记棱柱、圆柱、圆锥展开图的固定结构；②观察展开图由哪些平面图形组成；③想象折叠，判断能否还原成立体图形；④匹配得到它对应的几何体名称。 16．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 17．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为______（π取）． 18．在一次“我是小小秩序员”设计活动中，希希同学设计了一个圆柱形的路障柱，它的表面展开图可能是（     ） A． B． C．D． 题型七：由展开图计算几何体的表面积 解题思路：①由展开图还原立体几何体；②从图中提取各个面的边长；③分别计算每一个面的面积；④所有面面积相加 = 几何体的表面积。 19．如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 20．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是，，，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为_____．    21．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：由展开图计算几何体的体积 解题思路：①由展开图还原立体几何体；⚠️注意：不是所有展开图都自带求体积条件，必须能找到长、宽、高/半径等关键数据才可以计算；②提取长、宽、高或者底面半径、高；③选用对应几何体的体积公式；④代入数值计算体积。 22．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 23．如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 ________（棱柱的体积＝底面积×高）．    24．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型九：正方体几种展开图的识别 解题思路：①熟记正方体11种合法展开图；②快速排查：出现田字形、凹字形，一定不能折成正方体；③看正方形数量必须是6个；④判断图形能否折叠围成正方体。 25．下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 27．如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 题型十：正方体相对两面上的字 解题思路：记住口诀：同行隔一个，异行隔一列，就是相对面；①利用口诀快速找出每一个正方形的对面；②相对的面折叠之后永远不会相邻；③匹配题目文字、数字条件，得出答案。 28．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 29．若将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，则________． 30．南朝宋时期范晔在《后汉书·耿弇传》中写道：“将军前在南阳，建此大策．常以为落落难合、有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“有”的对面是“竟”的是（     ） A． B． C． D． 题型十一：含图案的正方体的展开图 解题思路：①不光看哪两个面相对、哪两个面相邻，重点观察图案本身的方向；②想象折叠，相邻面图案的朝向会跟着折叠发生旋转；③排除矛盾选项：相对面不能挨在一起，图案方向不对直接排除；④选出全部条件满足的答案。 31．有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 32．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 33．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 题型十二：求展开图上两点折叠后的距离 解题思路：①在脑海中将展开图折叠成正方体；②分清题意：求的是正方体表面爬行距离，还是空间直线距离（考试大多考表面距离）；③判断两点之间跨越几条棱，换算棱长；④结合棱长计算出两点距离。 34．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 35．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 36．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十三：补一个面使图形围成正方体 解题思路：①对照正方体11种展开图的模型；②看已有5个正方形，分析可以补正方形的候选位置；③避开补完后出现田字形、凹字形的位置；④选出正确补充位置。 37．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 38．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 39．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十四：平面图形形状的识别 解题思路：①所有点都在同一个面上，就是平面图形；②观察图形的边、角特征；③对照三角形、四边形、圆等特征；④识别写出平面图形名称。 40．下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 41．如图，图中的长方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 42．下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 题型十五：用七巧板拼图形 解题思路：①明确七巧板7块板块：5个三角形、1个正方形、1个平行四边形；②观察目标拼接图形外轮廓；③匹配板块大小、角度；④确定各个板块摆放位置。 43．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 44．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 45．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 题型十六：点、线、面、体四者之间的关系 解题思路：静态：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；动态：点动成线，线动成面，面动成体；①分清题目问静态构成还是动态运动形成；②结合概念进行选择填空。 46．笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 47．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 48．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 题型十七：平面图形旋转后所得的立体图形 解题思路：①找准旋转轴，看清绕哪一条边旋转；②想象平面图形绕轴旋转扫过的空间；⚠️同一个图形绕不同边旋转，得到几何体不一样；③判断旋转之后得到的立体图形。 49．下面各图中，以虚线为轴旋转，可以得到圆锥的是（     ） A． B． C． D． 50．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 51．将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 题型十八：截一个几何体 解题思路：①确定被切割的几何体；②看切割平面的方向、角度；③截面经过几何体几个面，截面就是几边形；④结合几何体有没有曲面，判断截面是多边形还是带曲线图形；⚠️易错：正方体截不出七边形。 52．传统文化  栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截面不可能是（   ） A．七边形 B．六边形 C．矩形 D．三角形 53．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 54．如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C．D． 解答题 1．如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形， (1)请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形． (2)如图是一张长方形纸片，长为5，长为2．将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留） 2．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 3．综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有 ；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是 ； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 4．正方体（图①）的表面展开图如图②所示，根据图①，在图②中标出点，的所在位置． 5．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    6．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 7．课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $