专题10一元一次方程及其解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程核心知识，系统梳理方程与一元一次方程的概念及条件，方程的解与解方程的区别，等式的两个基本性质，解一元一次方程的五步规范步骤，以及列方程解决实际问题和参数问题，构建从概念理解到解法应用的完整学习支架。 该资料亮点在于重点辨析易混概念，归纳去分母漏乘等常见误区，题型分层设计覆盖基础判断到拔高的绝对值方程，结合果汁浓度、足球皮数量等实际问题培养数学眼光与模型意识，解题思路清晰助力逻辑推理，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生针对性查漏补缺。

专题10一元一次方程及其解法精讲学案 核心立意： 认识方程与一元一次方程，理解方程的解；掌握等式的基本性质，熟练解一元一次方程，能根据实际问题列一元一次方程，会处理简单的一元一次方程参数问题。 方程： ①含有未知数的等式叫做方程； ②满足两个条件：是等式，含有未知数，二者缺一不可。 一元一次方程： ①只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式； ②三个必备条件：仅一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数； ③若已知式子为一元一次方程，可据此求式子中字母参数。 方程的解与解方程： ①使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； ②求方程解的过程叫做解方程。 列方程： ①设未知数； ②用含未知数的代数式表示相关数量； ③抓住题目当中的相等关系列出方程。 等式的基本性质： ①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； ②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 解一元一次方程基本步骤： ①去分母，等式两边同乘各分母最小公倍数； ②去括号，遵循去括号法则； ③移项，把含未知数项移一边，常数项移另一边； ④合并同类项，化为ax=b（a≠0）形式； ⑤系数化为1，求得未知数的值。 检验方程的解： 把求得的未知数的值代入原方程，看左右两边数值是否相等，判断是否为原方程的解。 重点辨析 1. 等式不一定是方程，不含未知数的等式不是方程；方程一定是等式。 2. 未知数不能放在分母，分母含有未知数不是一元一次方程，属于分式方程。 3. “方程的解”是数值；“解方程”是求解的过程，二者概念不能混淆。 4. 等式性质2做除法运算时，除数不能为0。 5. 移项才需要变号，原地不动的项符号保持不变。 1. 判断一元一次方程，忽略分母中不能含有未知数。 2. 运用等式性质2，等式两边同除以一个数，忽略除数不能为0。 3. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最小公倍数。 4. 移项不变号，未移动的项错误改变符号。 5. 去括号时，括号前面是负号，括号内部分项忘记变号，存在漏乘。 6. 系数化为1时分分子分母颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★★ 题型七 等式的性质 1 ★★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：①先判断是不是等式（有等号）；②再看式子里面是否含有未知数；③两个条件同时满足才是方程，缺一不可。 1．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 题型二：列方程 解题思路：①读懂题意，设出合适的未知数；②用含有未知数的代数式表示题目中的相关数量；③找出题目中的等量关系；④根据等量关系列出等式，不需要求出结果。 4．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 5．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 7．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 题型三：判断是否是方程的解 解题思路：①将给定数值代入原方程；②分别计算方程左边、右边的结果；③对比左右两边，结果相等就是方程的解，不相等则不是。 8．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 10．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 题型四：已知方程的解，求参数 解题思路：①把已知的解代入原方程；②化简得到只含有参数的新方程；③解这个新方程，求出参数的值。 11．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 14．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 题型五：判断是否是一元一次方程 解题思路：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等式两边都为整式，未知数不能在分母位置；④三个条件全部满足才是一元一次方程。 15．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 16．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 17．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六：判断是否是一元一次方程解 解题思路：①先确认该方程属于一元一次方程；②把待检验数值代入方程；③分别计算左右两边；④左右结果相等，则该数是方程的解。 18．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程_______ 19．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 20．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型七：等式的性质 1 解题思路：①等式两边做相同运算；②等式两边同时加（或减）同一个数或同一个式子；③所得结果仍是等式。 21．如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 22．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 23．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图）中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图），将个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型八：等式的性质 2 解题思路：①等式两边同时乘同一个数，结果仍相等；②等式两边同时除以同一个不为0的数，结果仍相等；③除数不能为0。 24．方程的解为（     ） A． B． C． D． 25．下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．若x，y，z为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：①移项，把含未知数项移到一边，常数项移到另一边；②记住移项要改变符号；③合并同类项；④化成ax=b的标准形式 27．方程的解为______． 28．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 29．已知两数（均为正数）的差与这两数的商都等于7，那么这两个数的和是_______． 30．规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（     ） A． B． C．或 D．无解 题型十：去括号 解题思路：①运用乘法分配律，括号外因数乘括号里面每一项；②括号前面是正号，去括号各项符号不变；③括号前面是负号，去括号后括号内每一项都变号。 31．解方程：，______． 32．我们规定一种运算：，例如：，则________，若，则_________． 33．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十一：去分母 解题思路：①找出方程中所有分母的最小公倍数；②方程左右两边整体同乘最小公倍数；③不含分母的项也要乘，防止漏乘；④去掉分母后继续解方程。 34．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 35．方程的解为_______． 36．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①先根据一元一次方程定义，确定参数隐藏限制条件；②将已知解代入原方程；③得到关于参数的方程；④求解得到参数数值。 37．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 39．若关于x的方程和有相同的解，则______． 40．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：①分别求出两个方程的解（解用参数表示）；②根据题意：解相等、互为相反数、大小差值等关系；③建立等式；④解等式求出参数。 41．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 42．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 43．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 题型十四：绝对值方程 解题思路：①依据绝对值性质分类讨论；②去掉绝对值，转化为普通一元一次方程；③分别求出各个方程的解；④必须代入原方程检验，舍去增根。 44．若，则m的值是（    ） A．7 B． C．7或 D．0或7 45．若是方程的解，则___；又当时，则方程的解是_____． 46．规定：，．例如：，．下列结论中，正确的有（    ） ①； ②若，则； ③若，则x的值为6或； ④式子的最小值是7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解答题 1．已知关于的方程的解是，求的值． 2．先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 3．如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 (1)图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； (2)结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 4．已知：，求的值． 5．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 6．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 7．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一元一次方程及其解法精讲学案 核心立意： 认识方程与一元一次方程，理解方程的解；掌握等式的基本性质，熟练解一元一次方程，能根据实际问题列一元一次方程，会处理简单的一元一次方程参数问题。 方程： ①含有未知数的等式叫做方程； ②满足两个条件：是等式，含有未知数，二者缺一不可。 一元一次方程： ①只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式； ②三个必备条件：仅一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数； ③若已知式子为一元一次方程，可据此求式子中字母参数。 方程的解与解方程： ①使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； ②求方程解的过程叫做解方程。 列方程： ①设未知数； ②用含未知数的代数式表示相关数量； ③抓住题目当中的相等关系列出方程。 等式的基本性质： ①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； ②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 解一元一次方程基本步骤： ①去分母，等式两边同乘各分母最小公倍数； ②去括号，遵循去括号法则； ③移项，把含未知数项移一边，常数项移另一边； ④合并同类项，化为ax=b（a≠0）形式； ⑤系数化为1，求得未知数的值。 检验方程的解： 把求得的未知数的值代入原方程，看左右两边数值是否相等，判断是否为原方程的解。 重点辨析 1. 等式不一定是方程，不含未知数的等式不是方程；方程一定是等式。 2. 未知数不能放在分母，分母含有未知数不是一元一次方程，属于分式方程。 3. “方程的解”是数值；“解方程”是求解的过程，二者概念不能混淆。 4. 等式性质2做除法运算时，除数不能为0。 5. 移项才需要变号，原地不动的项符号保持不变。 1. 判断一元一次方程，忽略分母中不能含有未知数。 2. 运用等式性质2，等式两边同除以一个数，忽略除数不能为0。 3. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最小公倍数。 4. 移项不变号，未移动的项错误改变符号。 5. 去括号时，括号前面是负号，括号内部分项忘记变号，存在漏乘。 6. 系数化为1时分分子分母颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★★ 题型七 等式的性质 1 ★★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★偏难 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：①先判断是不是等式（有等号）；②再看式子里面是否含有未知数；③两个条件同时满足才是方程，缺一不可。 1．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义．根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，该选项不符合题意； B、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； C、是等式且含有未知数，满足方程的定义，该选项符合题意； D、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型二：列方程 解题思路：①读懂题意，设出合适的未知数；②用含有未知数的代数式表示题目中的相关数量；③找出题目中的等量关系；④根据等量关系列出等式，不需要求出结果。 4．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 5．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 6．钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 7．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 题型三：判断是否是方程的解 解题思路：①将给定数值代入原方程；②分别计算方程左边、右边的结果；③对比左右两边，结果相等就是方程的解，不相等则不是。 8．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，根据题意，把代入验证即可求解． 【详解】解：A、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； B、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； C、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； D、当时，等式左边，等式右边，等式左边等于右边，故符合题意； 故选：D ． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 10．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 题型四：已知方程的解，求参数 解题思路：①把已知的解代入原方程；②化简得到只含有参数的新方程；③解这个新方程，求出参数的值。 11．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：， 解得． 12．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】1 【分析】本题考查整体代入法求方程的解，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相同的形式，利用已知方程的解求解． 【详解】解：令，则原方程化为 ． 由得 ， 代入得 ． 整理得． 已知方程的解为， 因此． 即， 解得． 故答案为1． 14．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 题型五：判断是否是一元一次方程 解题思路：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等式两边都为整式，未知数不能在分母位置；④三个条件全部满足才是一元一次方程。 15．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 16．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． 17．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 题型六：判断是否是一元一次方程解 解题思路：①先确认该方程属于一元一次方程；②把待检验数值代入方程；③分别计算左右两边；④左右结果相等，则该数是方程的解。 18．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 19．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 20．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七：等式的性质 1 解题思路：①等式两边做相同运算；②等式两边同时加（或减）同一个数或同一个式子；③所得结果仍是等式。 21．如果，那么a、b的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】解：由，移项得，计算得． ∵， ∴，即． 22．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 23．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图）中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图），将个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，等式的性质，由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，得，然后通过等式性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴， ， 故选：． 题型八：等式的性质 2 解题思路：①等式两边同时乘同一个数，结果仍相等；②等式两边同时除以同一个不为0的数，结果仍相等；③除数不能为0。 24．方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的基本性质，将未知数系数化为1即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 等式两边同时除以，得 ， ∴ 方程的解为． 25．下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形即可得到错误选项． 【详解】解：根据等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． A. , 等式两边同时减, 可得, 变形正确． B. , 等式两边同时加, 可得, 变形正确． C. , 等式两边同时乘, 可得, 不是, 变形错误． D. , 等式两边同时乘, 可得, 变形正确． 故选C． 26．若x，y，z为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质、整式的加减等知识，解题的关键是正确的变形合并同类项，从给定方程出发，两边同乘8得，然后通过代数变换验证各选项，即可解题． 【详解】解：∵， 两边同乘8得：， A：， 展开得， 移项得，与不符，结论错误，不符合题意； B：， 展开得， 移项得，与不符，结论错误，不符合题意； C：， 展开得， 移项得，与已知一致，结论正确，符合题意； D：， 展开得， 移项得，与不符，结论错误，不符合题意； 故选：C． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：①移项，把含未知数项移到一边，常数项移到另一边；②记住移项要改变符号；③合并同类项；④化成ax=b的标准形式 27．方程的解为______． 【答案】 【详解】解： 解得． 28．若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】因为方程的解满足方程，所以将代入原方程，得到关于的一元一次方程．求解得到的关于的一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：∵ 方程的解是 ∴ 代入得 ∴ . 29．已知两数（均为正数）的差与这两数的商都等于7，那么这两个数的和是_______． 【答案】 【分析】先设较小的数为，则较大的数为，再根据题意得到方程，再解方程，即可解答． 【详解】解：设较小的数为，则较大的数为， 由题意得，， 解得，， ， 即这两个数的和是． 30．规定表示两数中较小的数，例如：，按照这个规定，关于的方程的解为（     ） A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【分析】根据新定义分两种情况讨论，分别求解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的解，即可得到答案． 【详解】分两种情况讨论： 情况1：当，即时 ∵ ∴原方程为 解得 ∵，不满足，∴舍去该解． 情况2：当，即时 ∵ ∴原方程为 移项得 解得 ∵，满足条件，∴是原方程的解． 综上，原方程的解为，故选B． 题型十：去括号 解题思路：①运用乘法分配律，括号外因数乘括号里面每一项；②括号前面是正号，去括号各项符号不变；③括号前面是负号，去括号后括号内每一项都变号。 31．解方程：，______． 【答案】 【分析】按去括号，移项，合并同类项的步骤计算即可． 【详解】解： 去括号得 移项合并同类项得． 32．我们规定一种运算：，例如：，则________，若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵ ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为得，． 33．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A，∵，移项，得，与选项变形不符，∴A错误； 对选项B，∵，去括号，得，与选项变形不符，∴B错误； 对选项C，∵，等式两边同时除以，得，与选项变形不符，∴C错误； 对选项D，∵，等式两边同时乘去分母，得，变形正确，∴D正确． 题型十一：去分母 解题思路：①找出方程中所有分母的最小公倍数；②方程左右两边整体同乘最小公倍数；③不含分母的项也要乘，防止漏乘；④去掉分母后继续解方程。 34．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 35．方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的过程是解题的关键． 先根据分数的基本性质，将方程整理为，再通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤即可求解． 【详解】解： 整理，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为． 36．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号法则判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①先根据一元一次方程定义，确定参数隐藏限制条件；②将已知解代入原方程；③得到关于参数的方程；④求解得到参数数值。 37．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，即可求出参数的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入方程，得， 解得：． 38．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 39．若关于x的方程和有相同的解，则______． 【答案】8 【分析】先解不含参数的一元一次方程得到的值，再代入含参数的方程即可求出． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 两个方程有相同的解， 把代入，得． 40．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：①分别求出两个方程的解（解用参数表示）；②根据题意：解相等、互为相反数、大小差值等关系；③建立等式；④解等式求出参数。 41．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 42．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 43．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 题型十四：绝对值方程 解题思路：①依据绝对值性质分类讨论；②去掉绝对值，转化为普通一元一次方程；③分别求出各个方程的解；④必须代入原方程检验，舍去增根。 44．若，则m的值是（    ） A．7 B． C．7或 D．0或7 【答案】C 【分析】本题考查绝对值方程，根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； 故选：C． 45．若是方程的解，则___；又当时，则方程的解是_____． 【答案】 1 9或3 【分析】本题侧重考查含绝对值的一元一次方程，掌握其解法是解决此题的关键．先根据方程的解的含义，将代入方程中，结合绝对值的性质可求出的值；将代入中，可得，将方程转化为；再利用解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：因为是方程的解， 所以， 所以． 当时，方程为方程， 则， 或3． 故答案为：1；9或3． 46．规定：，．例如：，．下列结论中，正确的有（    ） ①； ②若，则； ③若，则x的值为6或； ④式子的最小值是7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，绝对值的几何意义，绝对值方程，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新运算的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：①；故①正确； ②，则， ∴， ∴；故②正确； ③当时，则，解得或；故③正确； ④，表示数轴上数到数3以及数的距离之和， ∴当在和3之间时，最小，为到3的距离，即；故④正确； 故选：A． 解答题 1．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 2．先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 【答案】化简为，值为3． 【分析】先去括号，合并同类项，根据一元一次方程的定义得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， ∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 3．如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 (1)图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； (2)结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)13， (2)不存在，理由如下： ， ， ， 解得， n取正整数， 故不存在值． 【分析】（1）先观察得到，推导出，再代入求值； （2）把代入等式，得到关于的一元一次方程，解方程判断是否存在正整数解． 【详解】（1）解：由题意： ，， 观察图形规律： 图形1：， 图形2：， 图形3：， 图形的小正方体个数：， 将代入：． （2）略 4．已知：，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】一元一次方程的解法：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可，根据方程的形式选择合适的步骤与解法求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． （5）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （6）解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （8）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （9）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 6．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 【答案】(1) 解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义，是解题的关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； （2）先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于列出方程，然后求出解即可； （3）先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ， 解得：； （3）解：方程的解为， 为整数，且为正整数， ，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意， 综上，． 7．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $