专题07代数式精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦代数式核心知识，系统梳理用字母表示数的意义与书写规范，代数式的概念（含运算构成、不含等号不等号），列代数式的方法（抓关键词、理运算顺序），代数式的值的求法（代入、运算顺序、括号使用），并通过重点辨析与常见错误分析构建完整学习支架。 该资料亮点在于12种分层题型设计（基础到难点），结合连续自然数表示、商品售价计算等实例培养数学思维的推理能力，通过图形与数字规律探索发展数学眼光的创新意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化数学语言的模型表达。

专题07代数式精讲学案 核心立意： 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念与书写规范；能结合实际情境列代数式，熟练求代数式的值，体会符号表示的数学思想。 用字母表示数： ①字母可以表示数、数量关系、运算公式； ②数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常省略； ③数字写在字母前面； ④带分数要化为假分数； ⑤除法运算改写为分数形式。 代数式的概念： ①数和字母经过有限次加、减、乘、除、乘方运算得到的式子叫做代数式；②单独一个数或者单独一个字母也是代数式； ③代数式不含等号、不等号。 列代数式： ①读懂题干，理清题目中的数量关系； ②抓住和、差、积、商、倍、增加、减少等关键词； ③理清运算顺序，优先计算部分添加括号。 代数式的值： ①把字母替换为指定数值； ②严格遵循运算顺序计算； ③负数、分数做乘方代入时，必须添加括号。 重点辨析 1. 代数式不能含有=、>、<、、；含有等号、不等号的是等式或不等式，不属于代数式。 2. 书写代数式，数字写在字母前面；1a简写为a，-1 a简写为-a。 3. 列代数式注意区分：增加≠增加到，减少≠减少到，二者数量含义完全不同。 4. 代入求代数式的值，负数、分数参与乘方运算，必须添加括号，避免符号出错。 1. 代数式书写格式错误：数字写在字母后面，带分数没有化成假分数，除法未写成分数形式。 2. 概念混淆，误将等式、不等式判定为代数式。 3. 列代数式审题失误，混淆“增加、增加到、减少、减少到”，漏写括号改变运算顺序。 4. 代入求值时，负数、分数进行乘方运算忘记添加括号，出现符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用字母表示数 ★ 题型二 列代数式 ★★ 题型三 正（反）比例关系 ★★ 题型四 用代数式表示数、图形的规律 ★★★ 题型五 代数式的概念 ★ 题型六 代数式书写方法 ★ 题型七 代数式表示的实际意义 ★★ 题型八 已知字母的值，求代数式的值 ★★ 题型九 已知式子的值，求代数式的值 ★★★ 题型十 程序流程图与代数式求值 ★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★★ 题型十二 图形类规律探索 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一： 用字母表示数 解题思路：①遵守书写规则，数与字母、字母之间相乘省略乘号；②数字写在字母前面；③带分数化为假分数，除法改写成分数；④1、-1和字母相乘时，省略数字1。 1．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 2．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 3．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 题型二：列代数式 解题思路：①圈画关键词：和、差、积、商、倍、增加、减少等；②理清运算顺序，优先运算部分添加括号；③区分文字表述：A与B的差、A比B多/少；④最后检查代数式书写格式。 4．有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 6．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 7．活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 题型三：正（反）比例关系 解题思路：①正比例：两个量的比值固定不变；②反比例：两个量的乘积固定不变；③用字母表示两个变量，写出关系式；④代入简单数值检验关系式是否成立。 8．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 9．下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ） A．路程一定，速度和时间 B．一根蜡烛燃烧的长度和剩余的长度 C．小强的年龄与身高 D．圆柱的底面积一定，该圆柱的体积与高 10．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 11．在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 题型四：用代数式表示数、图形的规律 解题思路：①列出前2‑3组对应的数据；②对比序号n和结果，找变化规律；③区分等差、倍数、平方类变化；④写出含n的代数式；⑤代入序号验算，验证规律 12．如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 13．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 14．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 题型五：代数式的概念 解题思路：①数与字母通过运算得到的式子是代数式；单独数字、单独字母也是代数式；②含有=、>、<、、的不是代数式；③只看式子形式，不需要计算结果。 15．下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 16．在，，，，， 0， 中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 17．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 题型六：代数式书写方法 解题思路：①省略乘号，数字放在字母前面；②带分数化成假分数；③除法改用分数形式，不出现“÷”；④相同字母相乘，写成乘方形式。 18．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 19．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型七：代数式表示的实际意义 解题思路：①理清代数式运算先后顺序；②给字母赋予合理现实含义；③用通顺文字描述整体运算关系；④同一个代数式可存在多种合理解释。 21．代数式的意义可以是（    ） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 22．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义：_________________． 23．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 题型八：已知字母的值，求代数式的值 解题思路：①将字母替换为题目给定数值；②负数、分数做乘方运算，必须加括号；③按照运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；④分步计算，减少计算失误。 24．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 25．规定“*”表示一种新运算，且．则________． 26．已知，，且，则的值为_________． 27．把一个底面半径是5厘米，高10厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形（如下图），切开后，再拼起来，得到一个近似的长方体．拼成后这个长方体的表面积与原来的圆柱体表面积相比，结果（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 题型九：已知式子的值，求代数式的值 解题思路：①观察已知条件与目标代数式结构；②变形目标代数式，凑出已知的整体；③整体直接代入，不必单独求字母；④整体为负数时，代入务必加上括号。 28．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 29．若，则代数式的值为_________． 30．已知互为相反数且均不为和互为倒数，，那么代数式的值为________． 31．已知，那么的值为（    ） A．2025 B．2021 C．2025或2021 D．不能确定 题型十：程序流程图与代数式求值 解题思路：①读懂流程，把框图转化成代数式；②看清判断条件，区分分支走向；③按步骤代入数值计算；④循环题型反复运算，直到满足输出条件。 32．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 33．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 34．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 题型十一：数字类规律探索 解题思路：①对齐序号n和对应数字，写出前几项；②观察差值、倍数、平方等变化；③分清不变部分与变化部分；④写出通项代数式；⑤至少用两组数据检验正确性。 35．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 36．探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 37．所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 38．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 题型十二：图形类规律探索 解题思路：①数出前几个图形对应数量；②找出不变部分、每次新增的部分；③确定每增加1个图形的增量；④建立序号n和数量的关系式；⑤回代验证，防止找错增量。 39．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个六边形，第②个图中有7个六边形，第③个图中有10个六边形，第④个图中有13个六边形……按照这一规律，则第⑥个图中六边形的个数是（     ） A．22 B．20 C．19 D．16 40．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 41．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 解答题 1．甲、乙两地间的公路全长千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： (1)此人从甲地到乙地需要走______小时； (2)如果每小时多走千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 2．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 3．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 4．已知m是常数，函数，记． (1)若，，求y的值； (2)若，，比较M与3的大小． 5．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 6．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 7．三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07代数式精讲学案 核心立意： 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念与书写规范；能结合实际情境列代数式，熟练求代数式的值，体会符号表示的数学思想。 用字母表示数： ①字母可以表示数、数量关系、运算公式； ②数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常省略； ③数字写在字母前面； ④带分数要化为假分数； ⑤除法运算改写为分数形式。 代数式的概念： ①数和字母经过有限次加、减、乘、除、乘方运算得到的式子叫做代数式；②单独一个数或者单独一个字母也是代数式； ③代数式不含等号、不等号。 列代数式： ①读懂题干，理清题目中的数量关系； ②抓住和、差、积、商、倍、增加、减少等关键词； ③理清运算顺序，优先计算部分添加括号。 代数式的值： ①把字母替换为指定数值； ②严格遵循运算顺序计算； ③负数、分数做乘方代入时，必须添加括号。 重点辨析 1. 代数式不能含有=、>、<、、；含有等号、不等号的是等式或不等式，不属于代数式。 2. 书写代数式，数字写在字母前面；1a简写为a，-1 a简写为-a。 3. 列代数式注意区分：增加≠增加到，减少≠减少到，二者数量含义完全不同。 4. 代入求代数式的值，负数、分数参与乘方运算，必须添加括号，避免符号出错。 1. 代数式书写格式错误：数字写在字母后面，带分数没有化成假分数，除法未写成分数形式。 2. 概念混淆，误将等式、不等式判定为代数式。 3. 列代数式审题失误，混淆“增加、增加到、减少、减少到”，漏写括号改变运算顺序。 4. 代入求值时，负数、分数进行乘方运算忘记添加括号，出现符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用字母表示数 ★ 题型二 列代数式 ★★ 题型三 正（反）比例关系 ★★ 题型四 用代数式表示数、图形的规律 ★★★ 题型五 代数式的概念 ★ 题型六 代数式书写方法 ★ 题型七 代数式表示的实际意义 ★★ 题型八 已知字母的值，求代数式的值 ★★ 题型九 已知式子的值，求代数式的值 ★★★ 题型十 程序流程图与代数式求值 ★★★ 题型十一 数字类规律探索 ★★★★ 题型十二 图形类规律探索 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一： 用字母表示数 解题思路：①遵守书写规则，数与字母、字母之间相乘省略乘号；②数字写在字母前面；③带分数化为假分数，除法改写成分数；④1、-1和字母相乘时，省略数字1。 1．如图，绿绳的长度是____________米（转弯处忽略不计）． 【答案】 【详解】解：由图形得绿绳的长度是米． 2．下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的意义，逐项列出代数式即可判断． 【详解】解：A、线段长度表示为，故不符合题意； B、最大长方形面积为，故不符合题意； C、长方体的体积为，故不符合题意； D、长方形周长为：，符合题意， 故选：D． 3．如果甲扇形的圆心角是，乙扇形的圆心角是，那么下列说法正确的是（   ） A．甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 B．甲、乙扇形的弧长可以相等 C．甲、乙扇形的弧长一定不相等 D．甲、乙扇形的面积一定不相等 【答案】B 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的计算公式． 结合扇形的弧长公式和面积公式求解可得． 【详解】解：A．因为甲、乙扇形的半径未知，所以不能判断弧长之间的关系，故本选项不符合题意； B．当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等，故本选项符合题意； C．甲、乙扇形的弧长可以相等（当甲扇形的半径是乙扇形的半径的2倍时，甲、乙扇形的弧长相等），故本选项不符合题意； D．甲、乙扇形的面积可以相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型二：列代数式 解题思路：①圈画关键词：和、差、积、商、倍、增加、减少等；②理清运算顺序，优先运算部分添加括号；③区分文字表述：A与B的差、A比B多/少；④最后检查代数式书写格式。 4．有三个连续自然数，最小的数用字母表示，那么另外两个数表示为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：∵ 相邻两个自然数相差1，三个连续自然数中最小的数为， ∴ 另外两个数分别为和. 5．某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解题思路为根据售价与进价，提高百分比的关系，列出代数式，再化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． 6．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 7．活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 【详解】解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 题型三：正（反）比例关系 解题思路：①正比例：两个量的比值固定不变；②反比例：两个量的乘积固定不变；③用字母表示两个变量，写出关系式；④代入简单数值检验关系式是否成立。 8．下列各式中，表示x与y成反比例关系的是（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据反比例关系的定义，两种相关联的量，若对应数的乘积为定值，则两个量成反比例关系，据此判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，，与的和为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对B选项，，与的比值为定值，乘积不是定值，∴与不成反比例关系． 对C选项，由变形得，与的乘积是定值，符合反比例关系的定义，∴与成反比例关系． 9．下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（     ） A．路程一定，速度和时间 B．一根蜡烛燃烧的长度和剩余的长度 C．小强的年龄与身高 D．圆柱的底面积一定，该圆柱的体积与高 【答案】D 【分析】成正比例关系的两个相关联的量比值一定，据此判断各选项． 【详解】解：A选项，∵速度时间路程（一定），是乘积一定，∴速度和时间不成正比例； B选项，∵燃烧的长度剩余的长度蜡烛总长度（一定），是和一定，∴二者不成正比例； C选项，∵小强的年龄与身高的比值、乘积均不固定，∴二者不成正比例； D选项，∵圆柱的体积高底面积（一定），是比值一定，∴圆柱的体积与高成正比例． 10．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【答案】C 【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项． 【详解】解：由表格数据可得，， 故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小， 故C正确，A、B、D错误． 11．在数学活动课上，王老师与同学们做了这样一个实验，如图，在左侧托盘（固定）中放置一个重物，在右侧托盘（可左右移动）．中放置一个质量为的空容器，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与支点C的距离（）， 记录容器与水的总质量的数据如下： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 当托盘与支点的距离时，容器与水的总质量的值为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，根据各数量之间的关系写出关系式是解题的关键．根据表格数据可得与的乘积不变，成反比例，据此即可求解． 【详解】解：由表格可知，与的乘积不变，成反比例，， ∴当时，容器与水的总质量的值为， 故答案为：． 题型四：用代数式表示数、图形的规律 解题思路：①列出前2‑3组对应的数据；②对比序号n和结果，找变化规律；③区分等差、倍数、平方类变化；④写出含n的代数式；⑤代入序号验算，验证规律 12．如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，熟练掌握整式的运算是解题的关键．由第一个图形有22根火柴棍，第二个图形有，后一个图形比前一个图形多11根火柴棍，由此找到规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有根火柴棍， 第二个图形有根火柴棍， 第三个图形有根火柴棍， ∴第个图形有：根火柴棍， 故选：B． 13．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 14．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【答案】B 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个； …… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 题型五：代数式的概念 解题思路：①数与字母通过运算得到的式子是代数式；单独数字、单独字母也是代数式；②含有=、>、<、、的不是代数式；③只看式子形式，不需要计算结果。 15．下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式，掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式． 【详解】解：代数式定义为由数字、字母和运算符号组成的式子，不含关系符号， 选项A含“=”，是方程； 选项B含“>”，是不等式； 选项C含“≠”，是不等式； 选项D仅含数字、字母和运算符号“+”和“×”，属于代数式． 故选D． 16．在，，，，， 0， 中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的定义，关键区分代数式与方程、不等式．代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的式子，不包括等号或不等号．因此，从给定项中识别出符合条件的代数式． 【详解】解：是常数，为代数式； 是含变量和运算的式子，为代数式； 含等号，是方程，不是代数式； 是乘积，为代数式； 含不等号，是不等式，不是代数式； 0是数字，为代数式； 是分数，为代数式。 代数式有，，， 0， ，共5个， 故选：B． 17．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 题型六：代数式书写方法 解题思路：①省略乘号，数字放在字母前面；②带分数化成假分数；③除法改用分数形式，不出现“÷”；④相同字母相乘，写成乘方形式。 18．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式． 【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式； 选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式； 选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式； 选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式； 故选：D． 19．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 20．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 题型七：代数式表示的实际意义 解题思路：①理清代数式运算先后顺序；②给字母赋予合理现实含义；③用通顺文字描述整体运算关系；④同一个代数式可存在多种合理解释。 21．代数式的意义可以是（    ） A．2026与的和 B．2026与的积 C．2026与的差 D．2026与的商 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义，明确数字与字母相乘时省略乘号的表示方法对应的运算，即可求解． 【详解】解：代数式的意义可以是2026与的积， 故选：B． 22．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义：_________________． 【答案】答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是元 【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意． 根据题意解决问题即可． 【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元． 故答案为：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元(答案不唯一)． 23．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 题型八：已知字母的值，求代数式的值 解题思路：①将字母替换为题目给定数值；②负数、分数做乘方运算，必须加括号；③按照运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；④分步计算，减少计算失误。 24．当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 25．规定“*”表示一种新运算，且．则________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题可知，， 代入公式得：． 26．已知，，且，则的值为_________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质和的条件求出和，计算即可； 【详解】解：，， ，， ， ，或，， ， 或， 的值是或． 27．把一个底面半径是5厘米，高10厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形（如下图），切开后，再拼起来，得到一个近似的长方体．拼成后这个长方体的表面积与原来的圆柱体表面积相比，结果（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算及切拼成长方体后的表面积变化，熟练掌握圆柱和长方体的表面积公式，以及切拼后新增面的来源是解题的关键．先分别计算圆柱的表面积和切拼后近似长方体的表面积，再对比两者大小，判断变化情况． 【详解】解：圆柱的表面积： （平方厘米）， ∵长方体的长，宽，高 （平方厘米）， ∵，， ∴， 故选：C． 题型九：已知式子的值，求代数式的值 解题思路：①观察已知条件与目标代数式结构；②变形目标代数式，凑出已知的整体；③整体直接代入，不必单独求字母；④整体为负数时，代入务必加上括号。 28．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 29．若，则代数式的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴. 30．已知互为相反数且均不为和互为倒数，，那么代数式的值为________． 【答案】或 【分析】根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或． 31．已知，那么的值为（    ） A．2025 B．2021 C．2025或2021 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整体代入法求值，解题的关键是注意不能为负数． 先求出的值，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴， 当时， 原式． 故选：A． 题型十：程序流程图与代数式求值 解题思路：①读懂流程，把框图转化成代数式；②看清判断条件，区分分支走向；③按步骤代入数值计算；④循环题型反复运算，直到满足输出条件。 32．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【答案】D 【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为， 第二次输出结果为． 33．有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【答案】8 【分析】根据输入数值的奇偶，按照流程图要求代入合适的代数式，求出前四次输出的结果，能够发现输出结果按照8、7、10三个数字进行循环，由此进行求解即可． 【详解】解：开始输入的值是5，5为奇数代入，得到第一次输出的结果是8； 8为偶数代入，得到第二次输出的结果是7； 7为奇数代入，得到第三次输出的结果是10； 10为偶数代入，得到第四次输出的结果是8， 这与第一次输出结果相同，所以输出结果按照8、7、10三个数字进行循环， ， 则第2026次输出的结果是8． 34．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 题型十一：数字类规律探索 解题思路：①对齐序号n和对应数字，写出前几项；②观察差值、倍数、平方等变化；③分清不变部分与变化部分；④写出通项代数式；⑤至少用两组数据检验正确性。 35．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 36．探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（     ） ① ② ③ ④ A．9998 B．9999 C．10000 D．10001 【答案】C 【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察给出的算式可得： ∵ 第1个算式的结果为， 第2个算式的结果为， 第3个算式的结果为， ... ∴ 归纳规律：第个算式的结果为. 当时，， 因此第99个算式的结果是10000． 37．所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 【答案】 【分析】分情况讨论：该数为一位数，两位数，三位数，四位数时，根据“整十数”的定义求解即可． 【详解】解：只需统计不超过且各位数字和为的正整数个数（即的序号）． 按位数分类： （1）一位数，数字最大为，和不可能等于，共个， （2）两位数，设十位为、个位为，则， 可取，，……，，对应，，……，，共个（，，…，）； （3）三位数，设百位为，十位为、个位为， 由题意得，即， 对固定的，， 为的非负整数对， 解数为： 解数 合计个； （4）四位数（不超过） ①千位为（即）后三位和需为， 即，，为且和为， 解数同上为个， ②千位为且不超过， 设数为，需且数值， ，， 由得，，，， 对应，，， ：此时该四位数，不符合要求． 共个：，，； 总计． 38．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 题型十二：图形类规律探索 解题思路：①数出前几个图形对应数量；②找出不变部分、每次新增的部分；③确定每增加1个图形的增量；④建立序号n和数量的关系式；⑤回代验证，防止找错增量。 39．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个六边形，第②个图中有7个六边形，第③个图中有10个六边形，第④个图中有13个六边形……按照这一规律，则第⑥个图中六边形的个数是（     ） A．22 B．20 C．19 D．16 【答案】C 【分析】总结出前几个图形中六边形个数的规律，然后求解即可． 【详解】解：第①个图中六边形的个数是， 第②个图中六边形的个数是， 第③个图中六边形的个数是， 第④个图中六边形的个数是， …… ∴第⑥个图中六边形的个数是． 40．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为_____． 【答案】 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1， 第2层三角形的个数为：3， 第3层三角形的个数为：5， 第4层三角形的个数为：7， 第5层三角形的个数为：9， …… 第n层的三角形的个数为：， ∴当时，三角形的个数为：． 41．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（     ） A．512 B．1023 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数． 解答题 1．甲、乙两地间的公路全长千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： (1)此人从甲地到乙地需要走______小时； (2)如果每小时多走千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了代数式的问题，列代数式关键是找到题目中的数量关系． （1）根据“时间路程速度”，列出代数式； （2）先求得加速后的速度，然后依据“时间路程速度”，列出代数式； 依据从“甲地到乙地少用的时间加速前所需时间加速后所需时间”列代数式． 【详解】（1）解：此人从甲地到乙地所需时间为：小时， 故答案为：； （2）加速后，此人从甲地到乙地所需时间为：小时； 此人从甲地到乙地少用：小时； 故答案为：；． 2．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 【答案】(1)600 (2) 反比例关系，理由：每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 因为定值， 所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 【分析】本题考查了代数式，以及反比例关系，解题的关键在于熟练掌握相关概念． （1）根据总数每本用纸张数装订本数求解，即可解题； （2）根据反比例关系的概念求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为， 这些纸一共有张； 故答案为：； （2）略 3．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)已知对于任意的x都成立，求的值． 【答案】(1)7或19 (2) 【分析】（1）首先化简绝对值得到，，然后根据分两种情况讨论，分别代入求解即可； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为7或19； （2）解：∵对于任意的x都成立 ∴当时，， ∴． 4．已知m是常数，函数，记． (1)若，，求y的值； (2)若，，比较M与3的大小． 【答案】(1)6 (2)当时，：当时， 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）把，代入得，，则或，然后分或两种情况求得M的值，比较即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ； （2）解：把，代入得， ， 整理得， ∴或， 当时，， 把代入得，此时； 当时， ，，显然， ∴，整理得， ∴此时． 综上，当时，：当时，． 5．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 6．已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 7．三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $