专题06有理数的乘方精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方、幂、底数、指数的概念，明确有理数乘方符号法则，区分(-a)ⁿ与-aⁿ的本质区别，延伸至科学记数法、近似数及混合运算顺序，构建从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 该资料通过重点辨析易混点、总结常见错误，设计14种分级题型，结合结绳计数、算24点等实际情境，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与实际应用。

专题06有理数的乘方精讲学案 核心立意： 理解乘方、幂、底数、指数的概念，掌握有理数乘方的符号法则；分清(-a)n与-an的本质区别，掌握科学记数法与近似数；熟练遵循运算顺序完成有理数混合运算。 乘方的相关概念： ①求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂； ②在an中，a叫做底数，n叫做指数； ③an读作a的n次方或a的n次幂。 有理数乘方符号法则： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数； ③0的任何正整数次幂都等于0。 (-a)n与-an的区别： ①(-a)n，底数是-a，表示n个-a相乘； ②-an，底数是a，表示a的n次幂的相反数。 科学记数法： ①把数表示成a10n的形式，满足1|a|<10，n为正整数； ②n等于原数的整数位数减1。  近似数： ①近似数为接近实际的数值； ②精确度用来刻画近似数与准确数的接近程度。 有理数混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③有括号先算括号内，依次计算小括号、中括号、大括号。 重点辨析 1. 乘方是运算，幂是运算结果；指数代表相同因数的个数。 2. 负数、分数进行乘方书写时，底数必须添加括号，否则会改变底数。 3. (-1)的奇次幂等于-1，(-1)的偶次幂等于1。 4. 科学记数法严格满足1|a|<10，n不能随意取值。 5. 有理数混合运算中，乘方运算优先级最高，必须优先计算乘方。 1. 混淆(-a)n与-an的底数，造成符号计算错误。 2. 分数、负数做乘方运算，遗漏括号，改变原式含义。 3. 有理数混合运算运算顺序错乱，优先计算乘除，忽略先算乘方。 4. 科学记数法中a不符合取值范围，n计算出错。 5. 混淆0的正整数次幂与0的0次幂，0的0次幂无意义。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★ 题型七 算 “24” 点 ★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 计算器 —— 有理数 ★ 题型十 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型十二 求一个数的近似数 ★★ 题型十三 求近似数的精确度 ★★★ 题型十四 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：①明确乘方、底数、指数、幂的定义：an中a为底数，n为指数，表示n个a相乘；②负数、分数作底数时必须带括号，区分(-a)n与-an；③乘方是运算，幂是乘方运算得到的结果；④读清题意，辨别谁是真正的底数。 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①先识别真实底数，重点区分有无括号；②依据符号法则定符号：正数任何次幂为正，负数偶次幂正、奇次幂负，0的正整数次幂为0；③计算绝对值部分的乘方；④符号与绝对值结果合并，得到最终答案。 4．计算：________． 5．若，则________． 6．在二进制数中，“1101”表示十进制数的；“11000”表示十进制数的；则二进制数中的“111111”表示的是十进制数的________． 7．定义一种新运算@，规定运算法则为（x，y均为整数，且），例如：，则． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂的值，反向求底数或者指数；②平方等于一个正数的数有两个，二者互为相反数；③任何有理数的平方都是非负数；④优先带入特殊值：0、1、-1尝试分析。 8．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 9．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 10．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①正数无论多少次幂，结果永远为正；②负数看指数奇偶，偶次幂得正，奇次幂得负；③记住特殊：(-1)偶数=1，(-1)奇数=-1；④只看指数奇偶判断符号，不需要完整计算出数值。 12．这组数字的第7个数是__________． 13．当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 14．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是________，数2024是第________行从左边数第________个数． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂实际情景，识别倍增、对折这类数量变化关系；②确定底数、指数，指数代表变化次数；③列出乘方算式；④计算结果，结合题意写出实际问题答案。 16．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 17．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 18．第十四届国际数学教育大会（简称）在上海举办，会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3751．我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，八进制数3751换算成十进制数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型六：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图，理清输入、运算步骤、判断条件；②把给定数值代入流程；③严格按照运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号；④遇到循环判断，按要求重复运算直到满足输出条件。 19．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 21．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 题型七：算 “24” 点 解题思路：①利用给定4个数字，可使用乘方、加减乘除、括号；②优先凑3×8、4×6、12×2等24的因数组合；③适当尝试乘方改变数字大小；④验证算式，核对运算顺序，结果等于24即成立。 22．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 23．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 24．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 题型八：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①牢记运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内部；③先确定每一部分符号，再计算绝对值；④注意区分(-a)n和-an，避免搞错底数；⑤分步计算不跳步，化简得到最终结果。 25．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 26．定义：，则________． 27．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型九：计算器 —— 有理数 解题思路：①分清计算器按键功能，区分负号键与减号键；②输入乘方时注意括号，负数、分数做底数要加括号；③按照算式顺序完整输入，核对屏幕表达式；④读取计算器输出结果。 28．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 29．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 30．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 题型十：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a10n形式，保证1|a|<10；②n等于原数整数位数减1；③小数点向左移动得到a，移动位数就是n；④检查a的取值范围，避免多写、少写0。 31．长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 32．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 33．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型十一：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①看10的指数n；②把a中的小数点向右移动n位；③位数不够时用0补齐；④核对原数位数，还原完整数字。 34．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 35．我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是______． 36．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 题型十二：求一个数的近似数 解题思路：①看清题目指定精确度，确定需要保留到哪一位；②观察下一位数字，用四舍五入判断；③对目标位之后全部舍弃；④注意大数先看数位，不要直接对末尾数字取舍。 37．用四舍五入法对取近似值，精确到千分位是（   ） A． B． C． D． 38．6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 39．用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 40．用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 题型十三：求近似数的精确度 解题思路：①普通数直接看最后一位数字所在的数位；②带单位的近似数，先还原成原数，再看末尾数字实际位置；③科学记数法的近似数，还原原数再判断精确到哪一位；④区分精确数位和有效数字概念。 41．用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 42．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 43．某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 44．下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十四：近似数推断取值范围 解题思路：①设原数为x，近似数由四舍五入得到；②找最小值：是“五入”得来，近似数末位减1，后面加5；③找最大值：是“四舍”得来，近似数末位不变，后面加4；④注意不等号边界，判断是否包含端点。 45．近似值是5.26的最大三位小数是( )，最小的三位小数是( )． 46．近似数所表示的准确数a的范围是（　　） A． B． C． D． 47．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 48．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 解答题 1．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 2．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 5．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 6．小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方精讲学案 核心立意： 理解乘方、幂、底数、指数的概念，掌握有理数乘方的符号法则；分清(-a)n与-an的本质区别，掌握科学记数法与近似数；熟练遵循运算顺序完成有理数混合运算。 乘方的相关概念： ①求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂； ②在an中，a叫做底数，n叫做指数； ③an读作a的n次方或a的n次幂。 有理数乘方符号法则： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数； ③0的任何正整数次幂都等于0。 (-a)n与-an的区别： ①(-a)n，底数是-a，表示n个-a相乘； ②-an，底数是a，表示a的n次幂的相反数。 科学记数法： ①把数表示成a10n的形式，满足1|a|<10，n为正整数； ②n等于原数的整数位数减1。  近似数： ①近似数为接近实际的数值； ②精确度用来刻画近似数与准确数的接近程度。 有理数混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③有括号先算括号内，依次计算小括号、中括号、大括号。 重点辨析 1. 乘方是运算，幂是运算结果；指数代表相同因数的个数。 2. 负数、分数进行乘方书写时，底数必须添加括号，否则会改变底数。 3. (-1)的奇次幂等于-1，(-1)的偶次幂等于1。 4. 科学记数法严格满足1|a|<10，n不能随意取值。 5. 有理数混合运算中，乘方运算优先级最高，必须优先计算乘方。 1. 混淆(-a)n与-an的底数，造成符号计算错误。 2. 分数、负数做乘方运算，遗漏括号，改变原式含义。 3. 有理数混合运算运算顺序错乱，优先计算乘除，忽略先算乘方。 4. 科学记数法中a不符合取值范围，n计算出错。 5. 混淆0的正整数次幂与0的0次幂，0的0次幂无意义。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★ 题型七 算 “24” 点 ★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 计算器 —— 有理数 ★ 题型十 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型十二 求一个数的近似数 ★★ 题型十三 求近似数的精确度 ★★★ 题型十四 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：有理数幂的概念理解 解题思路：①明确乘方、底数、指数、幂的定义：an中a为底数，n为指数，表示n个a相乘；②负数、分数作底数时必须带括号，区分(-a)n与-an；③乘方是运算，幂是乘方运算得到的结果；④读清题意，辨别谁是真正的底数。 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 题型二：有理数的乘方运算 解题思路：①先识别真实底数，重点区分有无括号；②依据符号法则定符号：正数任何次幂为正，负数偶次幂正、奇次幂负，0的正整数次幂为0；③计算绝对值部分的乘方；④符号与绝对值结果合并，得到最终答案。 4．计算：________． 【答案】4 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 5．若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 6．在二进制数中，“1101”表示十进制数的；“11000”表示十进制数的；则二进制数中的“111111”表示的是十进制数的________． 【答案】63 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，读懂题目信息，正确理解二进制转化为十进制的方法是解题的关键． 根据二进制数转换为十进制数的方法，将二进制数每位数字乘以对应的2的幂次后求和即可． 【详解】解：根据题意得：二进制数“111111”有6位，从高位到低位分别对应 至 ，每位数字均为1，因此转换为十进制数为：， 故答案为：63． 7．定义一种新运算@，规定运算法则为（x，y均为整数，且），例如：，则． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义的运算法则代入计算． 按照新运算的法则，将，代入该式进行计算． 【详解】解：根据新运算@的法则，将，代入计算： 故答案为． 题型三：有理数乘方逆运算 解题思路：①已知幂的值，反向求底数或者指数；②平方等于一个正数的数有两个，二者互为相反数；③任何有理数的平方都是非负数；④优先带入特殊值：0、1、-1尝试分析。 8．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 9．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 10．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 题型四：乘方运算的符号规律 解题思路：①正数无论多少次幂，结果永远为正；②负数看指数奇偶，偶次幂得正，奇次幂得负；③记住特殊：(-1)偶数=1，(-1)奇数=-1；④只看指数奇偶判断符号，不需要完整计算出数值。 12．这组数字的第7个数是__________． 【答案】 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 13．当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 14．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是________，数2024是第________行从左边数第________个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 题型五：乘方的应用 解题思路：①读懂实际情景，识别倍增、对折这类数量变化关系；②确定底数、指数，指数代表变化次数；③列出乘方算式；④计算结果，结合题意写出实际问题答案。 16．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 17．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 18．第十四届国际数学教育大会（简称）在上海举办，会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3751．我们常用的数是十进制数，如，在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，八进制数3751换算成十进制数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了进位制应用问题，也考查了有理数乘方的运算，读懂题意是解答本题的关键． 根据题目信息，把八进制数转换为十进制数即可． 【详解】解： ； 故选：D． 题型六：程序流程图与有理数计算 解题思路：①读懂流程图，理清输入、运算步骤、判断条件；②把给定数值代入流程；③严格按照运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号；④遇到循环判断，按要求重复运算直到满足输出条件。 19．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据“数值转换机”的运算顺序计算即可． 【详解】解：当输入x为2时，输出的结果是． 故选：A． 20．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【详解】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 21．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 题型七：算 “24” 点 解题思路：①利用给定4个数字，可使用乘方、加减乘除、括号；②优先凑3×8、4×6、12×2等24的因数组合；③适当尝试乘方改变数字大小；④验证算式，核对运算顺序，结果等于24即成立。 22．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 23．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 24．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 题型八：含乘方的有理数混合运算 解题思路：①牢记运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内部；③先确定每一部分符号，再计算绝对值；④注意区分(-a)n和-an，避免搞错底数；⑤分步计算不跳步，化简得到最终结果。 25．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 26．定义：，则________． 【答案】 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 27．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 题型九：计算器 —— 有理数 解题思路：①分清计算器按键功能，区分负号键与减号键；②输入乘方时注意括号，负数、分数做底数要加括号；③按照算式顺序完整输入，核对屏幕表达式；④读取计算器输出结果。 28．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据按键顺序写出算式，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 29．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 30．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 题型十：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成a10n形式，保证1|a|<10；②n等于原数整数位数减1；③小数点向左移动得到a，移动位数就是n；④检查a的取值范围，避免多写、少写0。 31．长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 32．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】先计算100天的总飞行小时数，再根据路程等于速度乘时间计算总路程，最后根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将结果表示出来即可． 【详解】解：100天的总飞行时间， 飞行总路程． 33．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 题型十一：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①看10的指数n；②把a中的小数点向右移动n位；③位数不够时用0补齐；④核对原数位数，还原完整数字。 34．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 35．我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 36．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 题型十二：求一个数的近似数 解题思路：①看清题目指定精确度，确定需要保留到哪一位；②观察下一位数字，用四舍五入判断；③对目标位之后全部舍弃；④注意大数先看数位，不要直接对末尾数字取舍。 37．用四舍五入法对取近似值，精确到千分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数．精确到千分位需保留三位小数，看第四位小数（万分位）决定是否进位． 【详解】解：∵ 3.1415926的千分位数字为1，万分位数字为5， ∴ 千分位进位，1变为2； ∴精确到千分位的近似值为3.142． 故选：C． 38．6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 【答案】 六十亿四千五百八十万九千零九十 【详解】6045809090读作六十亿四千五百八十万九千零九十，“四舍五入”到万位的近似数记作604581万． 39．用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 【答案】 【分析】先根据题意得出第二大的数，再将改写成亿，最后根据“四舍五入法”求近似数即可． 【详解】解：由题意得，第二大的数为， 亿，保留两位小数亿． 故答案为：，． 40．用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数“近似数是与实际接近的数．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义求解即可得． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确的到的是， 故选：C． 题型十三：求近似数的精确度 解题思路：①普通数直接看最后一位数字所在的数位；②带单位的近似数，先还原成原数，再看末尾数字实际位置；③科学记数法的近似数，还原原数再判断精确到哪一位；④区分精确数位和有效数字概念。 41．用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 42．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 43．某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 44．下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 题型十四：近似数推断取值范围 解题思路：①设原数为x，近似数由四舍五入得到；②找最小值：是“五入”得来，近似数末位减1，后面加5；③找最大值：是“四舍”得来，近似数末位不变，后面加4；④注意不等号边界，判断是否包含端点。 45．近似值是5.26的最大三位小数是( )，最小的三位小数是( )． 【答案】 【分析】是三位小数的近似数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论，“四舍”得到的近似数比原数小，对应最大的三位小数，“五入”得到的近似数比原数大，对应最小的三位小数． 【详解】解：“四舍”得到近似值时，千分位上的数小于，最大可取， 因此最大的三位小数是； “五入”得到近似值时，千分位上的数大于等于，最小可取，此时原数百分位为， 因此最小的三位小数是． 46．近似数所表示的准确数a的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据近似数推断原数的取值范围，近似数精确到百分位，根据四舍五入规则，准确数a的千分位需满足四舍五入的条件，据此讨论求解即可． 【详解】解：∵近似数精确到百分位， ∴当原数大于时，则原数的千分位要小于5，当原数小于时，则原数的十分位为6，百分位为9，千分位要大于等于5， ∴， 故选：B． 47．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 48．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 解答题 1．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【答案】(1) (2) (3) (4)86 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 2．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算绝对值，然后算乘除，最后算加减即可； （2）将原式变形，然后利用乘法分配律展开并计算即可； （3）利用乘法分配律展开，然后算乘法，最后算加减即可； （4）将原式利用同底数幂乘法与积的乘方法则变形后计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 5．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 6．小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． （1）根据题意，把输入，得，其绝对值大于100，所以就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得，其绝对值小于100，所以再把从头输入，计算输出的数． 【详解】（1）解：． 而， ∴输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． ∵， ∴输出的数是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $