2.3.2 y=ax²的图像与性质 同步练习 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 聚焦y=ax²图像与性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到几何应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|开口方向、对称轴、顶点坐标|单选题1（点在图像上）、填空题11（开口方向），直接考查概念，强化抽象能力| |能力提升|函数值比较、图像性质辨析|单选题2（三点函数值比较）、填空题14（共通性质），结合推理意识，深化性质理解| |综合应用|几何图形与抛物线结合|解答题24（抛物线与直线最值）、填空题16（正方形中图像面积），体现几何直观与模型应用|

2.3.2 y=ax2的图像与性质 同步练习 2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 一、单选题 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 4．对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 5．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 6．关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 9．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 10．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 11．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 12．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 13．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 14．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 15．在平面直角坐标系中，为二次函数图象上一点，，若，则点的横坐标为__________． 16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 17．定义：对于任意两点，，我们称有序实数对为点关于点的相对位置．现有两点A、B，若点在抛物线上运动，点关于点的相对位置为，则点的运动轨迹为________（用含a、m、n的表达式来表示）． 18．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 三、解答题 19．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 20．已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 21．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 22．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 23．在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 24．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2.3.2 y=ax2的图像与性质 同步练习 2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册答案 1．C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 2．D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 3．B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，图象经过原点，故选项AB正确，不符合题意， ，二次函数开口向上，C选项错误，符合题意； 对称轴为y轴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 7．D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 8．D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 9．A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 10．A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 11．下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 12． 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 13． 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 14． 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 15．或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及三角函数的应用，构造直角三角形是解题的关键． 设点的坐标为，点，点，过点作轴交轴于点，即可用表示、的长度，结合，即可求出的值，即为点的横坐标． 【详解】解：由可确定点纵坐标一定要小于， 过点作轴交轴于点，如下图所示： 设点的坐标为， ∵点，点， ∴，， ∵， 得， 化简得， 解得或（舍去）， 根据二次函数的对称性，可判断当时，也满足要求， 故点的横坐标为或． 16．8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 17． 【分析】本题考查了相对位置，二次函数点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设点的坐标为，则，根据相对位置的定义，，，然后通过坐标变换即可得到点的轨迹方程． 【详解】解：设点的坐标为，则； ∵点关于点的相对位置为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹为：． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 19．(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 20．开口向上． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象，把点代入二次函数解析式可求出的值，进而可确定该函数图象的开口方向，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴该函数图象的开口向上． 21．(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 22．(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 23．(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）略 24．(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $