课时作业评价(11) 函数的对称性(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦函数对称性，通过题型分层与方法提炼构建“性质理解-变换应用-综合迁移”的完整训练体系，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对称性质应用|单选1-5、填空10|点对称（f(a+x)+f(a-x)=2b）、线对称（f(a+x)=f(b-x)）判定法|从具体函数对称（如指数函数）到抽象函数对称，构建“定义-性质-应用”链条| |对称性与变换|单选3、7、填空11|函数平移（左加右减）与对称中心/轴关系，复合函数对称性转化|结合奇偶性（奇函数平移）、周期性（f(x+4)=-f(x)+4），体现知识交叉| |综合应用|解答12、13|三次函数对称中心公式、对称问题与单调性综合，存在性问题转化|以对称性质为核心，关联函数图像变换与值域求解，培养推理能力|

课时作业评价(十一)　函数的对称性 (标号的为重点讲评题目,选择、填空题请在后面的答题区内作答) 一、单选题 1.函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知函数f(x)=,则函数f(x)图象的对称中心的坐标为 (　　) A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 3.设函数y=f(3x+1)是偶函数,则下列直线中,一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　) A.x=0 B.x= C.x=- D.x=-1 4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m等于 (　　) A.3 B. C.-1 D.- 6.已知定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,都有f(x+4)=-f(x)+4,若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(4 050)= (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则以下函数图象一定关于点(-1,0)成中心对称的是 (　　) A.y=(x-1)2f(x-1) B.y=(x+1)2f(x+1) C.y=x[f(x)]2+1 D.y=x[f(x)]2-1 二、多选题 8.设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是 (　　) A.f(x)在(0,+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 9.已知定义在R上的函数f(x),若f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,恒有f(x-1)=f(3-x),且f(x)在[1,2]上单调递减,则下列结论正确的是 (　　) A.直线x=1是f(x)图象的对称轴 B.周期T=2 C.函数f(x)在[4,5]上单调递增 D.f(5)=0 三、填空题 10.设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于　　　　　对称.  11.(2026·巴中模拟)已知函数f(x)=x++3的图象与直线y=k(x-1)+4有两个交点(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2+y1+y2=　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性;(5分) (2)求f(x)的单调区间.(5分) 答案 课时作业(十一)　函数的对称性 1.选A　设g(x)=2x+1-1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(4)=g(0)=2-1=1. 2.选C　因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4, 所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称. 3.选B　由y=f(3x+1)是偶函数,得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称,而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到,所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=. 4.选C　∵函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)+f(2-x)=0, 即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)·x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0, ∴解得故选C. 第4题·快捷技法 三次函数的性质:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点(-,f(-)). 由题意可得, 解得 5.选D　设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点Q(x',y'),则所以则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-. 6.选C　因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到,所以f(x)的图象关于直线x=0对称,故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4,所以f(x+8)=-f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x),故f(x)是以8为一个周期的偶函数,所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4,得f(2)=2,则f(4 050)=2. 7.选B　设m(x)=x2f(x),则m(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-m(x),所以m(x)为奇函数,其图象的对称中心为(0,0).因为y=(x-1)2f(x-1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向右平移1个单位长度所得,故其对称中心为(1,0),所以A错误;因为y=(x+1)2f(x+1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向左平移1个单位长度所得,故其对称中心为(-1,0),所以B正确;设n(x)=x[f(x)]2,则n(-x)=(-x)[f(-x)]2=-x[f(x)]2=-n(x),所以n(x)为奇函数,其图象的对称中心为(0,0).因为y=x[f(x)]2+1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向上平移1个单位长度所得,故其对称中心为(0,1),所以C错误;因为y=x[f(x)]2-1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向下平移1个单位长度所得,故其对称中心为(0,-1),所以D错误. 8.选ABD　∵f(x)=2x-1+21-x,∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x), 即f(x)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,A、D错误; ∵f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函数,故B错误. 9.选AC　因为f(x-1)=f(3-x),所以直线x=1是f(x)图象的对称轴,故A正确;因为f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称, 又因为f(x)图象的对称轴为x=1,所以f(x)的周期T=4,故B错误;直线x=1是f(x)图象的对称轴,且函数f(x)在[1,2]上单调递减,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,又f(x)的周期T=4,所以函数f(x)在[4,5]上单调递增,故C正确;因为f(x)的周期T=4,f(4)=f(0)=0,则f(5)>f(4)=0,故D错误. 10.解析:由于x∈R,恒有y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,又y=f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象,y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(1-x)的图象,故函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于x=1对称. 答案:x=1 11.解析:由题意可得直线y=k(x-1)+4恒过点(1,4),且直线与函数f(x)的图象有两个交点.又函数f(x)=x++3=x-1++4图象的对称中心为(1,4),因此两个交点关于(1,4)对称,所以x1+x2=2,y1+y2=8,所以x1+x2+y1+y2=10. 答案:10 12.解:(1)f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下: 由|x-2|>0,得x≠2,所以f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4,f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4, 所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)设y1=log2|x-2|,y2=x2-4x,当x>2时,y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增,y2=x2-4x也单调递增,故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2). 13.解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)-2b=0, 即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,整理得(a-b)x2=(a-b)·(a+1)2-6(a+1),于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a=b=-1,所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1). (2)任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1-x2<0且1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)=x-在(-1,+∞)上单调递增. 所以f(x)在[1,5]上单调递增,故f(x)的值域为[-2,4]. (3)由于对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,于是问题转化为g(x)在[0,2]上的值域是f(x)+m在[1,5]上值域的子集,由g(x)在[0,1]上单调递增,图象又关于点(1,1)对称且经过点(1,1),可知g(x)在(1,2]上也单调递增,故g(x)在[0,2]上单调递增,又g(0)=0,g(2)=2,所以g(x)在[0,2]上的值域为[0,2]. 又f(x)+m在[1,5]上的值域为[-2+m,4+m],所以[0,2]⊆[-2+m,4+m], 所以解得-2≤m≤2,则m的取值范围是[-2,2]. 14.选ACD　由f(x-1)+f(x+1)=f(-2)知f(x+1)+f(x+3)=f(-2),所以f(x-1)=f(x+3),即f(x)=f(x+4)❶,所以4为f(x)的一个周期,A正确;在f(2x+6)=f(-2x)中,令x=0,则f(6)=f(0),在f(x-1)+f(x+1)=f(-2)中,令x=-1,则f(-2)+f(0)=f(-2),所以f(0)=0,从而f(6)=f(0)=0,则f(-2)=f(-2+2×4)=f(6)=0,在f(x-1)+f(x+1)=f(-2)中,令x=0,得f(-1)+f(1)=f(-2)=0,所以f(1)=-f(-1)=-1,所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=-1,B错误;由f(2x+6)=f(-2x)得f(x+6)=f(-x),则f(x)的图象关于直线x=3对称,C正确;f(x+6)=f(x+6-3×4)=f(x-6)=f(-x),则f(x)的图象关于直线x=-3对称❷,D正确.故选ACD. 15.解析:因为函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,令f(x)=0,可得x2-2x=0,可得x=0或x=2,由对称性可知,方程x2+ax+b=0的两根分别为x1=-4,x2=-6,由根与系数的关系可得可得则f(x)=x(x-2)(x2+10x+24)=x(x-2)(x+4)(x+6),f(x)=(x2+4x)(x2+4x-12), 令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4,h(t)=t(t-12)=t2-12t=(t-6)2-36, 所以h(t)min=h(6)=-36. 答案:-36 第13题·方法习悟 (1)抽象函数不等式问题:单调性搭桥,实现函数值与自变量的转化. (2)恒成立问题:最值法是核心,先求函数最值,再转化为参数不等式. (3)多变量恒成立:主元法,确定主元构造函数,分析端点最值. 第14题·习得知能 ①处,求抽象函数的周期牢牢抓住f(x)=f(x+T)即可,这是解题时要转化的目标,如此项在对已知式中的自变量进行替换变形时,需抓住“等式两边自变量相差4”这一点; ②处,判断f(x)图象是否关于直线x=a对称,即判断等式f(x)=f(2a-x)是否成立,判断f(x)图象是否关于点(a,b)对称,即判断等式f(x)=2b-f(2a-x)是否成立.解题时要盯准这两个式子,如此项需盯住f(x+6)=f(-x)这个式子,结合周期,对f(x+6)中的自变量反复替换即可. 13.(15分)给定函数f(x)=x-. (1)求函数f(x)图象的对称中心;(4分) (2)用定义证明f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并求f(x)在[1,5]上的值域;(5分) (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2.若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2)+m,求实数m的取值范围.(6分) |能力进阶|备选题| 14.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+6)=f(-2x),且f(x-1)+f(x+1)=f(-2),f(-1)=1,则 (　　) A.4为f(x)的一个周期 B.f(2 025)=1 C.f(x)的图象关于直线x=3对称 D.f(x)的图象关于直线x=-3对称 15.若函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则f(x)的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $