课时作业评价(5) 基本不等式的综合应用(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过15道题构建“概念-变形-应用”逻辑链，提炼常数代换、条件转化等6类技法，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接应用|3题（1,3,7）|“积定和最小”“和定积最大”|从基本不等式定义到简单最值计算| |条件转化|4题（2,5,8,9）|常数代换、等式转不等式|结合方程与不等式性质拓展应用| |实际建模|2题（6,13）|物理/经济问题抽象建模|数学眼光观察现实世界的数量关系| |综合应用|6题（4,10,11,12,14,15）|几何与函数综合、参数范围分析|跨知识模块融合，提升运算能力与应用意识|

课时作业评价(五)　基本不等式的综合应用 (标号的为重点讲评题目,选择题请在答题区内作答) 一、单选题 1.(2025·长沙三模)已知点(m,n)是函数y=x-1在第一象限内的图象上的一点,则+的最小值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知正实数x,y满足x+y-xy=0,且不等式x+y-a>0恒成立,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,2) B.(-∞,8) C.(-∞,6) D.(-∞,4) 3.(2025·菏泽二模)已知a>1,b>1,且ab=4,则log2alog2b的最大值为 (　　) A. B.1 C.4 D.16 4.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12,c=4,则此三角形面积最大时,A等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.已知a>0,b>0,+=1,若不等式2a+b≥m恒成立,则m的最大值为 (　　) A.2+ B.3+ C.3+2 D.5 6.(2026·南宁一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100 g的砝码放在天平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些中药放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量 (　　) A.等于200 g B.大于200 g C.小于200 g D.以上都有可能 7.已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则+(0<x<a)的最小值为 (　　) A.9 B. C.4 D.6 8.若两个正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+<m2-m有解,则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|-1<m<2} B.{m|m<-1,或m>2} C.{m|-2<m<1} D.{m|m<-2,或m>1} 二、多选题 9.已知a,b均为正数且a2-b2=a+b,则下列不等式正确的有 (　　) A.ln(a-b)>0 B.a2+b2>1 C.2a+2b>4 D.2ln a-ln b≥ln 4 三、填空题 10.若实数a,b满足2a-1=4b,则a-b的最小值为　　　　.  11.(2026·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,AB上的点,当△AEF的周长为4时,△AEF面积的最大值为　　　　　.  四、解答题 12.(10分)已知正数x,y满足x+2y=1. (1)当x,y取何值时,xy有最大值?(4分) (2)若+≥3a恒成立,求实数a的取值范围.(6分) 13.(13分)某医院为改善医疗技术,2026年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元,使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2+8x)万元,2026年为第一年. (1)写出该套医疗设备的利润函数f(x)的表达式,并求f(x)的最大值;(5分) (2)第几年后,该套医疗设备的年平均利润最大?(8分) |能力进阶|备选题| 14.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为 (　　) A.0 B. C.2 D. 15.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0,+∞),其中a>b,则的最小值为　 　　.   答案 课时作业(五)　基本不等式的综合应用 1.选A　由题意可知,m>0,n>0且有n=m-1=,所以+=+4m≥2=4,当且仅当即m=时,等号成立,故+的最小值为4. 2.选B　因为正实数x,y满足x+y-xy=0,所以+=, 则x+y=2(x+y)=2≥8,当且仅当x=y=4时取等号.因为不等式x+y-a>0恒成立,所以a<(x+y)min,所以a<8.故选B. 3.选B　因为a>1,b>1,所以log2a>0,log2b>0,log2alog2b≤==1,当且仅当log2a=log2b=1,即a=b=2时取等号,故选B. 第2题·快捷技法 由x+y-xy=0,得x+y=xy≤(x+y)2,所以x+y≥8,当且仅当x=y=4时取等号,因为x+y-a>0恒成立,所以a<8. 4.选C　由题可知a+b=8,c=4,p=6,则S==≤×=4,当且仅当a=b=4时取等号,所以此时三角形为等边三角形,故A=60°. 5.选C　由不等式2a+b≥m恒成立可知,只需m小于等于2a+b的最小值.由a>0,b>0,+=1,可得2a+b=(2a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=1+,b=+1时取等号,所以m≤3+2,所以m的最大值为3+2. 6.选B　设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,左盘放的药品为x1 g,右盘放的药品为x2 g,则解得x1=,x2=,x=x1+x2=+≥2=200,当且仅当m=n时,取到等号,而m≠n,所以x>200. 7.选B　因为随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),所以=1,解得a=2. 所以+=+=+[x+(2-x)]=1+4++≥5+2=,当且仅当x=时,等号成立,所以+(0<x<a)的最小值为.故选B. 第7题·细节提醒 正态曲线关于直线x=1对称. 8.选B　由两个正实数x,y满足4x+y=2xy,得+=2,则x+=·=≥2+2=2,当且仅当=,即y=4x=4时取等号.又由不等式x+<m2-m有解,可得m2-m>2,解得m<-1或m>2,所以实数m的取值范围为{m|m<-1,或m>2}.故选B. 9.选BD　由a2-b2=(a+b)(a-b)=a+b,a,b均为正数,得a-b=1,ln(a-b)=0,故A错误;由上知b>0,a>1,所以b2>0,a2>1,所以a2+b2>1,故B正确;2a>2,2b>1,所以2a+2b>3,故C错误;2ln a-ln b=ln=ln=ln≥ln=ln 4,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,故D正确.故选BD. 第9题·快捷技法 先根据原式化简得a-b=1,则A、B、C选项可直接判断.因为是多选,故D可以直接判断正确. 10.解析:因为2a-1=4b,则2a=4b+1,由2a-b===2b+≥2,当且仅当a=1,b=0时等号成立,即当a=1,b=0时,2a-b取得最小值2,又因为y=2x是增函数,故此时a-b取得最小值,为1. 答案:1 11.解析: 设AE=x,AF=y(0≤x≤2,0≤y≤2),则EF=,因为△AEF的周长为4,所以x+y+=4.因为x+y+=4≥2+,当且仅当x=y时取等号,故≤=4-2,则xy≤24-16,则△AEF的面积满足xy≤12-8.故△AEF面积的最大值为12-8. 答案:12-8 第11题·解题关键 设AE=x,AF=y(0≤x≤2,0≤y≤2),根据已知有x+y+=4,再应用基本不等式求xy的最大值,即可求△AEF面积的最大值. 12.解:(1)因为正数x,y满足x+2y=1,由基本不等式得x+2y=1≥2,解得xy≤,当且仅当x=2y,即x=,y=时,等号成立,故xy的最大值为. (2)要想+≥3a恒成立,只需≥3a,又正数x,y满足x+2y=1,所以+=(x+2y)=1+4++≥5+2=9,当且仅当=,即x=y=时,等号成立,故9≥3a,解得a≤2,所以实数a的取值范围是(-∞,2]. 13.解:(1)f(x)=40x-(2x2+8x+72)=-2x2+32x-72,x∈N*,因为f(x)=-2(x-8)2+56,所以当x=8时,f(x)取得最大值56. (2)年平均利润为y==-2x+32-=-2+32≤-2×2+32=8,当且仅当x=,即x=6时取等号,故第6年后年平均利润最大. 14.选C　∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,又x,y,z为正实数,∴==+-3≥2-3=1,当且仅当=,即x=2y时等号成立,此时x+2y-z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+2,∴当且仅当y=1,x=2,z=2时,x+2y-z取得最大值,最大值为2. 15.解析:函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0,+∞),令ax2+2x+b=0,则有 即ab=1,且a>0,所以==(a-b)+,又a>b,所以a-b>0,则(a-b)+≥2=2,当且仅当a-b=,即a=,b=时等号成立,所以的最小值为2. 答案:2 学科网（北京）股份有限公司 $