课时作业评价(4) 基本不等式(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以题载法构建“概念-技巧-应用”逻辑链，通过易错提醒与模型总结强化数学思维，聚焦基本不等式的运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|“一正二定三相等”条件判断、直接求最值|从基本不等式概念到简单最值求解，强调正数条件与等号成立条件| |条件变换|6-7、11-13题|常数代换法、公式变形（如2a+3b=1转化）|结合方程条件，推导“和定积最大”“积定和最小”的应用拓展| |易错辨析|8-9题|等号一致性判断、否定例证法|通过错误案例辨析不等式成立条件，培养批判性思维| |综合拓展|10、14-15题|代数恒等变换（如x²+y²-xy=1配方）、变量代换|融合函数、方程知识，构建复杂条件下的不等式应用模型|

课时作业评价(四)　基本不等式 (标号的为重点讲评题目,选择、填空题请在答题区内作答) 一、单选题 1.已知正数a,b满足+b=2,则的最大值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若a>1,b>1,且a≠b,则a2+b2,2ab,a+b,2中的最大值是 (　　) A.a2+b2 B.2ab C.a+b D.2 3.已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 4.(2026·绵阳模拟)若a>0,b>0,且a+4b=5,则+的最小值是 (　　) A.16 B.25 C.4 D.5 5.若x<0,则的最大值是 (　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 6.(2026·武汉模拟)已知实数a,b满足=6,则ab的最大值为 (　　) A. B. C. D. 7.(2026·天津和平一模)设a>0,b>0,则“a+b≤1”是“+≥8”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 8.已知a>0,b>0,则下列不等式错误的是 (　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 9.下列结论正确的是 (　　) A.若x<0,则x+≤-2 B.若x∈R,则≥2 C.若x∈R且x≠0,则≥2 D.若a>1,则(1+a)≥6 10.(2022·新课标Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 三、填空题 11.(2026·眉山模拟)已知a,b∈R+,4a+b=1,则的最小值是　　　　.  12.已知0<x<,则x的最大值为　　 　.  13.已知x>0,y>0,且x2+3xy-2=0,则2x+y的最小值是　　　　　.  |能力进阶|备选题| 14.已知x>0,y>0,且xy-x+2y=10,则x+2y的最小值是 (　　) A.4 B.5 C.8 D.9 15.(2026·青岛模拟)[多选]若实数a>0,b>0,且ab=a+b+8,则下列结论正确的是 (　　) A.a+b≤8 B.ab≥16 C.a+3b≥4+6 D.+≥ 答案 课时作业(四)　基本不等式 1.选A　因为2=+b≥2,所以 ≤1,所以≤1.当且仅当a=b=1时,取得最大值1. 第14题·易错提醒 对于C,常见的错误解法如下:由A知0≤a≤4,所以0≤3a≤12,由B知-1≤b≤3,所以-6≤-2b≤2,从而-6≤3a-2b≤14.该方法扩大了不等式范围,原因是忽略了a和b的关系,事实上a和b有相互制约的关系,两者不可能在各自的范围内随意取值,比如取a=4,b=-1,满足0≤a≤4,-1≤b≤3,但不满足条件-1≤a-b≤3. 2.选A　因为a>1,b>1,所以a2+b2>a+b,根据基本不等式可知a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.因为a≠b,所以a2+b2>2ab,同理,a+b>2.所以四个式子中的最大值为a2+b2. 3.选C　++2≥2+2≥4=4,当且仅当=且 =,即a=b=1时取等号. 第3题·易错提醒 连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性. 4.选D　因为a>0,b>0,且a+4b=5,所以+=+(a+4b)=1+++16≥=5,当且仅当即a=b=1时等号成立,所以+的最小值是5. 5.选B　因为x<0,所以1-x>0,==(x-1)++2=-+2≤-2+2=-2,当且仅当1-x=,即x=-1时,等号成立. 第5题·细节提醒 一正,二定,三相等缺一不可. 6.选B　因为=6,所以2a+3b=1,因为ab=×2a×3b≤=,当且仅当2a=3b=,即a=,b=时,等号成立,故ab的最大值为. 7.选B　a>0,b>0,若a+b≤1,则+≥+=2++++≥2+2+2=8,当且仅当a=b=时等号同时成立,充分性满足;若+≥8,a+b≤1不一定成立,例如a=1,b=时,+≥8,但a+b>1,必要性不满足. 8.选ABD　对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;对于B和D,取a=,b=,此时+=2+4=6<=8=,+=2+4=6>=4=,故B和D错误;对于C,a>0,b>0,由基本不等式可得a+b≥2>,故C正确. 9.选ABC　对于A,若x<0,则x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-(x<0),即x=-1时,等号成立,A正确; 对于B,==+≥2=2,当且仅当=,即x=0时,等号成立,B正确; 对于C,若x∈R且x≠0,则===|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时,等号成立,C正确; 对于D,若a>1,取a=,则(1+a)·=×=<6,D错误. 谨记结论 常见的基本不等式模型 (1)若x≠0,则≥2,当且仅当x=±1时,等号成立. (2)若ab≠0,则≥2,当且仅当a=±b时,等号成立. (3)若ab>0,x≠0,则 ≥2,当且仅当x=± 时,等号成立. (4)若a>0,b>0,则≤≤≤ ,当且仅当a=b时,等号成立. (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 10.选BC　对于A、B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤32,当且仅当x=y时取等号,解得-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y=±1时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确;注意x2+y2=1+xy,如果x,y异号就会有x2+y2≥1不成立,令x=-y,易发现存在x=-y=±,使x2+y2=<1,D不正确. 第10题 (1)细节提醒 注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy,所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy. (2)快捷技法 此题作为选择题,还可用特殊值排除法,如取x=1,y=1,排除A,取x=,y=-,排除D,由于是多选题,故选BC. 11.解析:因为a,b∈R+,4a+b=1,故=+=(4a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,结合4a+b=1,即a=,b=时,等号成立,所以的最小值是9.　 答案:9 12.解析:因为0<x<,所以1-2x2>0,所以x=·≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.　 答案: 13.解析:因为x>0,y>0,x2+3xy-2=0,所以y=-,则2x+y=2x+-=+≥2=,当且仅当=,即x=时,取等号. 答案: 14.快审准解:由已知可得x=,1<y<5,可得x+2y=+2(y-1),结合基本不等式可求解. 选C　由xy-x+2y=10,可得x(y-1)=10-2y,y=1时该等式不成立,所以x=,又因为x>0,所以>0,所以(10-2y)(y-1)>0,即(y-5)(y-1)<0,所以1<y<5,所以x+2y=+2y=+2y=+2(y-1)≥2=8,当且仅当=2(y-1),即y=3时取等号,所以x+2y的最小值为8. 15.选BCD　对于A,由a+b+8=ab≤,当且仅当a=b时等号成立,不妨设a+b=t,则t2-4t-32≥0,解得t≥8或t≤-4.因为a>0,b>0,则a+b≥8,故A错误;对于B,由ab-8=a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,不妨设=s,则s2-2s-8≥0,解得s≥4或s≤-2.因为s>0,则s≥4,即ab≥16,故B正确;对于C,由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8,则b-1>0,且a=,则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2=4+6,当且仅当=3(b-1),即b=+1,a=3+1时取等号,a+3b有最小值4+6,故C正确;对于D,由ab=a+b+8可得ab-a-b+1=9,即(a-1)(b-1)=9,且a-1>0,b-1>0,则+≥2=,当且仅当=时等号成立,由解得即当且仅当a=,b=7时,+有最小值,故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $