第5章 第4节 复 数(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，覆盖复数的定义与分类、四则运算、几何意义等高考核心考点，依据高考评价体系梳理实部虚部、共轭复数、模等关键概念，通过2025年全国Ⅱ卷、乐山三模等真题分析，明确运算类占比45%、几何意义类占30%的高频考点分布，归纳概念辨析、运算化简、轨迹问题等常考题型。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+素养提升”的备考设计，如用i的周期性破解2025荆州三模复数幂运算题，通过模的几何意义转化2026衡水模拟距离最值问题，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设易错点警示（如纯虚数实部为0且虚部非0）和解题模板，助力学生掌握运算技巧与数形结合方法，教师可据此开展针对性教学，提升复习效率。

第四节 复　数 明确目标 1.通过方程的解，认识复数.理解复数的代数表示及其几何意义. 2.掌握复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念. 3.结合复数的运算法则，会做复数的加、减、乘、除运算. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.复数的定义及分类 (1)复数的定义 形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是___，虚部是____. (2)复数的分类 复数z=a+bi (a，b∈R) a b 实数 纯虚数 2.复数的有关概念 复数相等 a+bi=c+di⇔______________ (a，b，c，d∈R) 共轭复数 a+bi与c+di共轭⇔_______________ (a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=(a，b∈R) a=c且b=d a=c且b=-d 3.复数的几何意义 复平面 的概念 建立____________来表示复数的平面叫做复平面 实轴、 虚轴 在复平面内，x轴叫做_____，y轴叫做______，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示________ 复数的 几何表示 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量______ 直角坐标系 实轴 虚轴 纯虚数 4.复数的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________. (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=______________. (3)z1z2=(a+bi)(c+di)=________________. (4)===(c+di≠0). (a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i +i 5.复数加、减法的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即==. + - Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 1.向量模的意义(源于人A必修②P72例3拓展) (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 2.in的周期性(源于人A必修②P95T8习得结论) i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 3.模的性质(源于人A必修②P95T3归纳拓展) z =|z|2=||2，|z1z2|=|z1||z2|，=，|zn|=|z|n. √ Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修②P94T1(2))复数的共轭复数是(　　) A.i+2 B.i-2 C.-2-i D.2-i 2.(人B必修④P31T2改编)若z=3+4i，则|z|= (　　) A. B.5 C.7 D.25 √ 3.(苏教必修②P147T7)在复平面内，复数z=-1+2i对应的点所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 4.(人A必修②P80T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i，则向量对应的复数是(　　) A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i √ 5.激活方法(用“in的周期性”解题) 设复数z=，则z等于(　　) A.1 B.-1 C.i D.-i √ 解析：∵===i，∴z=i2 025=i4×506+1=i. 02 题点一　复数的概念(自主练通) √ 1.(2025·乐山三模)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a-2i和1+bi互为共轭复数，则复数z=a+(b-1)i的模为 (　　) A.2 B. C.10 D. 解析：由a-2i和1+bi互为共轭复数，可得a=1，b=2， 所以z=a+(b-1)i=1+i，因此，|z|==. √ 2.若复数z=m2-1+(m-1)i(其中i为虚数单位)为纯虚数，则实数m的值为 (　　) A.-1 B.1 C.±1 D.0 解析：若复数z=m2-1+(m-1)i(i是虚数单位)是纯虚数，则解得m=-1. 3.已知a，b∈R，=b-3i，则a+b=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：因为=b-3i，所以a+i=i(b-3i)=3+bi，则 故a+b=4. 4.已知复数z满足z(2+2i)=3+3，则z的虚部为(　　) A.-6 B.-3 C.6 D.15 √ 快审准解：设出复数z的代数形式，利用复数乘法及复数相等求解即得. 解析：设复数z=a+bi(a，b∈R)，由z(2+2i)=3+3， 得(a+bi)(2+2i)=3a+3-3bi，化简得2a-2b+(2a+2b)i=3a+3-3bi， 则解得a=-15，b=6，于是z=-15+6i， 所以z的虚部为6.故选C. 5.已知z是虚数，z2+2z是实数，则z的 (　　) A.实部为1 B.实部为-1 C.虚部为1 D.虚部为-1 √ 解析：设虚数z=a+bi(a，b∈R，b≠0)， 则z2+2z=(a+bi)2+2(a+bi)=a2-b2+2a+2b(a+1)i，由z2+2z是实数， 得2b(a+1)=0，得a=-1，故选B. 思维建模 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (3)两个虚数不能比较大小. (4)利用复数a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. 题点二　复数的四则运算(自主练通) √ 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知z=1+i，则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 解析：===-i. √ 2.复数z满足(1+i)z=-i，则=(　　) A.--i B.-+i C.-i D.+i 解析：由题意z===，所以=-+i. 3.若复数z满足=3+i，则z=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析：由=3+i，得z====1+i，故选A. √ 4.若复数z满足z-2=1+3i，则z·i2 025=(　　) A.1-i B.-1+i C.-1-i D.1+i √ 解析：设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi，又z-2=1+3i，故解得 故z=-1+i，z·i2 025=(-1+i)·(i2)1 012·i=(-1+i)·i=-1-i. 5.设z=2-i(其中i为虚数单位)，则=(　　) A. B. C. D. √ 解析：易知== ==+i，则==. 思维建模 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化. √ 题点三　复数的几何意义(自主练通) 1.(2025·安阳二模)若复数(2+i)(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a= (　　) A.-2 B.- C. D.2 解析：因为(2+i)(a+i)=2a-1+(a+2)i在复平面内对应的点位于y轴上，所以2a-1=0⇒a=，此时a+2=满足题设. √ 2.(2026·衡水模拟)已知复数z满足|z-2i|=1，则|z|的最大值为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：设z=a+bi(a，b∈R)，则|z-2i|=|a+bi-2i|=|a+(b-2)i|=1，可得=1，即a2+(b-2)2=1，复数z在复平面内对应点在以(0，2)为圆心，以1为半径的圆上.由|z|=可知圆上的点到原点最长距离，是当a=0，b=3时的距离，此时|z|=3. 3.(2025·荆州三模)[多选]已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)，则下列命题正确的是 (　　) A.若z为纯虚数，则m=±1 B.若z为实数，则z=0 C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=-1 D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限 √ √ 解析：复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)的实部为m2-1，虚部为m+1，复数z在复平面内对应点的坐标为(m2-1，m+1)，若z为纯虚数，则解得m=1，故A错误；若z为实数，则m+1=0，解得m= -1，则z=0，故B正确；若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m+1=2(m2-1)，解得m=-1或m=，故C错误；令则不等式组无解，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 4.(2025·长沙三模)已知复数z满足|z|=1，则|z-2i|的取值范围为 (　　) A.[0，2] B.[1，3] C.[2，4] D.[1，9] √ 解析：因为|z|=1表示z对应的点是单位圆上的点， |z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0，2) 之间的距离，|z-2i|的取值范围转化为点(0，2) 到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径 可得最小值，所以最大距离为2+1=3，最小距离为2-1=1， 所以|z-2i|的取值范围为[1，3]. 5.设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|=2，z2=3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 √ 解析：法一　设z1=a+bi(a，b∈R)，因为|z1|=2，所以a2+b2=4.因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2=3i，所以Z1(a，b)，Z2(0，3)，连接Z1Z2(图略)，则|Z1Z2|= =，易知b∈[-2，2]，故当b=-2时，|Z1Z2|取得最大值， 为=5，故选C. 法二　因为|z1|=2，所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点O为圆心，半径r=2的圆.因为z2=3i，所以复数z2在复平面内对应点Z2(0，3).因为|OZ2|=3，所以|Z1Z2|max=|OZ2|+r=3+2=5，故选C. 思维建模 (1)复数z=a+bi(a，b∈R) Z(a，b) =(a，b). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i，则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 16 解析：由题意得，z=i(-1-i)=1-i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.(2025·大兴三模)若复数z=(a-i)(1+2i)为纯虚数，则实数a= (　　) A.-2 B.2 C.- D. 16 解析：复数z=(a-i)(1+2i)=a+2+(2a-1)i为纯虚数， 则解得a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.(2025·沈阳二模)复数z=的虚部是(　　) A.-1 B.-i C. D.i 16 解析：z====+i，虚部为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.(2025·邢台三模)若a+i=b+2-ai(a，b∈R)，则a+b= (　　) A.2 B.4 C.-4 D.-2 16 解析：由题意，得解得所以a+b=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.(2025·聊城二模)复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z对应的点在复平面的(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16 解析：因为=i，所以z=i(3+i)=-1+3i.则其对应点的坐标为(-1，3)，位于第二象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2025·枣庄二模)设z=1+i2 025，则z+z=(　　) A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 16 解析：由题意得z=1+i，则=1-i，所以z+z=(1+i)(1-i)+1+i= 2+1+i=3+i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.(2025·潍坊二模)已知-1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个复数根，则m+n=(　　) A.-5 B.-1 C.1 D.5 16 解析：因为-1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个复数根，所以-1-i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的另一个复数根，由根与系数的关系得-m=-1+i+(-1-i)，解得m=2，n=(-1+i) (-1-i)=1-2i2=3，则m+n=5，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.(2025·临沂三模)若复数z满足|z|=|z-1-i|，则|z|的最小值为 (　　) A. B.1 C. D. 16 解析：设复数z=a+bi(a，b∈R)，∵|z|=|z-1-i|，∴=，整理得a+b=1，即b=1-a，∴|z|====≥，当b=a=时取等号，即|z|的最小值为，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.(2026·济宁模拟)已知复数z1=1+2i，z2=-2+i，则(　　) A.|z1|=|z2| B.复数z1z2在复平面内对应的点位于第三象限 C.z1=iz2 D.z1的虚部与z2的虚部之和为3 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由题意，得|z1|==，|z2|==，所以|z1|=|z2|，故A正确；因为z1z2=(1+2i)(-2+i)=-4-3i，其对应点(-4， -3)位于第三象限，故B正确；因为iz2=i(-2+i)=-1-2i，故C错误；z1的虚部为2，z2的虚部为1，虚部和为3，故D正确.故选ABD. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ √ 10.设z1，z2为复数，则下列结论正确的是 (　　) A.z1=|z1|2 B.=|z2|2 C.若=0，则z1=0 D.=()2 16 解析：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1=(a+bi)(a-bi) =a2+b2，|z1|2=a2+b2，A正确；=(c+di)2=c2-d2+2cdi，而|z2|2=c2+d2，B错误；由=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=0，可得a2-b2=2ab=0，解得a=b=0，即z1=0，故C正确；===a2-b2-2abi，()2=(a-bi)2=a2-b2-2abi，所以=()2，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.下列说法正确的是 (　　) A.若z=-2+i，则z在复平面内对应的点位于第二象限 B.若z满足z·i=-1+2i，则的虚部为1 C.若z是方程x2+3=0的根，则z=±i D.若z满足|z-1+2i|=2，则|z|的最大值为+ 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，z=-2+i在复平面内对应的点为(-2，1)，位于第二象限，故A正确；对于B，因为z·i=-1+2i，所以z===2+i，则=2-i，所以的虚部为-1，故B错误；对于C，方程x2+3=0的根为±i，故C正确；对于D，设z=x+yi(x，y∈R)，若z满足|z-1+2i|=2，即|(x-1)+(y+2)i|=2，所以=2，即(x-1)2+(y+2)2=4，则点(x，y)在以(1，-2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为=，所以|z|的最大值为+2，故D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 12.(2025·天津三模)已知复数z满足z(1+2i)=|3-4i|(其中i为虚数单位)，则复数z为___________.  16 解析：因为复数z满足z(1+2i)=|3-4i|，所以z===1-2i. 1-2i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.已知i2 025=a-bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a+b的值为________.  16 解析：因为i2 025=i4×506+1=i，由复数相等的充要条件得a=0，b=-1，所以a+b=-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 14.已知i为虚数单位，则集合A={x|x=i+i2+i3+…+in，n∈N*}中元素的个数为__________.  16 解析：当n=4k，k∈N*时，x=i+i2+i3+…+in=0；当n=4k+1，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i；当n=4k+2，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i+i2=i-1；当n=4k+3，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i+i2+i3=-1，所以集合A中元素的个数为4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 15.(2025·泰安三模)[多选]定义复数运算：z1􀱇z2=+z1z2，已知z=1+2i，若复数ω满足z􀱇ω=10，则(　　) A.ω可以是3+i B.|ω|的最小值为 C.ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D.zω的实部是5 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设ω=a+bi(a，b∈R)，代入z􀱇ω=10，即(1-2i)(a-bi)+(1+2i)(a+bi)=10，解得a-2b=5.对于A，3-2=1不满足a-2b=5，故A错误；对于B，|ω|===×，故|ω|的最小值为，故B正确；对于C，因为a-2b=5⇒b=，所以ω在复平面内对应的点坐标为，若>0，则a>5，所以该点不可能位于第二象限，故C正确；对于D，zω=(a+bi)(1+2i)=a-2b+ (2a+b)i，其实部为a-2b，因为a-2b=5，即其实部为5，故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 16.(2026·泰州模拟)若复数z1，z2满足|z1-3i|=2，|z2-4|=1，则|z1-z2|的最大值是__________.  16 解析：设z1=a+bi，z2=x+yi(a，b，x，y∈R)，在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，因为|z1-3i|=2，|z2-4|=1，所以a2+(b-3)2=4，(x-4)2+y2=1，所以点Z1(a，b)的轨迹是以(0，3)为圆心，2为半径的圆，点Z2(x，y)的轨迹是以(4，0)为圆心，1为半径的圆.又|z1-z2|表示点Z1(a，b)与Z2(x，y)的距离，所以|z1-z2|的最大值是+3=8. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 习得知能：复数z的方程在复平面内表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所成的圆环. ②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 16 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $