第5章 第3节 平面向量的数量积(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积”专题，依据高考评价体系梳理了定义、性质、运算律及模、夹角、垂直关系等核心考点，通过近五年全国卷及地方模拟题分析，明确数量积计算（占比35%）、模与夹角（占比30%）、最值问题（占比25%）等高频考查方向，归纳坐标法、基底法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+思维建模+分层突破”策略，如2023年全国乙卷正方形数量积题用坐标法与极化恒等式解析，培养数学思维与数学语言表达能力。设易错点警示（如投影向量方向判断）和三角形“四心”培优专题，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准定位学情，提升复习效率。

第三节 平面向量的数量积 明确目标 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.平面向量数量积的有关概念 向量的 夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则_______=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角 数量积 的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作_____，即a·b=____________ 规定 零向量与任一向量的数量积为____，即0·a=____ ∠AOB |a||b|cos θ |a||b|cos θ a·b 0 0 2.向量的投影 定义 如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b， 作如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1， 得到，则称上述变换为_________________， 叫做向量a在向量b上的____________ 计算 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是___________ 向量a向向量b投影 投影向量 |a|cos θ e 3.平面向量数量积的性质 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|=_______ |a|=_____________ 夹角 cos θ=________ cos θ=________________ 续表 a⊥b的充要条件 ___________ _____________ |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤_______ (当且仅当a∥ b时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ __________________ a·e与 e·a的关系 a·e=e·a= __________ — a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a||b| |a|cos θ 4.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=_________ 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c b·a Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 极化恒等式(源于人A必修②P39例2拓展) 在平面向量中，(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. √ Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(苏教必修②P24T3改编)已知|a|=5，|b|=，a·b=5，则a与b的夹角θ等于(　　) A.45° B.135° C.-45° D.30° 2.(人A必修②P34例10改编)已知△ABC三个顶点为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 √ 解析：由已知，得=(6，6)，=(-2，2)， ∴·=6×(-2)+6×2=0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形. 3.(人A必修②P21例12改编)已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=___________.  -1 4.(人B必修③P79T5改编)已知|a|=3，|b|=5，且<a，b>=45°，则a在b上的投影向量的模为___________.  解析：所求投影向量的模为|a|cos 45°=. 5.考教衔接训练(重视教材的基础本位，消除高考畏惧感) 5-1 (北师大必修②P136T3(5))设a=(3，3)，b=(1，-1)， 若(a+λb)⊥(a-λb)，则实数λ=_________.  ±3 5-2 (2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=____________.  解析：∵a-b=(1，1-2x)，a⊥(a-b)，∴由a·(a-b)=0，得x+1-2x=0，解得x=1，故|a|=. 变与不变：这两题都是从垂直的角度考查平面向量的数量积的坐标运算，其不同之处在于参数的位置不同. 02 题点一　数量积的计算 √ [例1] (1)(2025·潍坊二模)已知向量b在向量a上的投影向量为-2a，若|a|=3，则a·(a+b)=(　　) A.-9 B.-3 C.3 D.9 解析：|b|cos<a，b>·=|b|cos<a，b>·=-2a，∴|b|cos<a，b>=-6，a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|·|b|cos<a，b> =9+3×(-6)=-9. √ (2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 解析：法一　以{}为基底，可知||=||=2，·=0，则=+=+=+=-+，所以·=·=-+=-1+4=3. 法二　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得=(1，2)， =(-1，2)，所以·=-1+4=3. 法三　由题意可得，ED=EC=，CD=2. 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC===， 所以·=||||cos∠DEC=××=3. 法四　极化恒等式：设CD的中点为O，由极化恒等式可得·=-=3. 思维建模 计算平面向量数量积的方法 (1)定义法：直接使用数量积的定义求解，即a·b=|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角). (2)坐标法：若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解；若未知向量的坐标，且题中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等方便建系的图形，可尝试建立直角坐标系，利用a·b=x1x2+y1y2求解. (3)基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解. (4)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解. 即时训练 √ 1.(2025·秦皇岛三模)在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若·=，则·=(　　) A. B.- C. D.- 解析：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 设AB=2a，则A(0，0)，B(2a，0)，C(2a，2a)， D(0，2a)，P(2a，a)，Q(a，2a)， 可得=(2a，2a)，=(2a，a)， =(2a，0)，=(-a，2a). 因为·=4a2+2a2=6a2=，可得a2=，所以·=-2a2=-. 2.(2026·合肥一模)已知|b|=2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a-b在b上的投影向量为___________.  解析：因为|b|=2|a|，a与b的夹角为60°，所以a·b=|a||b|cos 60° =|a|×2|a|×=|a|2，则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2= -2|a|2，所以2a-b在b上的投影向量为×=×=-b. -b 谨记结论：求投影向量的2个公式 (1)a在b上的投影向量为|a|cos θ·. (2)a在b上的投影向量为=b. 题点二　数量积的简单应用 √ 考法(一)　平面向量的模 [例2] (1)(2026·烟台一模)在△ABC中，AB=2AC=6，∠BAC=60°，=3，则||=(　　) A. B. C. D.2 解析：在△ABC中，AB=2AC=6，∠BAC=60°，=3， 所以=+， 则||= = ==. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a-b|=，|a+b|=|2a-b|，则|b|=_____________.  解析：由|a-b|=，得a2-2a·b+b2=3，即2a·b=a2+b2-3　①.由|a+b|=|2a-b|，得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2，整理，得3a2-6a·b=0，结合①，得3a2-3(a2+b2-3)=0，整理，得b2=3， 所以|b|=. 思维建模 求解平面向量模的方法 (1)公式法： ①利用公式|a|=(a的坐标为(x，y))； ②利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2. (2)几何法：利用向量的几何意义. 考法(二)　平面向量的夹角 [例3]　已知平面向量a，b满足|a|=|b|，且a在b上的投影向量为b，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. √ 解析：法一　公式法：因为a在b上的投影向量为=b，所以=.又|a|=|b|，所以cos<a，b>==，又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=.故选C. 法二　几何法：设=a，=b，过A作AH⊥OB， 垂足为H，如图，则即a在b上的投影向量， 所以=b.又||=||，所以||=||， 所以cos∠AOH=，∠AOH=，即<a，b>=.故选C. 思维建模 求平面向量夹角的2种方法 定义法 利用cos<a，b>=求解，<a，b>∈[0，π] 坐标法 利用cos<a，b>=求解 考法(三)　平面向量的垂直 [例4]　已知平面向量|a|=|b|=1且a·b=0，两个非零向量m=xa+b，n=(3x-2)a-b，若m⊥n，则实数x的值为(　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 √ 解析：由m⊥n，且m，n均不为零向量，得m·n=0，又因为平面向量|a|=|b|=1且a·b=0，所以m·n=(xa+b)·[(3x-2)a-b]=0，所以x(3x-2)-1=0，整理得3x2-2x-1=0，解得x=1或x=-. 思维建模 平面向量垂直的解题规律 (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 ①计算出这两个向量的坐标；②根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数). 即时训练 √ 3.(2026·苏州模拟)若向量 a=(1，1)，b=(-2，x)，a与 a+b的夹角为钝角，则 x的可能取值为 (　　) A.1 B.0 C.-2 D.-1 解析：因为a+b=(-1，1+x)，又a与a+b的夹角为钝角， 所以a·(a+b)<0且a与a+b不共线.当a与a+b共线时，-1×1-1×(1+x) =0，解得x=-2，此时两向量反向共线；由a·(a+b)<0， 可得-1×1+1×(1+x)<0，解得x<0，所以x<0且x≠-2. 易错提醒：忽视两向量夹角<a，b>的取值范围，向量夹角的取值范围是[0，π]，解题时易忽略夹角为0和夹角为π的情况. √ 4.已知平面向量a，b满足(a+b)·b=2，且|a|=1，|b|=2，则|a+b|= (　　) A. B. C.1 D.2 解析：∵(a+b)·b=2，∴a·b+|b|2=2，又|b|=2，∴a·b=-2，∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×(-2)+4=1，∴|a+b|=1，故选C. 5.(2026·白城模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(-2，t)，若a⊥(a-b)，则cos<a，b>= (　　) A.- B.- C. D. 解析：因为a=(1，-1)，b=(-2，t)，所以a2=2，a·b=-2-t. 因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=a2-a·b=2-(-2-t)=0，解得t=-4， 所以b=(-2，-4)，所以cos<a，b>===，故选D. √ 题点三　平面向量数量积中的最值、范围问题 [例5]　(2026·惠州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点P在BC边上(包括端点)，则·的取值范围是____________.  解析：法一　设=λ，λ∈[0，1]， 则·=·(+)=·+λ =2×2×cos 120°+4λ=4λ-2，因为λ∈[0，1]， 所以-2≤·≤2. [-2，2] 法二　如图所示，以C为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系. 因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， 所以C(0，0)，B(-2，0)，D(1，)，A(-1，). 因为点P在BC边上(包括端点)，所以设P(t，0)， 其中t∈[-2，0]，所以=(2，0)，=(t+1，-)， 所以·=2t+2，因为t∈[-2，0]，所以·=2t+2∈[-2，2]. (关键提醒：规则图形可以通过建系降低思考的成本) 法三　因为两个非零向量a，b的数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量与b的数量积，所以如图1，当点P与点B重合时，·取得最小值，为2×2×cos 120°=-2；如图2，当点P与点C重合时，·取得最大值，为2×2×cos 60°=2. 习得知能：在一个几何图形中求两个向量数量积的取值范围，要根据图形特点选择方法，如果两个向量数量积的几何意义明显，就根据数量积的几何意义求解；如果两个向量数量积的几何意义不明显，可以先建立平面直角坐标系，将问题转化为坐标运算，再求解. 思维建模 求最值(范围)的常用方法 (1)利用基本不等式求最值(范围). (2)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (3)数形结合，应用图形的几何性质求最值(范围). 即时训练 √ 6.(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是(　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] 解析：因为||=||=，||=2， 由=-平方可得，·=0，所以<>=. 因为2+=2(-)+-=+-2，||==5， 所以|2+|2=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·， 又|(+)·|≤|+|||=5×=10， 即-10≤(+)·≤10， 所以∈，即|2+|∈. 7.在梯形ABCD中，AB∥CD，A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若线段EF在线段AB上运动，且EF=1，则·的最小值为________.  解析：如图所示，以A为原点，为x轴正方向， 为y轴正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C，D(0，2). 不妨设E(t，0)，F(t+1，0)(0≤t≤2)，则= =，所以·=· =×+4=(t-1)2+，所以当t=1时，·取得最小值. √ 题点四　平面向量的实际应用 [例6]　(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和.其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系，已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为 (　　) 级数 名称 风速(单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 解析：∵视风风速a=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)， 船速b=(3，3)-(2，0)=(1，3)， ∴真风风速n=a+b=(-3，-1)+(1，3)=(-2，2)， 真风风速大小|n|=2≈2.828， ∴该时刻的真风为轻风. 思维建模 用向量方法解决实际问题的步骤 即时训练 √ 8.[多选]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是 (　　) A.|F1|的最小值为|G| B.θ的范围为[0，π] C.当θ=时，|F1|=|G| D.当θ=时，|F1|=|G| √ √ 解析：由题意知，F1+F2+G=0，可得F1+F2=-G，两边同时平方得|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2+2|F1|2cos θ，所以|F1|2=.当θ=0时，|F1|min=|G|；当θ=时，|F1|=|G|；当θ=时，|F1|=|G|，故A、C、D正确；当θ=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误. 03 培优点：三角形“四心”的向量表示与应用 　在△ABC中，三角形“四心”指的是三角形的外心(垂直平分线交点)、重心(中线交点)、垂心(高所在直线交点)和内心(内角平分线交点).为便于说明，以下均用O表示. 四心 向量表示 外心 ①||=||=||； ②(+)·=(+)·=(+)·=0 重心 ①++=0，反之也成立； ②=(++)(P是△ABC所在平面上任意一点) 续表 四心 向量表示 垂心 ①·=·=·，反之也成立； ②若△ABC不是直角三角形，则=λ(λ>0) 内心 ①·=·=·=0，反之也成立；②=λ(λ>0) 应用体验 √ 1.已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足·= ·=·，则P为三角形的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：由·=·，所以·-· =·(-)=·=0， 则PA⊥BC，同理可证PB⊥AC，PC⊥AB，所以P为三角形的垂心. √ 2.已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足5= [(2+λ)+(2+λ)+(1-2λ)]，则点P的轨迹一定经过(　　) A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 解析：设AB的中点为D，则2=+， 又因为5=[(2+λ)+(2+λ)+(1-2λ)] =[(4+2λ)+(1-2λ)]，而(4+2λ)+(1-2λ)=5， 由三点共线的充要条件知P，C，D三点共线， 则点P的轨迹一定经过△ABC的重心. 3.若点O是△ABC的外心，AB=，则·+·=(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析：取AB的中点M，连接OM， 因为点O是△ABC的外心，所以OM⊥AB， 所以·=0. 因为·+·=(+)·=· =·(+)=·+·=·=-=-||2， 因为AB=，所以·+·=-×()2=-3. √ 4.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 √ 解析：法一　连接AP(图略)， ∵-=，∴=λ，令+=， 则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵=λ，∴共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B. 法二　二级结论法：=+λ⇒- =λ⇒=λ.故选B. 5.设G为△ABC的内心，AB=AC=5，BC=6，=m+n，则m=___________，n=______________.  解析：法一　=m+n=m+n+n=(m-n)+n， 设D为AG与BC的交点，如图所示，由角平分线的性质知==， AG=AD，故=(m-n)+n==(+)， 则有解得 　 法二　以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(0，4)，B(-3，0)，C(3，0). 又设G(0，y)，则=(-3，-4)，=(6，0)，=(3，y). 因为G是△ABC的内心，所以=k =k=， 又=(3，y)，得即 则G，所以=，从而 =m(-3，-4)+n(6，0)=(-3m+6n，-4m)，解得 课时作业评价 04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.(2025·长沙二模)已知向量a与b的夹角为60°，a=(1，0)，|b|=，若a⊥(λa+b)，则实数λ=(　　) A.2 B.1 C.- D.- 解析：因为a⊥(λa+b)，|a|=1，所以λa2+a·b=0， 所以λ+1××=0，故λ=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.(2026·台州一模)已知向量a与b的夹角为30°，|a|=2，a·b=3，则|a-b|= (　　) A.1 B. C.2 D. 解析：a·b=|a|·|b|cos 30°=3，故2|b|×=3， 解得|b|=，则|a-b|====1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.(2026·淄博一模)已知|a|=2，向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反，且|c|=，则a与b的夹角为(　　) A.B. C. D. 解析：设向量a与向量b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反，所以|a|cos θ=-|c|=-，解得cos θ=-，所以θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知a=(1，)，|b|=2，若a⊥(a-2b)，则a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：法一　直接应用向量的代数运算： 由a⊥(a-2b)，得a·(a-2b)=0，即a2-2a·b=0， 而|a|==2，故4-2×2×2cos<a，b>=0， 得cos<a，b>=，而<a，b>∈[0，π]，故<a，b>=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　数形结合，聚焦图形特征： 如图，设=a，==b，则=a-2b， 因为a与a-2b垂直，故CA⊥OA，而||=|a|=2， 故||=2||=4，故cos∠AOC=，即a，b的夹角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.(2025·大同三模)在△ABC中，AB⊥AC，AC=6，=，点E是BD的中点，则(+)·=(　　) A.-8 B.-12 C.8 D.12 解析：法一　因为AB⊥AC，=，点E是BD的中点， 所以和在上的投影向量分别为=和=， 又=-，所以(+)·=·= ×=-×36=-12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，2)，C(0，6)，B(b，0)， 所以E==(-b，2)，=(0，-4)， 所以(+)·=·(0，-4)=-12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2025·临沂三模)在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，P为边CD上一点，若AP⊥BD，则线段AP的长为 (　　) A. B. C.3 D.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设=+λ，如图，因为AP⊥BD，所以·=(+λ)·(-)=-λ+(λ-1)·=0， 即4-9λ+(λ-1)×3×2×=0，解得λ=，所以=+，||====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.(2026·广州模拟)某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向.已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短.则该船完成此段航行的实际速度为 (　　) A.2 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.2 m/s 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2， 船实际航行速度为v，则|v1|=4，|v2|=2，则v=v1+v2， 设􀎮v1，v2􀎯=θ，由船需要准确到达正北方向的B点， 得v⊥v2，则v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=4×2cos θ+22=0， 解得cos θ=-.而0≤θ≤π，于是θ=，|v|===2，所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s. 解题关键：利用船实际航行速度与水流速度垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a-b|≤|a|+|b| √ √ 解析：根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos<a，b>≤|a||b|，故C正确；D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2， 即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 9.(2026·汉中一模)已知向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则 (　　) A.a+2b=(3，1) B.|a|= C.cos<a，b>= D.a在b上的投影向量坐标是 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，a+2b=(1，2)+(2，-2)=(3，0)，错误；对于B，|a|==，正确；对于C，cos<a，b>===-，错误；对于D，a在b上的投影向量坐标是|a|cos<a，b>· =·b=-·(1，-1)=，正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 10.(2026·珠海模拟)若单位向量a与b垂直，且λa+b与a+μb共线，则 (　　) A.a+λb与μa+b平行 B.λ2a+b与a+μ2b垂直 C.λa2+μ2的最小值为2 D.|λa+μb|的最小值为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由于单位向量a与b垂直，故|a|=1且|b|=1，a·b=0.λa+b与a+μb共线，设λa+b=k(a+μb)，即λa+b=ka+kμb，故λ=k，1=kμ，解得λμ=1.对于A，因为a+λb=λμa+λb=λ(μa+b)，故A正确；对于B，(λ2a+b)·(a+μ2b)=λ2|a|2+λ2μ2(a·b)+b·a+μ2|b|2=λ2+μ2，但λμ=1，故λ2+μ2=0不成立，故B错误；对于C，由λa2+μ2=λ+μ2，取λ=-1，μ=-1，满足λμ=1，但λ+μ2=0<2，故C错误；对于D，|λa+μb|2=λ2a2+2λμ(a·b)+μ2b2=λ2+μ2≥2|λμ|=2.当且仅当λ=μ=1或λ=μ=-1时取等号，所以|λa+μb|2的最小值为2，故|λa+μb|的最小值为，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 11.已知向量a=(1，m)，b=(-3，m-2)，若a⊥b，则m=_________.  -1或3 解析：由a⊥b，得a·b=-3+m(m-2)=0，所以m=-1或m=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.(2025·合肥三模)已知向量a=(2，0)，b=(-3，λ)，若cos<a，b>=-，则λ=____________.  解析：由a=(2，0)，b=(-3，λ)，得|a|=2，|b|=且a·b=-6.因为cos<a，b>=-，所以cos<a，b>===-，解得λ=±4. ±4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(2025·天津高考)△ABC中，D为AB边中点，==a，=b，则=_________ (用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=____________.  a+b　 -15 解析：如图，因为=， 所以-=(-)，所以=+. 因为D为线段AB的中点，所以=+=a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 又因为||=5，AE⊥CB， 所以==a2+a·b+b2=25， ·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0，所以a2+3a·b=4b2，所以a2+4a·b=180，又=+=-+=-b+a， 所以·=· =a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2) =(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.[多选]已知向量a=(cos α，sin β)，b=(cos β，sin α)，c=(cos(α-β)， -1)，则下列说法正确的是(　　) A.若α+β=，则a∥b 　B.c2=1+(a·b)2 C.a·c=b·c 　D.a2+b2=2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：若α+β=，则cos αsin α-sin βcos β=(sin 2α-sin 2β)=[sin(π-2β)-sin 2β]=0，所以a∥b，故A正确；因为a·b=cos αcos β+sin αsin β =cos(α-β)，而c2=cos2(α-β)+(-1)2， 所以c2=1+(a·b)2，故B正确；取α=0，β=π， 则a=(1，0)，b=(-1，0)，c=(-1，-1)，此时a·c=-1，b·c=1，a·c≠b·c，故C错误；因为a2+b2=cos2α+sin2β+cos2β+sin2α=2， 故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=6，向量在向量上的投影向量为，若=，点E为线段BD上的动点，则·的最小值为______________.  -6 解析：如图，过点B作BF⊥AD.因为向量在向量上的投影向量为， 所以F为线段AD的中点，则AF=AD=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 在△ABF中，BF=，以F为原点，AD，FB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，又=，则BC∥AD且BC=AD=2，则A(-3，0)，B(0，)，D(3，0)，C(2，)，所以=(1，-)，=(6，0)，=(-3，).设=λ=(-3λ，λ)(0≤λ≤1)，=+=(1-3λ，λ-)，=+=(6-3λ，λ)，则·=(1-3λ)(6-3λ)+(λ-)·λ=6(2λ2-4λ+1)，当λ=1时，·有最小值-6. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $