第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据高考评价体系梳理了定理意义、正交分解、坐标运算、共线条件四大核心考点，通过教材主干知识落实与辅文价值发掘，明确基本定理应用占35%、坐标运算占40%的高频考查权重，归纳三类常考题型。 课件亮点在于“题点逐点清+即时训练+思维建模”，如例3向量共线问题用坐标法与基底法突破，培养数学思维与运算能力，设易错提醒避免共线条件误用，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第二节 平面向量基本定理及坐标表示 明确目标 1.掌握平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个___________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=___________ 基底 若e1，e2不共线，把_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 λ1e1+λ2e2 {e1，e2} 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a+b=___________________，a-b=_____________，λa=__________， |a|=__________. 互相垂直 (x1+x2，y1+y2) (x1-x2，y1-y2) (λx1，λy1) (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=_________________，||=______________________.  4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔________________. (x2-x1，y2-y1) x1y2-x2y1=0 Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 定比分点问题(源于人A必修②P32例9拓展) (1)设O为坐标原点，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，=λ，则点P的坐标为. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. √ Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|  1.(人A必修②P29例4改编)已知a=(3，6)，b=(x，y)，若a+3b=0，则b=(　　) A.(1，2) B.(-1，-2) C.(-1，2) D.(1，-2) 2.(人B必修②P154例6改编)如图，=2=a，=b，=c，则下列等式成立的是(　　) A.c=b-a B.c=a-b C.c=2a-b D.c=2b-a √ 3.(苏教必修②P40T1改编)已知向量a=(2，5)，b=(λ，4)，若a∥b，则λ=___________.  解析：因为a∥b，所以2×4-5λ=0，所以λ=. 4.(人A必修②P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为__________.  解析：设D(x，y)，则=，得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)，即解得即D(1，5). (1，5) 02 题点一　平面向量基本定理及应用 √ [例1] (1)(2026·邢台月考)如图，在平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为CD上靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则=(　　) A.-+ B.+ C.+ D.-+ 解析：因为在平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为CD上靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，所以=+=+2=+2(+)=+2=(-) +=-+=-+. √ (2)如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设=a，=b，=xa+yb，则x+y=(　　) A. B. C. D. 解析：法一　由题意知，点F是△ABC的重心，∴=+=+=+(+)=+=+=a+b，∴x=y=，x+y=，故选A. 法二　由题意知，点F是△ABC的重心，∴=，∴=+=+.∵=a，=b，D是AB的中点，∴=+=×+=a+b，∴x=y=，即x+y=，故选A. 思维建模 1.平面向量基本定理的应用技巧 (1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量. (2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来. (3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等. 2.用平面向量基本定理求参数的步骤 (1)用基底表示目标向量. (2)将所得关系式与条件中给出的关系式比较，根据同一向量用同一基底表示的唯一性列方程(组). (3)解方程(组)求得参数或构建目标函数求最值. 即时训练 √ 1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 (　　) A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，-e1+e2 C.e1+e2，e1+4e2 D.3e1-2e2，-6e1+4e2 解析：对于A，e1-e2=-(e2-e1)，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误；对于B，2e1-e2=-2，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误；对于C，不存在实数λ，使得e1+e2=λ(e1+4e2)，故C正确；对于D，-6e1+4e2=-2(3e1-2e2)，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误.故选C. 易错提醒：基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以零向量不能作为基底中的向量. √ 2.(2026·沈阳模拟)在△ABC中，D为边BC上一点，且满足=2，设=λ，λ∈(0，1)，若存在实数m，n，使=m+n，则m+n的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：由题意，得=+=+=+(-) =+.以{}为基底，=+=+λ=+λ=+ λ=(1-λ)+λ，又=m+n， 所以由平面向量基本定理可知m=1-λ，n=λ，则m+n=1-λ， 又λ∈(0，1)，所以m+n∈. 题点二　平面向量的坐标运算 √ [例2] (1)已知向量a=(0，2)，b=(-1，3)，c=(-2，5)，且c=xa+2b，则x的值为(　　) A.- B. C.-2 D.2 解析：因为c=xa+2b，所以(-2，5)=x(0，2)+2(-1，3)=(-2，2x+6)， 所以5=2x+6，解得x=-. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC= 2AB= 4，E为AD的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　) A. B. C.2 D. 解析：建立如图所示平面直角坐标系， 则D(0，0)，C(4，0)，A(0，4)，B(2，4)，E(0，2)， 所以=(-4，4)，=(-4，2)，=(2，4)， 因为=λ+μ(λ，μ∈R)，所以(-4，4)=λ(-4，2)+μ(2，4)，则解得λ=，μ=， 所以λ+μ=，故选B. √ 思维建模 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用两向量相等当且仅当它们的坐标对应相等这一原则，化归为方程(组)进行求解. 即时训练 √ 3.已知=(-6，3)，=(3，9)，若=，则=(　　) A.(5，-3) B.(6，-2) C.(-3，5) D.(-2，6) 解析：因为=，所以-=(-)，解得=+=(3，9)+(-6，3)=(1，3)+(-4，2)=(-3，5). √ 4.在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点F.若=x+3y，则x+y=(　　) A.1 B. C.- D.- 解析：如图，建立以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的平面直角坐标系，则=(2，0)，=(0，2)， x+3y=(2x，6y).根据题意， 得===(1，2)，则==. 所以2x=，6y=，解得x=，y=，x+y=+=. 习得知能：一般地，在求解向量问题时遇到矩形(或正方形或菱形或其他具有对称结构的图形)、直角三角形(即拥有天然垂直)……，那就具备了建立平面直角坐标系的基础. √ 题点三　平面向量共线的坐标表示 [例3] (1)(2026·北京期中)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+nb(m，n∈R)与a-2b共线，则=(　　) A.- B.2 C. D.-2 解析：法一　由已知条件可得ma+nb=(2m，3m)+(-n，2n)=(2m-n，3m+2n)，a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1).∵ma+nb与a-2b共线，∴=，即n-2m=12m+8n，∴=-. 法二　注意到向量a=(2，3)，b=(-1，2)不共线，因此可以将{a，b}视为基底，于是有=，即=-. (解题关键：ma+nb与a-2b共线的本质是对应的系数成比例) (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为_________.  解析：法一　=(4，0)，=(4，4)，=(2，6)，由O，P，B三点共线，可设=λ=(4λ，4λ)，则=-=(4λ-4，4λ).又=-=(-2，6)，由与共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0， 解得λ=，所以==(3，3)，所以点P的坐标为(3，3). 法二　设点P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，且与共线，所以=，即x=y.又=(x-4，y)，=(-2，6)，且与共线，所以(x-4) ×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3). (3，3) 思维建模 1.向量共线的2种表示形式 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， (1)a∥b⇒a=λb(b≠0)；(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般涉及坐标的情况应用(2). 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值. 即时训练 √ 5.已知向量m=(2，λ)，n=(2-λ，-4)，若m与n共线且同向，则实数λ的值为 (　　) A.2 B.4 C.-2 D.-2或4 解析：∵m与n共线，∴2×(-4)-λ(2-λ)=0，即λ2-2λ-8=0，解得λ=4或λ=-2，当λ=4时，m=(2，4)，n=(-2，-4)，∴m=-n，∴m与n反向，不符合题意；当λ=-2时，m=(2，-2)，n=(4，-4)，∴n=2m，∴m与n同向，符合题意. 6.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__________.   解析：∵在梯形ABCD中，CD=2AB，AB∥CD，∴=2，设点D的坐标为(x，y)，则=(4-x，2-y)，又=(1，-1)，∴(4-x，2-y) =2(1，-1)，即∴∴点D的坐标为(2，4). (2，4) 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是(　　) A.e1=(2，-1)，e2=(1，-2) B.e1=(4，-2)，e2=(-2，1) C.e1=(3，3)，e2=(-1，1) D.e1=(2，3)，e2=(-1，3) 16 解析：对于A、C、D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底；对于B，因为e1=-2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 16 解析：因为在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以=-=-(+)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.已知向量在正方形网格上的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则|+|=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 16 解析：建立平面直角坐标系可得，=(1，3)，=(2，1)，所以+=(2，1)+(1，3)=(3，4)，所以|+|==5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知向量a，b满足a+b=(1，m)，a-b=(3，1).若a∥b，则实数m等于 (　　) A.- B. C.3 D.-3 16 解析：因为a+b=(1，m)，a-b=(3，1)，所以a=，b=，若a∥b，则2×=-，所以m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.(2026·咸阳模拟)已知M为△ABC所在平面内的点，且+=2.若=m+n，则=(　　) A. B. C. D. 16 解析：因为=+，所以+=2=2(+)，所以=--，所以m=-，n=-，故=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.在扇形AOB中，∠AOB=，P是弧AB上一点，且=+x，则x=(　　) A. B. C. D. 16 解析：如图，==x， 四边形ONPM是矩形，所以∠PON=， ON=OP=OB，所以x=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AD的中点.记=m，=n，则=(　　) A.m+n B.-m+n C.-m+n D.m+n 16 解析：法一　如图，由点D为BC边的中点，得== (-)，由点E为AD的中点，得=+，所以=-+(-)=-+=-m+n.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　将△ABC特殊化，假设△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，如图，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设B(1，0)，C(0，1)，则=(1，0)，=(0，1)，根据题意，得D，E，所以==-(1，0)+(0，1) =-+=-m+n. 16 解题关键：本题可由平面向量的线性运算结合三角形法则求解；也可特殊化三角形为等腰直角三角形，借助向量坐标运算求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.(2026·日照期中)已知直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，且CD=3，AB=2，点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点，设=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：如图，以A为坐标原点，分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设AD=b，P(x，y)，则A(0，0)， B(2，0)，D(0，b)，0≤x≤3，0≤y≤b， 可得=(2，0)，=(0，b)， 因为=λ+μ(λ，μ∈R)，所以(x，y)=λ(2，0)+μ(0，b)=(2λ，bμ)， 所以λ=，μ=，λ+μ=+，当x=y=0时，λ+μ取得最小值0；当x=3，y=b时，λ+μ取得最大值，即λ+μ∈.故选A. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A.a=(-3，2)，b=(6，-4) B.a=(2，3)，b=(3，2) C.a=(1，-2)，b=(7，14) D.a=(-2，3)，b=(4，6) 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由a=(-3，2)，b=(6，-4)，得(-3)×(-4)-2×6=0，所以a∥b，所以A错误；由a=(2，3)，b=(3，2)，得2×2-3×3≠0，所以a与b不平行，所以B正确；由a=(1，-2)，b=(7，14)，得1×14-7×(-2)≠0，所以a与b不平行，所以C正确；由a=(-2，3)，b=(4，6)，得-2×6-3×4≠0，所以a与b不平行，所以D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 10.如图，=2=3，线段BD与CE交于点F，记=a，=b，则(　　) A.=a-b B.=-a+b C.=a+b D.=a+b 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由=+=a-b，故A正确，B错误；设=xa+yb， 则=+=a+yb，=+=-a+b，∵∥，∴=，同理=xa+b，=a-b，∥=， 联立解得x=，y=.∴=a+b，故C错误，D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.如图，已知A(2，1)，B(-3，4)，O为坐标原点，四边形OACB为平行四边形，下列结论正确的是 (　　) A.点C坐标为(-1，5) B.+=60 C.若=，则点E的坐标为 D.△ABC重心的坐标为 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设点C的坐标为(a，b)，=(2，1)，=(-3，4)，=(a，b)，∵四边形OACB为平行四边形，∴=+=(2，1)+(-3，4)=(-1，5)，∴点C的坐标为(-1，5)，A正确；又=(-5，3)，∴+=1+25+25+9=60，B正确；设点E(x，y)，∵=，则(x-2，y-1)=(-5，3)，∴解得∴点E，C错误；由重心公式可得，△ABC重心的坐标为，即，D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 12.已知向量a=(2，1)，b=(1，k)，若(a+2b)∥ka，则实数k=________.  16 解析：由题意，得a+2b=(4，1+2k)，ka=(2k，k).若(a+2b)∥ka，则(1+2k)·2k-4k=0，即2k2-k=0，解得k=0或k=. 0或 易错提醒：对于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a∥b⇔x1y2-x2y1=0.本题容易错误地认为a∥b⇔=，此时只能求出k=，导致丢解，这个式子在x2，y2为0时是不成立的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.已知e1与e2不共线，a=e1+2e2，b=λe1+e2，且{a，b}是一个基底，则实数λ的取值范围是______________________.  16 ∪ 解析：因为e1与e2不共线，a=e1+2e2，b=λe1+e2，若a与b共线，则a=μb，μ∈R，即a=e1+2e2=μ(λe1+e2)，所以解得因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，所以实数λ的取值范围是∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 14.已知△AOB，点P在直线AB上，且满足=2t+t(t∈R)，则=______________.  16 解析：法一　坐标法：如图，建立平面直角坐标系并标出点的坐标， 由=2t+t，代入坐标即得(n-a，-b)=2t(-n，0)+t(m-a，-b)， 所以即 所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　向量转化法：=2t(-)+t⇒(1+2t)=2t+t， 由A，P，B三点共线，得1+2t=2t+t，则t=1. 从而3=2+=2+2++， 即0=2+，所以=. 16 方法解读：法一：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 法二：由(1+2t)=2t+t，利用三点共线求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 15.已知点P在△ABC所在的平面内，且2++=0，过点P的直线与直线AB，AC分别交于M，N，设=α=β(α>0，β>0)，则α+4β的最小值为(　　) A. B. 　 C. D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设BC的中点为D，连接PD，则2=+，故2+2=0，即=，故P为AD的中点.因为P，M，N三点共线，所以存在实数s，使得=s+(1-s)，故=sα+(1-s)β. 又==(+)，不共线， 所以即+=4， 所以α+4β=(α+4β)=≥=，当且仅当α=，β=时等号成立，故α+4β的最小值为. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 16.已知A，B，C是☉O上三点，射线CO与AB的延长线(不包括点B)交于点D，若=α+β，则(　　) A.0<α+β<1 B.α+β>1 C.α+β<-1 D.-1<α+β<0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为A，B，D三点共线， 不妨设=m+n，其中m，n∈R，m+n=1， 又C，O，D三点共线，且反方向， 不妨设=t，-1<t<0，t∈R， 所以=t=t(m+n)=tm+tn，又=α+β，则α=tm，β=tn，所以α+β=tm+tn=t(m+n)=t∈(-1，0). 16 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $