第4章 第9节 解三角形的应用举例(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的应用举例”专题，依据高考评价体系明确考查要求，梳理测量距离、高度、角度三大核心题型，通过例题解析和即时训练归纳正弦定理、余弦定理的应用场景，精准对接高考高频考点。 课件亮点在于“真题模拟+思维建模+素养培养”，如以测量距离问题为例，通过构造三角形模型、运用余弦定理求解，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算的素养。特设课时作业含模拟题训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第九节 解三角形的应用举例 明确目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 题点一　测量距离问题 [例1]　如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米.现欲在M，N之间架设高压电网，需计算M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角(即∠MPN)为45°，则M，N之间的距离为________米.  50 解析：由题意得MM1=100米，NN1=50米，∠MPM1=30°，∠NPN1=45°，∠MPN=45°.在Rt△MM1P中，MP=2MM1=200米. 在Rt△NN1P中，NP=NN1=50米.在△MNP中，由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN=2002+(50)2-2×200× 50×=25 000，故MN=50 米. 思维建模 1.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1). (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2). (4)坡度：坡面与水平面夹角的度数. 2.求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 即时训练 √ 1.如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α，β，γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a，b，c.为了测出隧道DE的长度，还需直接测出 (　　) A.a和b的值 B.b和c的值 C.a和c的值 D.a，b，c三者的值 快审准解：在△PBC中，用已知条件和正弦定理表示出PB的长，再在△ABP中，用正弦定理表示出AB的长，最后可表示出DE的长，即可知道为了测出隧道DE的长度，还需直接测出哪些值. 解析：在△PBC中，∠BPC=β-γ，由正弦定理有==，所以PB=·sin γ，在△ABP中，sin∠APB=sin(π-α-β)=sin(α+β)，由正弦定理有==，所以AB=PB· =·sin γ·=c·.因为DE=AB-AD-BE =c·-a-b，所以为了测出隧道DE的长度，还需直接测出a，b，c三者的值. 2.(2026·牡丹江模拟)甲船在湖中B岛的正南方向的A处，AB=3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是____ km.  解析：如图，设行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点.由题意知AM=8×=2(km)，BN=12×=3(km)，MB=AB-AM=3-2=1(km).在△BMN中，由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB×BNcos 120°=1+9-2×1×3× =13，所以MN= km，即行驶15 min时两船间的距离为 km. 题点二　测量高度问题 √ [例2]　某校兴趣小组想要测量某塔的高度AB，在塔附近选取了相距60米的C，D(C，D与该塔的塔底B在同一水平面上)两个测量点，从C点观测该塔塔顶A的仰角为，从D点观测该塔塔顶A的仰角为，且∠CDB=，则这座塔的高度AB为(　　) A.15米 B.15米 　 C.30米 D.30米 解析：设这座塔的高度AB为h米，因为从C点观测该塔塔顶A的仰角为，从D点观测该塔塔顶A的仰角为，所以在△ABC中，∠ACB=，BC=h米；在△ABD中，∠ADB=，BD=h米.在△BCD中，∠CDB=，CD=60米，由余弦定理得cos∠CDB=，即=，整理得h2+30h-1 800=0，即(h+60)(h-30)=0，解得h=30或h=-60(舍去)，所以这座塔的高度AB为30米.故选C. 思维建模 求解高度问题的3个注意事项 (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 即时训练 √ 3.(2026·广州期中)如图，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为 (　　) A.(30+30)m B.(30+15)m C.(15+30)m D.(15+3)m 解析：法一　在△ABP中，由正弦定理可得=， 则PB==30(+)(m). 设树的高度为h，则h=PBsin 45°=(30+30)m. 法二　设树的高度为h，则AB=-=60，解得h=(30+30)m. √ 题点三　测量角度问题 [例3]　一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　) A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向 解析：如图，由题意，在△ABD中，∠DAB=60°，AB=6，∠ADB=60°，则△ABD为正三角形，则AD=6.在△ACD中， 因为AC=6，∠CAD=30°，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36， 所以CD=6， 故∠CDA=120°， 此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向. 思维建模 求解角度问题的3个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点. 即时训练 √ 4.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sin θ= (　　) A. B.3 C.-2 D.- 解析：如图所示，由题意有DE=AB=BC=60，∠DAE=∠DBE=45°，则有AE=BE=AB=60，故∠EAB=60°，则EC==60，故DC==120，则sin θ=sin∠DCE==. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 一、单选题 1.如图，海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：由题意得，A=60°，B=75°，AB=10，则C=45°，所以=，所以BC==5，即B，C间的距离为5 n mile. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 2.如图，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为 (　　) A.10 m B.10 m C.20 m D.10 m 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：因为在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，所以在Rt△POA中，∠PAO=45°，可得OA=OP=20 m，在Rt△POB中，∠PBO=30°，可得OB==20 m.在△AOB中，由题意知∠AOB=150°，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB =400+1 200-2×20×20×=2 800， 所以AB=20 m. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 3.为了测量某建筑物CD的高度，选取与该建筑物底部C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=90米，在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°，则该建筑物CD的高度为 (　　) A.15米 B.15米 C.30米 D.30米 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：因为∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以∠ACB=45°， 又AB=90，所以由正弦定理有=，即=， 解得BC=45，因为在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°， 所以CD==15. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 4.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，sin 15°=，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) A. B. C.-1 D.-1 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：因为∠CBD=45°，所以∠ACB=45°-15°=30°，在△ABC中， 由正弦定理可得=，解得BC=50(-).在△BCD中， 由正弦定理可得=，解得sin∠BDC=-1， 即sin(θ+90°)=-1，所以cos θ=-1. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4，EG=15，EH=8，GC=13，则海岛的高AB为 (　　) A.16 B.24 C.32 D.40 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：设AE=x，在△ABH中，==⇒=　①. 在△ABC中，==⇒==⇒=　②. 由①②可得⇒AB=16. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 二、多选题 6.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在其南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：在△ABD中，由已知得∠ADB=60°， ∠DAB=75°，则∠B=45°，AB=12， 由正弦定理得AD===24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°，又AC=8，解得CD=8，所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；因为AC=CD=8，所以∠CDA=∠CAD=30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；灯塔B在D的南偏东60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 √ 7.如图，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是 (　　) A.∠CAD=60° B.A，D之间的距离为15海里 C.A，B两处岛屿间的距离为15海里 D.B，D之间的距离为30海里 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：由题意可知CD=30，∠ADC=90°+15°=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°，所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°， 故A错误；∠ADB=15°+45°=60°，在△ACD中， 由正弦定理得=，得AD==15(海里)，故B正确； 在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°，∠BCD=90°，所以BD=CD=30≠30(海里)，故D错误；在△ABD中，由余弦定理得 AB===15(海里)，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 三、填空题 8.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10 n mile的C处的乙船.乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin∠ACB=_________.  解析：由题意∠CAB=120°，AC=10，AB=20，由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=700， 解得CB=10.由正弦定理得=， 即=，解得sin∠ACB=. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 四、解答题 9.(10分)为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点A，B，C恰好构成正三角形，点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A，B，C三点测量点E的仰角正切值分别为. (1)求∠BDA的正弦值；(7分) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解：取线段AC的中点为F，连接BF，DF， 设火山顶点E的高度为h，则依题意可知AD=CD=3h，BD=4h， ∵AD=CD，AB=CB，∴DF⊥AC，BF⊥AC，且BF平分∠ABC， ∴B，D，F三点共线，∴∠ABD=∠ABC=， 由正弦定理可知sin∠BAD=·sin∠ABD=·=， ∴cos∠BAD==， ∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)=sin(∠BAD+∠ABD)= sin∠BADcos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)若正三角形ABC的边长为a，求火山顶点E的高度.(3分) 解：在△ABD中，由正弦定理可知，=，∴AD=AB·=a·=(2-)a， 即3h=(2-)a，∴h=a. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 10.(10分)(2026·南阳一模)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方向20 km和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，求x的值；(6分) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解：依题意，得PA-PB=1.5×8=12(km)， PC-PB=1.5×20=30(km)，所以PB=(x-12)(km)，PC=(x+18)(km). 在△PAB中，AB=20 km， 由余弦定理，得cos∠PAB===. 同理在△PAC中，cos∠PAC=. 由于cos∠PAB=cos∠PAC，所以=，解得x=(km). 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km).(4分) 解：作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·≈17.71(km). 所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $