第4章 第8节 第2课时 解三角形中的最值、范围问题(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形中的最值、范围问题”核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，梳理出基本不等式、三角函数性质、函数单调性三大高频应用方向，通过近三年模拟真题分析考点权重，归纳面积、周长、边长等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实战+思维建模+素养落地”，如以2025宝鸡二模、2026盐城模拟真题为载体，通过“构建等式—确定关系—得结论”等步骤建模，培养数学思维与数学语言素养，助力学生掌握边角转化、三角恒等变换等技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第2课时　解三角形中的最值、范围问题 方法一　利用基本不等式求最值、范围 [例1]　(2025·宝鸡二模)在△ABC中，D为BC边的中点，AD=1. (1)若△ABC的面积为2，且∠ADC=，求sin C的值； 解：如图，设BC=a， 则sin∠ADC·AD·BC=2❶， 方法习悟：①处，△ABD与△ADC的面积之和等于△ABC的面积； ②处，解三角形问题一般不在题干上给出已知图形，需要我们自己动手画图、标注数据.从图中发现等量关系.如本题，根据图形得到大三角形的面积可转化为两个小三角形的面积和； 即××1×a=2，解得a=8.在△ADC中，DC=a=4，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=1+16-2×1×4×=21，解得AC=.由正弦定理得=，即=，解得sin C=. 解：设∠ADC=θ，则在△ADB中，AB2=BD2+1-2·BD·1·cos(π-θ) =BD2+1+2BDcos θ，在△ADC中，AC2=CD2+1-2·CD·1·cos θ= BD2+1-2BDcos θ.又AB2+AC2=10，可得BD=2，所以BC=4.由基本不等式得(AB+AC)2≤2(AB2+AC2)=20，所以AB+AC≤2，当且仅当AB=AC =❸时取等号. 此时AB+AC+BC=4+2.所以△ABC周长的最大值为4+2. 方法习悟：③处，注意基本不等式的变形使用及等号成立的条件，特别是在三角形中，注意验证三条边能否构成三角形，此时AB+AC+BC=4+2，所以△ABC的周长的最大值为4+2. (2)若AB2+AC2=10，求△ABC周长的最大值. 思维建模 基本不等式法的应用步骤 (1)构建等式：若和为定值，则根据条件构建关于积的等式；若积为定值，则构建关于和的等式.若求面积或周长的最值、范围，则往往根据已知的边、角，利用余弦定理构建等式，如cos A= (A，a已知). (2)确定不等关系： ①若求面积范围，则有cos A=≥，进而得到关于bc的不等关系式； ②若求周长范围，则有cos A==，再由bc≤，可得关于b+c的不等关系式. (3)得结论：利用基本不等式时要注意等号成立的条件，同时还需注意挖掘题目中的隐含条件，如待求式的实际意义，下结论时务必舍去不满足题意的情况. 即时训练 1.(2025·德州三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2sin B=sin A+cos Atan C. (1)求C； 解：由2sin B=sin A+cos Atan C，得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C， 即2sin Bcos C=sin(A+C)，又A+B+C=π，则sin(A+C)=sin B≠0， 于是cos C=，又0<C<π，所以C=. (2)若2(a+b)=c2，求△ABC的边c的最大值. 解：由(1)知C=，由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab， 而2(a+b)=c2，则2(a+b)=(a+b)2-3ab，因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤(a+b)2， 解得a+b≤8， 当且仅当a=b时取等号，则c=≤4， 所以△ABC的边c的最大值为4. 方法二　利用三角函数的性质求最值、范围 [例2]　(2026·盐城模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B是A与C的等差中项. (1)若=，试判断△ABC的形状； 解：∵B是A与C的等差中项，∴2B=A+C. 又A+B+C=π，∴B=.∵=，∴b2=a2+ac❶， 由余弦定理得b2=a2+c2-2ac×=a2+c2-ac，则a2+ac=a2+c2-ac， 化简得c=2a，∴b2=a2+ac=a2+2a2=3a2，即b=a，∴a2+b2=a2+3a2=4a2=c2. ∵b=a≠a，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形. 细节提醒：①处，式子中出现平方项，联想余弦定理； (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围. 解：∵B=，△ABC是锐角三角形， ∴∴<A<❷， ∴=== ==2cos Acos C=2cos Acos 细节提醒：②处，锐角三角形的每个角都必须是锐角，对本题而言，除了限制角A以外，还要求-A，即角C为锐角； =2cos A =-cos2A+sin Acos A=-+ =sin 2A-cos 2A-=sin-❸.  由<A<得<2A-<， ∴<sin≤1，∴0<sin-≤， 即0<≤，故的取值范围为. 细节提醒：③处，求出角的范围后，尽量配合图象研究三角函数的取值范围，注意保证角A的系数为正数，不易出错. 思维建模 函数模型求最值或范围的应用步骤 (1)边化角：利用正弦定理将边用对应的角表示出来. (2)消角化简：解题时往往需利用内角和定理消角，然后结合三角恒等变换公式将待求式转化为只含一个未知角的式子. (3)得结论：注意根据三角形的特征求出角的范围，再结合三角函数的性质求待求式的最值或范围. 即时训练 2.(2026·襄阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos(B-C)+acos A-2csin Bcos A=0.(1)求A. 解：由A+B+C=π可得A=π-(B+C)，所以cos A=-cos(B+C)，所以acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A❶，所以acos Bcos C+asin Bsin C-acos Bcos C+asin Bsin C=2csin Bcos A，即asin Bsin C=csin Bcos A， 由正弦定理可得sin Asin Bsin C=sin Csin Bcos A.因为sin C>0，sin B >0，所以sin A=cos A，所以tan A=.又A∈(0，π)，所以A=. 习得知能：①处，已知等式并不是边角齐次式，显然acos A是突兀的，所以为了构造边角齐次式，我们利用三角形的内角和为π，将acos A变为了-acos(B+C)； (2)若△ABC外接圆的直径为2，求2c-b的取值范围. 解：由正弦定理可得===2R=2，所以b=2sin B，c=2sin C，故2c-b=4sin C-2sin B=2(2sin C-sin B). 又A+B+C=π，所以B=-C，C∈， 所以2c-b=2=2 =6sin❷.因为C∈，所以C-∈， 所以2c-b=6sin∈(-3，6)，所以2c-b的取值范围为(-3，6). 习得知能：②处，利用辅助角公式减少函数名，化简为正弦型函数，进而利用三角函数的有界性求取值范围. 方法三　利用函数性质求最值、范围 [例3]　如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知AD是∠BAC的角平分线，且AD=. (1)求∠BAC的值； 解：设∠BAC=2θ， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴bcsin 2θ=c·ADsin θ+b·ADsin θ，∴2bccos θ=(c+b)·AD. ∵AD=，∴cos θ==.∵0<θ<，∴θ=，∴∠BAC=2θ=. (2)若a=1，求AD长的最大值. 解：由余弦定理知cos∠BAC==-，∵a=1，∴b2+c2=1-bc， 又∵b2+c2≥2bc，∴bc≤，当且仅当b=c时，等号成立. ∴AD2==，令t=bc∈，则f(t)=AD2==t+1+-2， 令m=t+1∈，则g(m)=AD2=m+-2， ∵g(m)在上单调递增，∴AD2≤+-2=， ∴ADmax=，此时m=，即t=，即b=c=. 解题关键：根据余弦定理，利用重要不等式求出bc的范围，通过换元，借助对勾函数在的单调性，即可求出AD的最大值. 思维建模 解决此类题目，一是利用正、余弦定理转化成边的函数或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 即时训练 3.记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2=2c2.若c=2，求△ABC面积的取值范围. 解：cos C==>0成立，即C为锐角，且ab=. 由A，B为锐角得cos A==>0及cos B==>0， 解得c2<2a2<3c2.又c=2，所以a2∈(2，6). △ABC的面积为S△ABC=absin C=··sin C=tan C， 因为cos2C===， 令f(x)=x(8-x)=-x2+8x，x∈(2，6)， 则二次函数f(x)开口向下，对称轴为x=4， f(x)在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，又f(2)=f(6)=12，f(4)=16， 所以f(x)∈(12，16]，即cos2C∈， 所以tan2C+1==∈(3，4]，即tan2C∈(2，3]， 所以S△ABC=tan C∈(]，即△ABC面积的取值范围为(]. 掌握三角形中隐含的条件 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等. 课时作业评价 1 2 3 4 1.(10分)已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=4csin Asin B-2acos(B-C). (1)求角A的大小；(4分) 解：由正弦定理得sin A=4sin Csin Asin B-2sin Acos(B-C)， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以1=4sin Bsin C-2cos(B-C)，所以1=2sin Bsin C-2cos Bcos C，所以cos(B+C)=-，即cos A=，所以A=. 1 2 3 4 (2)求的取值范围.(6分) 解：根据正弦定理得====+， 由(1)得A=，B+C=，因为B，C为锐角，所以 所以B∈，故tan B∈，所以∈， 即=+∈.综上可知，的取值范围是. 1 2 3 4 2.(15分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcos C +ccos B=2acos A. (1)求A；(6分) 解：由bcos C+ccos B=2acos A及正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A，所以sin(B+C)=2sin Acos A， 因为B+C=π-A，化简得sin A=2sin Acos A， 因为0<A<π，所以sin A≠0，所以cos A=，所以A=. 1 2 3 4 (2)若a=2，求△ABC周长的最大值.(9分) 解：法一　利用余弦定理，结合基本不等式可求三角形周长的取值范围. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc. 因为bc≤，所以(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=，即4≥， 所以b+c≤4，当且仅当b=c=2时等号成立. 所以△ABC的周长C△ABC=a+b+c≤6.即△ABC周长的最大值为6. 1 2 3 4 法二　利用正弦定理，表示出b，c，再利用三角函数的恒等变换，可得三角形的周长为2+4sin，再根据角B的取值范围，可求周长的最大值. 由正弦定理=2R，即=，△ABC的周长C△ABC=a+b+c=2+ sin B+sin C.因为A+B+C=π，所以C=-B，所以C△ABC=2+sin B +sin=2+ =2+4sin，因为0<B<，所以当B=时C△ABC取得最大值为6. 1 2 3 4 3.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcos+sin2x-. (1)若f(α)=，且<α<，求cos 2α；(6分) 解：f(x)=2sin x+sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin，因为f(α)=，所以2sin=， 即sin=.因为<α<，所以0<2α-<， 则cos==， 所以cos 2α=cos=cos×-sin× =×-×=. 1 2 3 4 (2)若△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)=，c=2，求△ABC面积的取值范围.(9分) 解：由f(B)=，可得f(B)=2sin=，即sin=. 又0<B<，所以-<2B-<，所以B=，则 可得<C<，所以tan C>.由正弦定理=及c=2， 得a====1+∈(1，4)， 所以S△ABC=acsin B=a∈，即△ABC面积的取值范围为. 1 2 3 4 4.(15分)在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，=. (1)求cos C；(4分) 解：由正弦定理知=， 2sin Acos C-cos Csin B=sin Ccos B. ∴2sin Acos C=sin Ccos B+cos Csin B=sin(B+C)=sin A. ∵A∈(0，π)，sin A≠0，∴cos C=. 1 2 3 4 (2)已知2=.①若∠ADC=，求tan∠ACD；(5分) 解：①由(1)及C∈(0，π)，∴C=.设∠ACD=θ.在△ACD中， 由正弦定理知=　①. 在△BCD中，由正弦定理知=　②. ∵2=，∴2AD=DB，则有=⇒2sin2θ= sin·sin⇒2sin2θ= =cos 2θ-sin2θ⇒tan2θ=， 又∵θ∈，∴tan θ=，即tan∠ACD=. 1 2 3 4 ②求的取值范围.(6分) 解：②由=+，即3=+2，平方得9=+4+4·，即9CD2=a2+4b2+2ab. 又∵AB2=c2=a2+b2-ab，∴==. 令t=，则t>0，∴==1+3·. 1 2 3 4 令x=t+1，则x>1， ∴===. ∵x+-3≥2-3>0，当且仅当x=时取等号， ∴∈，∴=1+3·∈(1，4+2]. ∴的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $