第2章 2.1 函数概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件围绕函数概念展开，涵盖集合语言定义、定义域求解、同一个函数判断及函数值计算。通过生活动态变化现象导入，复习初中变量定义，衔接高中集合与对应关系刻画，搭建知识过渡支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合图形实例（如垂直x轴直线判断函数）和方法总结（定义域情形、值域求法），培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）。学生能深化概念理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

§2　函　数 2．1　函数概念 　　许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化．早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化．这两个变量之间存在着函数关系． 1.在复习初中函数概念的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．会判断两个函数是否为同一个函数． 4．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　函数概念 思考1　初中时，我们已经学习过函数，当时是如何定义的呢？ 提示：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数．其中x叫自变量，y叫因变量．　 思考2　对于坐标平面内的点(x，y)，若y＝1，x∈R，y是否是x的函数？ 提示：是． 思考3　对于坐标平面内的点(x，y)，若x＝1，y∈R，y是否是x的函数？ 提示：不是． 返回导航 [知识梳理] 1．函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个______________A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有______________的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 ______________称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合______________ 称为函数的值域 非空数集 唯一确定 集合A {f(x)|x∈A} 返回导航 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 返回导航 角度1　判断一个对应关系是否为函数 [例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) B 【解析】A错误，当x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性； B正确，同时满足任意性与唯一性； C错误，当x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性；D错误， 当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B. 返回导航 AD (2)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【解析】按照函数的定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件； 选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一的函数值的要求； 选项A和D符合函数的定义． 返回导航 感悟提升 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法   (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 返回导航 C 返回导航 【解析】　对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数． 对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数． 对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且g(x)＝x＝f(x)，故f(x)与g(x)是同一个函数． 对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，g(x)＝2|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数． 返回导航 感悟提升 判断两个函数是否表示同一个函数的步骤 返回导航 C [跟踪训练1] (1)下列可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是(　　) 解析：对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，A错误； 对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误； 对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，C正确； 对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误．故选C. 返回导航 BD 返回导航 对于B，定义域、对应关系都相同，是同一个函数； 对于C，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系不同，不是同一个函数； 对于D，定义域、对应关系都相同，是同一个函数． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 求函数定义域的几种情形 (1)如果f(x)是整式，其定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合； (3)如果f(x)是偶次根式，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； (4)如果f(x)是由以上几部分数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (5)f(x)＝x0的定义域是{x|x≠0}． 返回导航 D 返回导航 A 返回导航 返回导航 (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1； 【解】因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R. ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； 【解】y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). 返回导航 返回导航 感悟提升 (1)求函数值的方法及关注点 ①方法：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；求f(g(a))的值应遵循由里到外的原则． ②关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义． 返回导航 感悟提升 (2)求函数值域的常用方法 ①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域． ②配方法：若函数是二次函数形式，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法． ③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域． ④分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为反比例函数的形式，便于求值域． 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝ax2－1，a为正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A.1 B．0 C．－1 D．2 解析：由题意得f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. A 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 32 C 返回导航 D 解析：对于A，对应关系与函数y＝x不同，所以不是同一个函数，故排除A； 对于B，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B； 对于C，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C； 返回导航 3．(多选)(2026·驻马店月考)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示．函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，结合a是正整数，知B，C正确． BC 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：理解函数的定义，会求函数的定义域，同一个函数的判断． 2．须贯通：求函数值和简单函数的值域． 3．应注意：(1)化简函数的对应关系时要注意定义域的变化； (2)整体代换的思想求函数的定义域和值域． 返回导航 $