第1章 培优点1 集合中元素的个数与容斥原理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合中元素的个数与容斥原理，从研究集合元素个数问题导入，先定义有限集合元素个数card(A)，再通过二元、三元容斥原理公式及维恩图直观展示，搭建从集合基本概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合双语竞赛人数统计、体育项目喜好调查等现实情境例题，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过符号运算和逻辑推理（数学思维）解决问题，以集合符号与方程（数学语言）表达过程。采用情境教学与问题驱动，助力学生提升应用意识，教师可借助清晰例题与解析优化教学效率。

培优点1　集合中元素的个数与容斥原理 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A={a1,a2,···，an },将A中的元素个数记为card(A)=n. 关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理）： 二元容斥原理card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩B); 三元容斥原理card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C) 返回首页 [典例]为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 【解析】　设擅长语文的同学构成集合A，擅长英语的同学构成集合B，20人代表队构成全集U， 则card(A)＝10，card(B)＝12，card(A∩B)＝5，card(U)＝20， 所以card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝10＋12－5＝17， 所以card(∁U(A∪B))＝20－17＝3，所以语文和英语均不擅长的同学人数为3. C 返回首页 [尝试训练] 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为________． 解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a，b，c，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为x，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为y，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为z，如图， 46 返回首页 后三个方程相加得2(a＋b＋c)＋x＋y＋z＝54，与第一个方程消去a＋b＋c得x＋y＋z＝26，所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为26＋20＝46. 返回首页 $