第2章 第2节 函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数单调性”核心专题，覆盖单调性的判断与证明、单调区间确定、最值求解及应用四大高考考点，对接新课标“用符号语言表达单调性几何意义”要求，分析高考中与导数交汇的中档题（占比约40%）及解答题（综合不等式等），梳理定义法、导数法、图像法等解题路径，归纳比较大小、解函数不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养落地”，如以2024合肥调研题为例，用定义法五步（设元、作差、变形、判号、定论）证明含参函数单调性，培养逻辑推理与数学运算素养。设置“单调区间表示易错警示”“复合函数同增异减法则”等模块，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习冲刺。

第2节 函数的单调性 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第二章 函数、导数及其用应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养． 4．函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图像及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＜f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上　单调递增　)，如图(1)所示； (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＞f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上　单调递减　)，如图(2)所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的　单调区间　，也可分别称为　单调递增区间　或　单调递减区间　)． 2．函数的平均变化率 (1)直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称eq \f(y2－y1,x2－x1)为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为eq \f(Δy,Δx). (2)平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1) 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率． 3．y＝f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2， 记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(即eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1))，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是eq \f(Δy,ΔΔx)>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)<0在I上恒成立． 4．函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D： (1)如果对任意x∈D，都有　f(x)≤f(x0)　，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最大值点　； (2)如果对任意x∈D，都有　f(x)≥f(x0)　，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最小值点　. 5．最值和最值点 　最大　值和　最小　值统称为最值，　最大值　点和　最小值　点统称为最值点． 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)；减区间为[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]，且对勾函数为奇函数． 3．单调函数的运算性质 (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与eq \f(1,fx)有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与eq \r(fx)具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 ) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 ) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编) (2024·合肥调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 ) A．y＝eq \f(1,x)－x　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 解析：A　[对于A选项，y1＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝eq \f(1,x)－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．] 2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于函数y＝eq \f(1,fx)的单调区间表述正确的是(　　 ) A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在[3,5]上单调递增 解析：B　[由图像可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝eq \f(1,fx)无意义，故排除A，C，D.] 3．函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 4．(教材改编)函数f(x)＝eq \f(2x,x＋1)在[1,2]的最大值和最小值分别是　____________　. 解析：f(x)＝eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,x＋1)＝2－eq \f(2,x＋1)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝eq \f(4,3)，f(x)min＝f(1)＝1. 答案：eq \f(4,3)，1 5．(教材改编)已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)　____　f(n)；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))<f(1)，则实数x的取值范围是　________　. 解析：由题意知f(m)>f(n)； eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>1，即|x|<1，且x≠0. 故－1<x<1且x≠0. 答案：>　(－1,0)∪(0,1) 函数单调性的判断或证明 ◆[命题角度1]　确定不含参函数的单调性(基础点)　 下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．f(x)＝2x　　　　　 B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝eq \f(1,x)－x D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：C　[由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝eq \f(1,x)－x，因为y＝eq \f(1,x)与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．] 判断函数单调性常用以下几种方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，则可由图像的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． 提醒：判断或证明不含有参数的函数的单调性时，首先确定定义域，然后利用判断函数单调性的方法求解． 核心素养 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养 　　依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养． 信息提取 信息解读 逻辑推理 已知函数 f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0) 分a>0与a<0两种情况讨论 判断函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性⇔当－1<x1<x2<1时，判断f(x1)－f(x2)的符号⇔判断f′(x)在(－1,1)上的符号 判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性 定义法：当－1<x1<x2<1时，判断f(x1)－f(x2)是大于0还是小0 导数法：判断f′(x)在(－1,1)上是大于0还是小0 [证明]　法一(定义法)：第一步，取值、作差、变形：设－1<x1<x2<1， f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))， 则f(x1)－f(x2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1))) ＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1). 第二步，判号、定论：由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：第一步，求导、变形：f′(x)＝eq \f(ax′x－1－axx－1′,x－12) ＝eq \f(ax－1－ax,x－12)＝－eq \f(a,x－12). 第二步，判号、定论：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [互动探究] 若只将本例中函数解析式改为“f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(其中a＞0)”呢？ 证明：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq \f(ax2,x\o\al(2,2)－1) ＝eq \f(ax1x\o\al(2,2)－ax1－ax2x\o\al(2,1)＋ax2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1) ＝eq \f(ax2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(xeq \o\al(2,1)－1)(xeq \o\al(2,2)－1)>0. 因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数. 法二(导数法)：f′(x)＝eq \f(ax2－1－2ax2,x2－12)＝eq \f(－ax2＋1,x2－12). 又a＞0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用增(减)函数的定义外，导数法也是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用． 　易错警示：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 判断函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x1，x2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(a,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x2))) ＝eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－a)． 当0<x1<x2≤eq \r(a)时， 0<x1x2<a，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，eq \r(a)]上是减函数； 当eq \r(a)≤x1<x2时，x1x2>a，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[eq \r(a)，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在(0，eq \r(a)]上是减函数，在[eq \r(a)，＋∞)上是增函数． 确定函数的单调区间(重难点) [典例]　(1)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为　________　，单调递减区间为　________　. (2)函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))　　　　　　　 B．[eq \r(a)，1] C．(－∞，0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．[eq \r(a)，eq \r(a＋1)] [解析]　(1)由于y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，)) 即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.)) 画出函数图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)由题图可知f(x)在(－∞，0]和eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，而在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增．又0<a<1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，即0≤logax≤eq \f(1,2)，解得x∈[eq \r(a)，1]． [答案]　(1)(－∞，－1]和[0,1]　[－1,0]和[1，＋∞)　(2)B [互动探究] 1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示． 由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－eq \r(2)，1)和(1＋eq \r(2)，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－eq \r(2))和(1,1＋eq \r(2))． 2．若将本例题(2)中的“0<a<1”改为“a>1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？ 解析：由例(2)解析知，需logax≤0或logax≥eq \f(1,2)，解得x≤1或x≥eq \r(a)，又x>0，所以单调递减区间为(0,1]，[eq \r(a)，＋∞)． 1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 　提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 解析：B　[g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.)) 如图所示，其递减区间是[0,1)．] 2．函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：D　[由x2－2x－8>0，得函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8，则y＝ln t．∵t＝x2－2x－8＝(x－1)2－9， ∴t＝x2－2x－8的单调增区间为(4，＋∞)． 又y＝ln t是增函数，∴函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调增区间为(4，＋∞)．] 确定函数的最值(值域)(重难点) [典例]　(1)若函数f(x)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，则实数a的值为　________　. (2)函数f(x)＝eq \f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值为　________　. (3)(2024·深圳模拟)函数y＝eq \f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值为　________　. [解析]　(1)因为函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是增函数，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，f(2)＝2，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－2＝\f(1,2)，,\f(1,a)－\f(1,2)＝2，))解得a＝eq \f(2,5). (2)法一：均值不等式法：f(x)＝eq \f(x2＋8,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋9,x－1)＝(x－1)＋eq \f(9,x－1)＋2≥2eq \r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8，当且仅当x－1＝eq \f(9,x－1)，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二：导数法：f′(x)＝eq \f(x－4x＋2,x－12)， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)． 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. (3)令eq \r(x2＋4)＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4， ∴y＝eq \f(t,t2＋1)＝eq \f(1,t＋\f(1,t))，设h(t)＝t＋eq \f(1,t)，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝eq \f(5,2)，∴y≤eq \f(　1　,\f(5,2))＝eq \f(2,5)(x＝0时取等号)．即y的最大值为eq \f(2,5). [答案]　(1)eq \f(2,5)　(2)8　(3)eq \f(2,5) 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 提醒：　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 函数值，若有界，上界下界值域外． 1．函数y＝eq \r(x)－x(x≥0)的最大值为　________　. 解析：令t＝eq \r(x)则t≥0，所以y＝t－t2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，结合二次函数的图像知，当t＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(1,4)时，ymax＝eq \f(1,4). 答案：eq \f(1,4) 2．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为　________　. 解析：由于y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案： 3 函数单调性的应用(应用点) ◆[命题角度1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　 1．已知函数f(x)＝log2x＋eq \f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：B　[∵函数f(x)＝log2x＋eq \f(1,1－x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， ∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0， 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.] ◆[命题角度2]　解函数不等式　 2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 解析：B　[2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,x－8>0，,xx－8≤9，))解得8＜x≤9.] ◆[命题角度3]　利用单调性求参数的取值范围或值　 3．如果函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1))满足对任意x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，那么a的取值范围是　________　. 解析：因为对任意x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a>1，,2－a×1＋1≤a，))解得eq \f(3,2)≤a<2. 故实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)). 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． $