第1章 第4节 基本不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了公式应用、最值求解、不等式证明三大核心考点，通过真题与模拟题分析明确“求最值”占60%、“不等关系分析”占30%的高频考查方向，构建了“知识梳理-考点突破-题型归纳”的备考体系。 课件亮点在于“真题引领+技巧提炼+素养提升”的复习策略，如以2022上海高考题为例，示范“一正二定三相等”条件检验法，培养学生的数学推理能力与模型观念。特设“微警示”易错点分析和“规律方法”总结，帮助学生掌握“积定和最小”等解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，助力学生高效备战高考。

第4节　基本不等式 课标解读　1.掌握基本不等式(a,b≥0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(苏教版必修第一册3.2.2节练习第1题)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 D 解析 因为m>0,n>0,mn=81, 所以m+n≥2=18,当且仅当m=n=9时,等号成立. 2.(北师大版必修第一册3.2节练习第2题改编)已知x>0,则x+的最小值为　　　　　.  4 解析 当x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以当x>0时,x+≥4. 3.(人教B版必修第一册2.2.4例2)已知ab>0,求证:≥2,并推导出等号成立的条件. 证明 因为ab>0,所以>0,>0.根据均值不等式,得≥2=2,即≥2.当且仅当,即a2=b2时,等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是a=b. 4.(人教A版必修第一册习题2.2第4题)已知x,y,z都是正实数,求证: (x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz. 证明 因为x,y,z都是正实数,由基本不等式得x+y≥2,y+z≥2,x+z≥2,所以(x+y)(y+z)(x+z)≥2·2·2=8xyz,当且仅当x=y=z时,等号成立. 知识梳理 1.基本不等式:. 　　　也叫均值不等式 (1)基本不等式成立的条件:　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　　时,等号成立.  (3)其中　　　　　称为正数a,b的算术平均数,　　　　　称为正数a,b的几何平均数.  　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a>0,b>0　 a=b 2.基本不等式的变形 (1)a2+b2≥　　　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.  (2)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立. (3)ab≤()2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. (4)()2≤(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 3.利用基本不等式求最值 已知x,y都是正数, (1)如果xy等于定值P,那么当x=y时,x+y有最小值　　　　　.  (2)如果x+y等于定值S,那么当x=y时,xy有最大值　　　　　.  2ab 2 S2 微警示 上述结果可总结为和定积最大,积定和最小.利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 研考点•精准突破 考点一　直接应用基本不等式求最值 例1　(1)(2026·江苏苏州高三检测)已知a,b为实数,则“a>0且b>0”是 “≥2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若a>0且b>0,则≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立;当a=b=-1时,满足≥2,但不满足a>0且b>0,故“a>0且b>0”是“≥2”的充分不必要条件. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2025·山东潍坊月考)下列结论中正确的是(　　) A.若x>0,则x-1+≥2 B.若ab≤()2,则a>0,b>0 C.若x>1,y>1,则lg x·lg y≤ D.若a,b∈R,则4a+4b≥2a+b+1 CD 考点一 考点二 考点三 解析 虽然x>0,但x-1不一定为正数,所以x-1+≥2不一定成立,故选项A错误;当ab<0时,ab≤()2显然成立,故选项B错误;当x>1,y>1时,lg x>0,lg y>0,所以由基本不等式变形可得lg x·lg y≤()2=,故选项C正确;当a,b∈R时,4a>0,4b>0,由基本不等式可得4a+4b≥2=2a+b+1,故选项D正确.故选CD. 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·山东日照模拟)若x>0,y>0,且=10,则xy的最小值为　　 　.  解析 由x>0,y>0,得10=≥2,则,即xy≥,当且仅当=5时,等号成立,所以当x=,y=时,xy的最小值为. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用基本不等式求最值的策略 (1)当求“和”式的最小值时,一般运用变形a+b≥2 )2,这时必须确保“和”是定值. (2)注意检验等号成立的条件是否满足,若不满足,则不可直接运用基本不等式求最值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(多选题)(2025·河南郑州期末)下列结论中成立的有(　　) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若x≠0,则x2+≥2 C.若≥2,则必有a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a ABD 解析 由基本不等式可知,若≥2成立,则有>0,>0,因此a>0,b>0或a<0,b<0,故选项C不成立,其余选项均成立. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·安徽合肥模拟)已知x>0,y>0,x+3y=6,则xy的最大值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 A 解析 因为x>0,y>0,x+3y=6,则x+3y=6≥2,所以xy≤3,当且仅当x=3y=3,即x=3,y=1时,等号成立,故xy的最大值为3. 考点一 考点二 考点三 考点二　利用基本不等式分析不等关系 例2　(1)(2022·上海,14)若实数a,b满足a>b>0,下列不等式中恒成立的 是(　　) A.a+b>2 B.a+b<2 C.+2b>2 D.+2b<2 A 解析 因为a>b>0,所以由基本不等式可得a+b>2+2b≥2(当且仅当=2b,即a=4b时,等号成立),故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏扬州期末)若a>b>1,x=ln,y=(ln a+ln b),z=,则下列选项正确的是(　　) A.x<z<y B.y<z<x C.z<x<y D.z<y<x D 解析 由于x=ln,y=(ln a+ln b)=ln,z=,而a>b>1,则ln a>ln b >0,所以(ln a+ln b)>,即y>z,由,则ln>ln,即x>y. 综上可得x>y>z.故选D. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·江西临川期中)已知3·2a=4·3b=1,则下列选项正确的 是(　　) A.a>b>-1 B.b>a>-1 C.a<b<-1 D.b<a<-1 C 解析 由3·2a=4·3b=1得2a=,3b=,即a=-log23<-1,b=-log34<-1.又log23-log34 =>0,所以a<b<-1. 故选C. 考点一 考点二 考点三 考点三　利用基本不等式证明不等式 例3　(1)设a,b均为正实数,求证:+ab≥2. 证明 由于a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立.又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时,等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当 即a=b=时,等号成立. 考点一 考点二 考点三 (2)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:≥9. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴=3+()+()+() ≥3 +2+2+2=3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用基本不等式证明不等式的技巧 (1)证明不等式的关键是利用基本不等式对“积式”与“和式”进行放缩转化. (2)多次运用基本不等式时,注意等号能否取到. (3)不能直接运用基本不等式时,可通过组合、拆分、常数代换等方法变形,以满足基本不等式应用的条件,再进行证明. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 证明 因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,所以由基本不等式得, (-1)(-1)(-1)==8,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 考点一 考点二 考点三 $