第6章 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

4．2　分层随机抽样的均值与方差 4．3　百分位数 新课导入 学习目标 　　某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，即确定一户居民月用水量标准a.用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望80%的家庭能享受平价，如何确定a？这就是我们本节课要解决的问题． 1.理解分层随机抽样的平均数与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的平均数与方差． 2.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数． 知识点一　分层随机抽样的平均数与方差 某工厂加工一批工艺品，熟练工人日平均加工100个，学徒日平均加工40个． 思考1　工人日平均加工＝70(个)，对吗？ 提示：不对． 思考2　思考1中计算平均数的方法合理吗？ 提示：不合理，由于熟练工人与学徒所占比例可能不同，故上述计算方法不合理． [知识梳理] 1．分层随机抽样的平均数 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，…，n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w11＋w22＋…＋wnn.为了简化表示，引进求和符号，记作w11＋w22＋…＋wnn＝wii. 2．分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[s＋(i－)2]，其中为这个样本的平均数． 角度1　分层随机抽样的平均数 [例1] (对接教材例5)在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样的方法，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能根据这些数据计算出总样本的平均数，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？ 【解】　把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s；把总样本数据的平均数记为. 因为＝170.6，＝160.6，所以总样本平均数＝ ＋ ＝＝165.2.故总样本的平均数为165.2，据此估计高一年级全体学生身高的总体平均数为165.2. 　 分层随机抽样的平均数的计算方法 (1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi、样本容量n，三者满足wi＝，已知其中2个可求另外1个． (2)在利用公式＝w11＋w22＋…＋wnn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数． [跟踪训练1] 某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民的熬夜时间，得到如下表格： 年龄区间 居民人数(单位：百人) 所占比例 平均熬夜时长(单位：h) [20，30) 3.6 30% 4 [30，40) 6 b 2 [40，50] a c 1 其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长． 解：由题表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，所以b＝50%，c＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h).　 角度2　分层随机抽样的方差 [例2] (对接教材例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队队员体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队队员体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为 1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 【解】　由题意可知甲＝60，甲队队员人数在所有队员中所占权重为w甲＝＝， 乙＝70，乙队队员人数在所有队员中所占权重为w乙＝＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，　 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296. 　 求分层随机抽样的方差的步骤 (1)求样本中不同层的平均数． (2)求样本中不同层的方差． (3)应用分层随机抽样的方差公式计算． [跟踪训练2] 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将这两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的平均数为________，方差为________． 解析：因为＝×5＋×7＝6，s2＝×[9＋(5－6)2]＋×[16＋(7－6)2]＝13.5，所以新样本数据的平均数为6，方差为13.5. 答案：6　13.5 知识点二　百分位数 某省学业水平考试结果揭晓，根据规定，0.8% 的同学需要补考． 思考　你知道如何确定需要补考的分数线吗？ 提示：利用百分位数计算确定补考分数线． [知识梳理] 1．p分位数的概念 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p． 2．四分位数的概念 25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数． 角度1　具体数据的百分位数 [例3] (对接教材例7)(1)(多选)某地一年之内12个月的月降水量分别为46，51，48，53，56，53，56，64，58，56，66，71，则下列说法正确的是(　　) A．该地区月降水量的20%分位数为51 B．该地区月降水量的50%分位数为53 C．该地区月降水量的75%分位数为61 D．该地区月降水量的80%分位数为64 (2)(2026·桂林月考)已知甲、乙两组按从小到大的顺序排列的数据：甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30%分位数、50%分位数分别对应相等，则＝__________________________________________________. 【解析】　(1)将这12个月的月降水量从小到大排列为46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，由12×20%＝2.4，该地区月降水量的20%分位数为51，A正确；由12×50%＝6，该地区月降水量的50%分位数为＝56，B错误；由12×75%＝9，该地区月降水量的75%分位数为＝61，C正确；由12×80%＝9.6，该地区月降水量的80%分位数为64，D正确． (2)因为6×30%＝1.8，6×50%＝3， 所以甲组数据的30%分位数为28，50%分位数为； 乙组数据的30%分位数为n，50%分位数为＝. 由题意得，解得所以＝＝. 【答案】　(1)ACD　(2) 　 计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下： [跟踪训练3] (1)为做好流感防控工作，某市各学校坚持落实“双测温两报告”制度．以下是某宿舍6名同学某日上午的体温(单位：℃)记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6.则该组数据的80%分位数为________℃. 解析：由题意知，6个数据按从小到大顺序排列为36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.7，因为6×80%＝4.8， 所以该组数据的80%分位数是第5个数据，为36.6. 答案：36.6 (2)已知数据1，1，3，m，4，7的极差为6，且80%分位数为m2－20，则m＝________． 解析：因为7－1＝6，所以1≤m≤7.又6×80%＝4.8， 当1≤m≤4时，数据从小到大为1，1，3，m，4，7或1，1，m，3，4，7，其80%分位数均为4，由m2－20＝4，得m＝±2，不符合题意，舍去． 当4<m≤7时，数据从小到大为1，1，3，4，m，7，其80%分位数为m，由m2－20＝m，得m＝5(负值已舍去)，符合题意．故m＝5. 答案：5 角度2　由统计图表求百分位数 [例4] (2026·苏州月考)某校为了解高一学生的物理成绩，从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40～100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，画出如图所示的频率分布直方图． (1)若60分(包含60)以上为合格，求a的值和样本中的合格人数； (2)求抽取测试卷成绩的80%分位数． 【解】　(1)由10×(0.010＋2×0.015＋a＋0.025＋0.005)＝1，解得a＝0.030. 100份测试卷中，成绩合格的人数为100×(0.15＋0.30＋0.25＋0.05)＝75. (2)因为0.1＋0.15＋0.15＋0.3＝0.7，0.7＋0.25＝0.95， 方法一：所以80%分位数为80＋10×＝84. 方法二：设80%分位数为x，则0.7＋(x－80)×0.025＝0.8，解得x＝84. 　 频率分布直方图中p分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路： (1)确定p分位数所在的区间[a，b). (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则p分位数为a＋×(b－a). [跟踪训练4] 如图是某市2026年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10%分位数为________，日最低气温的80%分位数为________． 解析：由题图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27.因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10%分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17.因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80%分位数是第6个数据，为16 ℃. 答案：24 ℃　16 ℃ 1．(教材P180T4改编)数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为(　　) A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3 解析：选D.数据已从小到大排列，共8个数，8×30%＝2.4，即该组数据的30%分位数是从左往右数第三个数为8.3.故选D. 2．(教材P175T1改编)某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为(　　) A．110分 B．115分 C．116分 D．120分 解析：选C.由题意，应抽取男生50×＝30(人)，应抽取女生50×＝20(人)， 所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为＝116(分).故选C. 3．现有A，B两个网站对一家餐厅进行好评率调查，调查结果显示好评率分别为95%和90%.若A，B两个网站调查对象中给出好评的人数之比为3∶4，这家餐厅的总好评率大概是________%.(保留两位有效数字) 解析：由题意知，这家餐厅的总好评率大概是×95%＋×90%＝≈92%. 答案：92 4．某车间有甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件，测得甲、乙两组数据的平均数为甲＝乙＝100，两组数据的方差分别为s＝，s＝1，则估计该车间这批零件的直径的方差s2＝________． 解析：依题意，抽取的12件零件直径的平均数＝＝100，所以该车间这批零件的直径的方差s2＝×[s＋(甲－)2]＋×[s＋(乙－)2]＝×(＋1)＝. 答案： 　 1．已学习：分层随机抽样的平均数与方差，百分位数． 2．须贯通：能由具体数据和频率分布直方图，求分层随机抽样的平均数与方差，百分位数，并对数据进行分析． 3．应注意：求百分位数时，未排序导致错误． 学科网（北京）股份有限公司 $