第6章 3 用样本估计总体的分布-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

§3　用样本估计总体的分布 新课导入 学习目标 　　收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多且杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．在此基础上，通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，就可以用这些信息来解决实际问题． 1.了解频率与频数对总体估计的情况． 2．理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法. 3．会列频率分布表、频率分布直方图、频率折线图． 4．能利用频数、频率及频率分布直方图解决实际问题． 知识点一　频数与频率 [知识梳理] 1．概念 频数：每个对象出现的次数； 频率：频数与总数的比值． 2．频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布． [例1] 某中学记载了近五年(2022～2026)该校学生高考本科上线人数及相应比例如下表，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处． 年份 2022 2023 2024 2025 2026 本科上 线人数/人 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223 比例 69.5% 71.3% 75.1% 77.2% 79.5% 【解】　由题表可知，该校2022年到2026年本科上线人数逐年递增，从频数来看，2023年较上一年增加了79人，2024年较上一年增加了62人，2025年较上一年增加了33人，2026年较上一年增加了36人，容易得到2022年到2023年增加的人数最多，2024年到2025年以及2025年到2026年增加的人数较少，但从这五年的频率来看，2022年到2023年的频率增长了1.8%，是增长最少的，2023年到2024年的频率增长了3.8%，是增长最大的，这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面参考． 　 (1)当总体容量较小时，可以用频数估计总体分布，也可以用频率估计总体分布；当总体容量较大时，不能只从频数一个角度分析问题，还要应用频率估计总体． (2)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．所以对于实际问题，只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的． [跟踪训练1] 已知一个容量是80的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是12，13，15，16，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是________，频率是________． 解析：因为频率＝，所以频数＝频率×样本容量． 因为第五组的频率是0.1，样本容量是80， 所以第五组的频数是0.1×80＝8， 所以第六组的频数是80－(12＋13＋15＋16＋8)＝16， 所以第六组的频率是＝0.2. 答案：16　0.2 知识点二　频率分布直方图 [知识梳理] 1．频率分布直方图 (1)定义：频率分布直方图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积＝组距×＝频率． (2)频率分布直方图与频率的关系 频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小． (3)频率分布直方图的优缺点 优点：①能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别； ②当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示． 缺点：从频率分布直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原始数据不能在图中表示出来． 2．绘制频率分布直方图的步骤 3．频率折线图 通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图． 随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线． [例2] 某市今年4月对空气质量指数的监测数据如下． 61　76　70　56　81　91　92　91　75　81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (1)制作频率分布表，并绘制频率分布直方图； (2)根据国家标准，空气质量指数在0～50内，空气质量为优，在51～100内，空气质量为良，在101～150内，空气质量为轻度污染，在151～200内，空气质量为中度污染．请对该市的空气质量给出一个简短的评价． 【解】　(1)分析所给数据，可知最小值为45，最大值为103，考虑以10为组距进行分组，分为7组： [41，51)，[51，61)，[61，71)，[71，81)，[81，91)，[91，101)，[101，111]. 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [41，51) 2 [51，61) 1 [61，71) 4 [71，81) 6 [81，91) 10 [91，101) 5 [101，111] 2 频率分布直方图如下： (2)写出一条满足题意的评价即可，比如：①该市一个月中有2天空气质量为优，占当月天数的；有26天空气质量为良，占当月天数的.空气质量为优或良的天数共有28天，占当月天数的，说明该市空气质量基本良好．②该市一个月中轻度污染有2天，占当月天数的.空气质量指数在[80，100]内(接近轻度污染)的天数有15天，加上轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善． 　 (1)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响对数据分布情况的了解，若样本容量不超过120个，按照数据的多少常分为5组～12组，一般样本容量越大，所分组数越多． (2)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率，这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1； ③＝样本容量． [跟踪训练2] 有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20]，17. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布折线图； (3)求样本数据不足0的频率． 解：(1)样本频率分布表如下： 分组 频数 频率 [－20，－15) 7 0.035 0.007 [－15，－10) 11 0.055 0.011 [－10，－5) 15 0.075 0.015 [－5，0) 40 0.2 0.04 [0，5) 49 0.245 0.049 [5，10) 41 0.205 0.041 [10，15) 20 0.1 0.02 [15，20] 17 0.085 0.017 (2)频率分布折线图如图所示： (3)样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365. 应用点　频率分布直方图的应用 [例3] 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中实数a的值； (2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由． 【解】　(1)因为0.5×(0.08＋0.16＋0.4＋0.52＋0.12＋0.08＋0.04＋2a)＝1，所以a＝0.3. (2)由题图可得月均用水量不低于3吨的频率为0.5×(0.12＋0.08＋0.04)＝0.12，由30×0.12＝3.6，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万．　 　 用样本分布估计总体分布的一般方法 一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在该范围内的频率．因此，首先样本抽取要合理科学，其次要正确绘制频率分布表(或频率分布直方图)或者准确找出题目所给频率分布表(或频率分布直方图)中的相关信息，最后由样本的分布估计出总体的分布情况． [跟踪训练3] 某汽车站在2026年春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了若干名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布直方图(如图所示). 已知购票用时在区间[5，10)内的频数为10，请解答下列问题： (1)求这次抽样的样本容量； (2)分别求出购票用时在区间[10，15)，[15，20)，[20，25]内的频数与频率，并补全频率分布直方图； (3)早在两年前，客运总公司对春运工作就做了明确要求，若旅客购票用时20 min以上(含20 min)的超过20%，为旅客轻微滞留，需各客运站点立即采取相应措施．如果你是汽车站站长，面对今年的春运现状，你该怎么做？ 解：(1)由题图知，购票用时在区间[5，10)内的频率为0.02×5＝0.1，因为此区间内的频数为10，所以样本容量为＝100. (2)由题图可知，购票用时在区间[5，10)，[15，20)，[20，25]内的频率分别为0.1，0.5，0.3，所以购票用时在区间[10，15)内的频率为1－0.3－0.5－0.1＝0.1.所以购票用时在区间[10，15)，[15，20)，[20，25]内的频数分别为10，50，30，频率分别为0.1，0.5，0.3.所以补全频率分布直方图如图所示． (3)由以上计算可知，旅客购票用时20 min以上(含20 min)的频率为30%，超过了20%，客运站点应立即采取相应措施，如果我是汽车站站长，应当立即增开购票窗口． 1．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表： 组别 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在[0，40)上的频率为(　　) A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64 解析：选D.由频数分布表知，样本数据落在[0，40)内的频率为＝0.64.故选D. 2．(教材P167T1改编)某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0，4)，[4，8)，[8，12)，[12，16)，[16，20]，并制作了如下表格，则抽样总人数为________． 分组 人数 频率 [0，4) 2 [4，8) 3 [8，12) 9 [12，16) 0.2 [16，20] 0.1 解析：依题意，前三组抽取的总人数为2＋3＋9＝14，前三组的频率和为1－(0.1＋0.2)＝0.7，所以抽取的总人数为＝20. 答案：20 3．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100 m体能测试成绩(单位：s)，将数据按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25 s的频率是________． 解析：由题图中各矩形面积之和为1，可得0.5×(0.08×2＋0.16＋0.30×2＋a＋0.52＋0.12＋0.04)＝1，解得a＝0.40，故体能测试成绩大于13.25秒的频率是0.5×(0.40×＋0.52＋0.30＋0.12＋0.08＋0.04)＝0.63. 答案：0.63 4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了20名学生，并得到了他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果如下(单位：h)： 0．2　0.3　0.3　0.4　0.5 0．6　0.6　0.7　0.7　0.8 0．8　1.0　1.1　1.3　1.4 1．4　1.6　1.7　2.0　2.3 (1)试估计该校学生的课外阅读情况； (2)估计该校学生的课外阅读时间不小于1 h的人数占比． 解：(1)由于样本的数据很难看出任何规律，因此通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布． 样本的最小值为0.2，最大值为2.3，故全距为2.1，可选取组距为0.5，将其分为5组．作出频率分布表如下： 课外阅读时间 分布区间 频数 频率 [0，0.5) 4 0.20 0.40 [0.5，1) 7 0.35 0.70 [1，1.5) 5 0.25 0.50 续　表 课外阅读时间 分布区间 频数 频率 [1.5，2) 2 0.10 0.20 [2，2.5] 2 0.10 0.20 从上表中可以估计总体的大致分布情况，比如，该校学生的课外阅读所用时间在[0，1.5)范围内的频率最大，不小于1.5 h的频率相对较小． (2)由(1)得，估计该校学生的课外阅读时间不小于1 h的人数占比为45%. 　 1．已学习：频数与频率的概念，列频率分布表、画频率分布直方图与频率折线图． 2．须贯通：会列频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图，并对数据进行分析． 3．应注意：误把频率分布直方图中的纵坐标当成频率，导致计算错误． 学科网（北京）股份有限公司 $