第6章 2.2 分层随机抽样-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

2．2　分层随机抽样 新课导入 学习目标 　　抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差． 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性． 2．掌握各层样本量比例分配的方法． 3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 知识点一　分层随机抽样的概念 某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人．学校想了解高一新生对文史类课程的看法，以便开设相关选修课程，准备从高一新生中抽取45人进行访谈． 思考　如何抽样，才能提高调查结果的有效性？ 提示：可以将男生和女生看作两个群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法． [知识梳理] 1．概念 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样． 2．适用范围 如果总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，那么往往采用分层随机抽样． 3．分层随机抽样具有的特点 适用范围：总体由差异明显的几类个体构成． 层与层的关系：分成的各层之间互不交叉． 各层的比例：各层抽取的比例都等于样本容量与总体容量的比． 可能性：是等可能的，每个个体被抽到的可能性相等． 样本：分层随机抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性． 抽取方法：分层随机抽样是不放回抽样． 4．简单随机抽样与分层随机抽样的辨析 抽样 方法 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等； 都是不放回抽样 从总体中 逐个抽取 分层随机 抽样在各 层抽样时 可采用简 单随机抽 样 样本容 量较小 分层随 机抽样 将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取 总体由 差异明 显的几 部分组 成 　 [例1] (对接教材例4)为了了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．则下列抽样方法最合理的是　(　　) A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.按性别或学段分层随机抽样都行 【解析】　因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以为了了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层随机抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 【答案】　C 　 是否利用分层随机抽样要紧扣两个条件 (1)必备条件：构成总体的几类个体差异明显，每类个体之间互不交叉． (2)辅助条件：知道每一类个体在总体中所占的百分比． [跟踪训练1] 分层随机抽样将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　) A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比例等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 解析：选C.保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样与分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取． 知识点二　分层随机抽样的相关计算 [知识梳理] 1．分层随机抽样中分多少层，如何分层的原则是：层内个体的差异要小，层间的个体差异要大，且层与层之间互不交叉． 2．分层随机抽样也称“按比例抽样”，这里的“按比例”是指： (1)＝＝； (2)＝ . [例2] (对接教材例3)某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取的管理人员有(　　) A．3人 B．4人 C.7人 D．12人 【解析】　方法一：先计算抽样比，＝＝，设抽取管理人员x人，则＝，得x＝4. 方法二：设抽取管理人员x人，则x在样本中的比例为，等于管理人员32人在总体中的比例，即＝，解得x＝4. 方法三：业务员，管理人员，后勤服务人员人数比为104∶32∶24＝13∶4∶3，又13＋4＋3＝20，所以抽取管理人员4人． 【答案】　B 　 分层随机抽样中每层抽取的个体数的确定方法 (1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数． (2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×(i＝1，2，…，k). [跟踪训练2] (2026·毕节月考)2025年9月3日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．北京天安门广场举行了盛大的阅兵式．阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1 000人、800人、600人参加，现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取容量为120的样本，则从高二年级抽取的人数为____________． 解析：因为总人数为1 000＋800＋600＝2 400，且样本容量为120， 所以高二年级抽取的人数为×120＝40. 答案：40 知识点三　分层随机抽样的设计 [例3] 有30个篮球，其中甲厂生产的篮球有21个，乙厂生产的篮球有9个，选择合适的方法抽取10个入样． 【解】　总体由差异明显的两个层组成，选用分层随机抽样． ①确定各层抽取的个体数．因为＝， 所以应从甲厂生产的篮球中抽取21×＝7(个)， 从乙厂生产的篮球中抽取9×＝3(个).②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了要抽取的样本． 　 分层随机抽样设计方案的步骤 [跟踪训练3] 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解：抽样过程如下： 第一步，确定抽样比．样本量与总体数量的比为＝； 第二步，确定分别从3类在职人员中抽取的人数． 从行政人员中抽取16×＝2(人)， 从教师中抽取112×＝14(人)， 从后勤人员中抽取32×＝4(人)； 第三步，从3类在职人员中分别采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人； 第四步，把抽取的人数组合在一起构成所需样本． 1．(教材P159T2改编)某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　) A．抽签法 B．简单随机抽样 C.分层随机抽样 D．随机数法 解析：选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．故选C. 2．(教材P159练习T1改编)为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为(　　) A.3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.根据分层随机抽样的特点可知，抽样比为＝，则应抽取的中型城市数为16×＝4.故选B. 3．某校高一、高二、高三共有2 800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19，则该校高二学生人数为________． 解析：设该校高二学生人数为x，则＝，解得x＝950. 答案：950 4．一个地区共有5个乡镇，共3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系， 所以不同乡镇的发病情况差异明显， 因而采用分层随机抽样的方法． 具体过程如下： ①将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层； ②按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60； ③按照各层抽取的人数用简单随机抽样抽取各乡镇应抽取的样本； ④将300人合到一起，即得到一个样本． 　 1．已学习：分层随机抽样的概念及适用情形，分层随机抽样中抽样比及各层所抽个体数量的计算． 2．须贯通：根据分层随机抽样的基本思想和适用情形，得到抽取样本的数量． 3．应注意：计算错误导致各层抽样数量错误． 学科网（北京）股份有限公司 $