第6章 2.1 简单随机抽样-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

§2　抽样的基本方法 2．1　简单随机抽样 新课导入 学习目标 　　在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等．要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识．在初中我们已学习过一些统计与概率的知识，到了高中我们会更加深入的进行研究． 1.理解简单随机抽样的概念、特点． 2．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法． 3．会用简单随机抽样方法解决实际问题． 知识点一　简单随机抽样的概念 思考　假设口袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 提示：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例，也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例． [知识梳理] 1．随机抽样 在抽样调查中，每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法，称为随机抽样． 2．一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个抽取n(1≤n＜N)个个体组成样本，如果抽取是放回的，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性相等，我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，并且每次抽取时总体内未被抽出的每个个体被抽到的可能性相等，我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．简单随机抽样是一种最基本的抽样方法．对于不知道某些特别信息的总体，往往采用简单随机抽样． 注意　若不加特殊说明，本书提及的简单随机抽样均为不放回简单随机抽样． [例1] (1)从总体为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N＝(　　) A．150 B．200 C.100 D．120 (2)(多选)(2026·焦作月考)下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是(　　) A.从一个不透明的盒中，抽取2个球(盒中每个球的大小和质感一样) B.一节公开课，老师点了7位同学回答问题 C.根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D.利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 【解析】　(1)由每个个体被抽到的可能性相等，都是＝25%，解得N＝120. (2)简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的．对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球(盒中每个球的大小和质感一样)，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样；对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样；对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样；对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，故D不是简单随机抽样． 【答案】　(1)D　(2)BD 　 简单随机抽样的判断方法 判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的三个特征：个数有限、逐个抽取、等可能性．这三个特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样． [跟踪训练1] (1)下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A.某电影院有32排座位，每排40个，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本 D.某乡镇有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，要抽取田地480亩估计全乡田地平均产量 解析：选B.根据简单随机抽样的特点进行判断：A的总体容量较大，用简单随机抽样的方法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样的方法比较简单、方便；C中由于学校各类人员对这一问题的看法的差异可能很大，不宜采用简单随机抽样；D中总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不易采用简单随机抽样．故选B. (2)(多选)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的为(　　) A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B.箱子中有1个大球、4个小球，搅拌均匀后，从中随机摸出1个球 C.从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验 D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 解析：选ABD.对于A，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；对于B，不是简单随机抽样，因为球的大小不同，会造成个体之间被抽取的可能性有差异；对于C，是简单随机抽样；对于D，不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样． 知识点二　抽签法和随机数法 思考　学校要从某班选取5人参加某项活动，如何选取？要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？ 提示：抽签．不可以，人数太多． [知识梳理] 1．抽签法 先把总体中的N(N为正整数)个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀．每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量． 具体步骤：(1)给总体中的每个个体编号；(2)抽签． 2．随机数法 先把总体中的N个个体依次编码为0，1，2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0，1，2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量． 具体步骤：(1)给总体中的每个个体编号； (2)在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法； (3)依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直到抽满为止． 角度1　抽签法 [例2] 某高校共有50名志愿者被选中参加某项志愿活动，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案． 【解】　(1)将这50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50. (2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签． (3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀． (4)从盒中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本，组成志愿服务小组． 　 抽签法的应用条件及注意点 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法． (2)应用抽签法时应注意以下几点 ①编号时，如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号； ②号签要求大小、形状完全相同，编号各不相同； ③号签要均匀搅拌； ④要逐个不放回地抽取． [跟踪训练2] 某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个签，抽签中确保公平性的关键是(　　) A．制签 B．搅拌均匀 C.逐一抽取 D．抽取不放回 解析：选B.利用抽签法要做到搅拌均匀，才能确保公平性．故选B. 角度2　随机数法 [例3] (对接教材例1)要研究某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号______________________．(下面抽取了随机数表第1行至第5行) 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 解析：由随机数表的第3行第6列开始向右读，得4颗种子的编号依次为227，665，650，267. 答案：227，665，650，267 母题探究1　本例中利用随机数法抽取样本，若从第4行第5列开始向右读，则最先检验的4颗种子的编号为______________________． 解析：由随机数表的第4行第5列开始向右读，得最先检验的4颗种子的编号为668，273，105，037. 答案：668，273，105，037 母题探究2　本例中“850颗种子”改为“1 110颗种子”，应如何编号？ 解：可将1 110颗种子依次编号为：0 001，0 002，…，1 110. 　 随机数法解题策略 (1)如果利用已有的随机数表 ①编号：对样本总体中每个个体进行编号时，必须保持每个个体号码位数一致．号码的位数应与样本总体容量数字位数相同． ②定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ③定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以). ④读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复或不在编号内的则跳过，直到取满所需的样本个体数． (2)如果利用生成随机数，编号则不必拘泥于位数相同． [跟踪训练3] (1)下列说法正确的是(　　) A.抽签法中可一次抽取两个个体 B.随机数法中每次只取一个个体 C.简单随机抽样是放回抽样 D.抽签法中将号签放入箱子中，可以不搅拌直接抽取 解析：选B.由随机数法的特点知，B正确．故选B. (2)在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本，总体编号为00，01，02，…，99，给出下列几组号码： ①00，01，02，03，04；②10，30，50，70，90； ③49，19，46，04，67；④11，22，33，44，55. 则可能成为所得样本编号的是________．(填序号) 解析：随机数法是一种简单随机抽样方法，因此每一个个体都有可能被抽到，且被抽到的可能性相同，因此所列的四组号码都可能成为所得样本的编号． 答案：①②③④ 应用点　简单随机抽样的综合应用 [例4] 一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47). 【解】　方法一(抽签法)： 第一步：将试题的编号1～47分别写在外观、质地等无差别的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在一个不透明的袋子中，搅拌均匀． 第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是所要回答的问题的序号． 方法二(随机数法)： 第一步：将物理题的序号对应改成01，02，…，15，其余两科题的序号不变． 第二步：在教材表6－2的随机数表中随机抽取某一行某一列．例如选出第3行第4列的数6，向右读． 第三步：从选定的数6开始向右读，每次读取两位，凡不在01～47中的数跳过去不读，重复的也跳过去不读． 第四步：对应第三步找出所要回答问题的序号．如物理题的序号为14，12，01；化学题的序号为32，24，31；生物题的序号为41，42. 本题在用抽签法解答时需将三类题的号签分开，分别抽取；用随机数法解答时则可以将三类题的序号同时抽取，只要把握每类题的抽取个数即可． 　 (1)应用抽签法抽样的关注点 ①利用抽签法抽取样本时，对个体的编号问题可视情况灵活处理，若个体没有编号，应先编号；若个体已有编号，如考号、学号、序号等，可不必重新编号． ②号签一定要大小、形状、质地完全相同． ③号签制好后一定要将其搅拌均匀，这样才能保证抽签的随机性、公平性． (2)利用随机数表抽样的关注点 ①编号要求位数相同． ②第一个数字的抽取是随机的． ③读数的方向是任意的，且要事先定好．读数时结合编号的位数读取． [跟踪训练4] 某省模拟考试，共有53.3万名考生报名参加．为了估计他们的数学平均成绩，从中逐个抽取2 000名考生的数学成绩作为样本进行统计分析，请回答以下问题： (1)本题中，总体、样本、样本容量各指什么？ (2)本题中，采用的抽样方法是简单随机抽样吗？如果是，请写出操作步骤． (3)假定考生甲参加了这次考试，那么他被选中的可能性有多大？ 解：(1)总体是指在模拟考试中，参加考试的53.3万名考生的数学成绩，样本是指被抽取的2 000名考生的数学成绩，样本容量是2 000. (2)采用的抽样方法是简单随机抽样．由于总体容量与样本容量都较大，应选择随机数法，操作步骤如下： ①以所有考生的准考证号按由小到大的顺序重新编号为000 001，000 002，000 003，…，533 000； ②用计算机随机生成一个6位随机数； ③如果这个6位数在000 001～533 000范围内，就代表对应编号的学生被抽中，如果编号有重复就剔除编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号的个数等于2 000. (3)考生甲被选中的可能性为＝. 1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　) A.与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最大 B.与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最小 C.与第几次抽样无关，每一次被抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关 解析：选C.在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同．故选C. 2．(2026·宜春月考)下列属于简单随机抽样的是(　　) A.从平面直角坐标系中抽取3个点作为样本 B.从80件玩具中一次性抽取5件作为样本 C.从某校3 000名学生中随机抽取50名进行视力调查 D.从10个球(2个白球和8个黑球)中依次取出2个白球 解析：选C.平面直角坐标系中有无数个点，A错误；一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，B错误；从3 000名学生中随机抽取50名进行视力调查，符合简单随机抽样的特点，C正确；只抽取白球，个体被抽到的概率不相等，不符合简单随机抽样的特点，D错误． 3．(教材P159T2改编)现在有一种够级游戏，其用具为四副扑克牌，包括大小王(又为花)在内共216张牌，参与人数为6，并坐成一圈．够级开始时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，根据这张牌上的数字来确定抓牌先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，则这种抓牌方法________________________简单随机抽样．(填“是”或“不是”) 解析：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，所以不是简单随机抽样． 答案：不是 4．(教材P157T1改编)某市通过电话进行民意调查．该市的电话号码有7位，其中前两位为区域代码，只能由2，3，5，7中的任意两位数组成(数字可重复)，后5位取自0～9十个数字，现在任意选择3个区域，每个区域随机选取5个号码进行调查，请你设计一种抽取方案选出这15个电话号码． 解：第一步：列出只能由含2，3，5，7的任意两位数组成的区域代码，共16个，用抽签法随机抽取3个； 第二步：制作一张00 000～99 999的随机数表，方法是用抽签法或计算机生成法产生若干个0～9之间的随机整数，5个一组，构成00 000～99 999之间的随机数； 第三步：用随机数表产生随机数的方法选出15个5位数即为所选号码，分成3组； 第四步：一组前加上用抽签法选出的第一个区域代码，第2，3组前分别加上选出的第2，3个区域代码． 　 1．已学习：随机抽样与简单随机抽样的概念． 2．须贯通：能够利用抽签法和随机数法进行方案设计、抽取样本． 3．应注意：利用随机数表产生随机数的方法，抽样时的编号问题． 学科网（北京）股份有限公司 $