第5章 2 实际问题中的函数模型-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦“实际问题中的函数模型”核心知识点，系统梳理一次、反比例、二次、指数型等函数模型，通过函数图象刻画、已知模型应用例题，逐步过渡到自建确定性模型（如光伏电站成本问题）和拟合模型（如服装销售数据拟合），构建从基础回顾到实际应用的学习支架。 该资料以龟兔赛跑、物种繁殖等真实情境案例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过模型选择与性质分析（如二次函数求最值）培养数学思维，以函数解析式表达实际问题（如用对数函数估计繁殖时间）发展数学语言。课中助力教师分层教学，课后跟踪训练帮助学生查漏补缺。

§ 2　实际问题中的函数模型 新课导入 学习目标 　　函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律．如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题，建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而更好地去把握和分析问题，使实际问题得以解决． 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2．能自建确定性函数模型解决实际问题． 3．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性． 知识点一　实际问题的函数刻画 思考　回忆一下所学过的函数模型有哪些？ 提示： 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例 函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)　 二次函 数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型 函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型 函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数 型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 角度1　用函数图象刻画实际问题 [例1] (1)“龟兔赛跑”是一则经典的寓言故事：兔子与乌龟在赛道上比赛跑步，跑了一段后，兔子领先太多就躺在赛道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点．请根据故事选出符合“龟兔赛跑”的路程—时间图象(　　) (2)如图是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱体容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为(　　) 【解析】　(1)由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快．故选C. (2)由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，排除C，D；圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大．故选B. 【答案】　(1)C　(2)B 角度2　已知函数模型解决实际问题 [例2] (2026·江苏月考)若某物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需要的平均时间，对数函数模型K(n)＝λlog3n(λ为常数)可描述该物种累计繁殖数量n与经过时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1.根据现有数据得出Q＝6，T＝60，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.20天　 B．21天　 C．22天　 D．23天 【解析】　因为Q＝＋1，Q＝6，T＝60，所以λ＝12.设初始时间为K1，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为K2，则K2－K1＝12log3(8n)－12log3n＝12log38＝12×＝12×≈23天，所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为23天． 【答案】　D 　 用函数刻画实际问题的要点 (1)用函数图象刻画实际问题，要挖掘图象中的关键信息，结合题中的语言叙述，将图象信息转化为数字特征(单调性、最值等). (2)已知函数模型解决实际问题，先用待定系数法求出函数解析式，再结合题意研究函数性质． [跟踪训练1] (1)(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　) A.图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B.图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C.图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D.图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 解析：选BC. 由题图1可设y关于x的函数为y＝kx＋b(k>0，b<0)，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本；由题图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由题图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC. (2)某实验员在培养皿(足够大)中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经过1小时培养，真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A.640 B．1 280 C.2 560 D．5 120 解析：选C.因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×2t.当t＝8时，真菌个数为y＝10×28＝2 560.　 知识点二　用函数模型解决实际问题 角度1　构建函数模型解决实际问题 [例3] (对接教材例5)某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网．修建光伏电站的费用(单位：万元)与光伏电站的太阳能面板的面积x(单位：m2)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为x(单位：m2)时，该合作社每年消耗的电费为(单位：万元，k为常数).记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为F(x)(单位：万元). (1)求F(x)； (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使F(x)最小？并求出最小值． 【解】　(1)由题意可得，当x＝0时，＝24，则k＝1 200，所以F(x)＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0. (2)由(1)得F(x)＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6≥2－6＝90， 当且仅当＝0.12(x＋50)，即x＝350时，等号成立， 即该合作社应修建面积为350 m2的太阳能面板，可使F(x)最小，且最小值为90万元． 角度2　建立拟合函数模型解决实际问题 [例4] 某学习小组在暑期社会实践活动中通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：百元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数).日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(单位：百元)的最小值． 【解】　(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由题表中的数据知，当时间增加时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b. 从题表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋).经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋). (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x)＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.从而该服装的日销售收入的最小值为121百元． 　 (1)构建函数模型求解实际问题的步骤 (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①根据原始数据、表格，绘出散点图； ②通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数； ⑤利用选取的拟合函数进行预测； ⑥利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [跟踪训练2] (1)有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为____________m2.(围墙厚度不计) 解析：设每个小矩形的宽为a m，则长为b＝(360－4a)m，记面积为S m2. 则S＝3ab＝a·(360－4a)＝－4a2＋360a＝－4(a－45)2＋8 100(0<a<90). 所以当a＝45时，Smax＝8 100(m2)， 所以所围场地面积的最大值为8 100 m2. 答案：8 100 (2)科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶中，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1 s后染料扩散的体积是1 cm3，2 s后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y(单位：cm3)与时间x(单位：s)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlog3x＋b，其中m，b均为常数，且m＞0. (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积不小于5 cm3，至少需要多少秒？ 解：(1)因为函数y＝m·3x中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越快，而函数y＝mlog3x＋b中，y随x的增长而增长，但增长的速度越来越慢， 又染料扩散的速度是先快后慢，所以选模型②更合适，即y＝mlog3x＋b. 由题意可得 解得 则y＝2log23·log3x＋1＝2log2x＋1，所以该模型的解析式为y＝2log2x＋1. (2)由题意知y＝2log2x＋1≥5，则有2log2x≥4， 所以log2x≥2，所以x≥4，所以至少需要4 s． 1．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(　　) A.6 B．5 C.4 D．3 解析：选C.设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N＋)年后，剩余量是y.则有y＝，依题意得≤，整理得22x≥100，解得x≥4，所以至少需要的年数是4.故选C. 2．已知某种树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年，t∈N＋)满足如下的逻辑斯谛增长模型：f(t)＝，其中e为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为(　　) A.2年 B．3年 C.4年 D．5年 解析：选C.由题意可得，令f(t)＝＝3，即1＋e-0.5t+2＝2，解得t＝4.故选C. 3．(2026·吉安月考)某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋19x和y2＝6x，其中x(x∈N)为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为________元． 解析：设该商店销售A商品x袋，则销售B商品(20－x)袋， 所以可获得的利润y＝－x2＋19x＋6(20－x) ＝－x2＋13x＋120＝－＋， 因为x∈[0，20]，x∈N，所以当x＝6或x＝7时，利润最大，最大利润为162元． 答案：162 4．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2 h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat(t≥2，a>0且a≠1，k，a是常数)的图象，且A(2，8)，B(4，2). (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1 μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ 解：(1)当0≤t<2时，y＝4t， 当t≥2时，把A(2，8)，B(4，2)代入y＝kat(t≥2，a>0且a≠1，k，a是常数)， 得 解得 所以y＝ (2)设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中t≥2. 则32×()t≥1，解得t≤5，所以第一次注射药物最迟5 h后开始第二次注射药物，即最迟当天下午1点注射药物． 　 1．已学习：几种实际问题的函数刻画． 2．须贯通：利用函数的性质，分析数据拟合与函数建模的优劣． 3．应注意：实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $