第2章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦函数奇偶性与单调性核心知识点，系统梳理从奇偶性定义（奇函数f(-x)=-f(x)、偶函数f(-x)=f(x)）到性质（奇函数对称区间单调性一致、偶函数相反），再到应用（求解析式、比较大小、解不等式）的知识脉络，搭建完整学习支架。 资料通过基础判断（如第1题奇偶性与单调性辨析）、综合应用（如第5题结合奇偶性与单调性证代数式大于0）分层设计题目，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（规范论证）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生自查自纠，弥补知识盲点。

1．下列函数是奇函数，且在区间(－∞，0)上单调递减的是(　　) A．y＝2x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝－x2 解析：选C.对于A选项，y＝2x是奇函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，不符合题意； 对于B选项，y＝|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，不符合题意； 对于C选项，y＝是奇函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，符合题意； 对于D选项，y＝－x2是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，不符合题意． 2．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则(　　) A．f(－)<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f(－)<f(2) C．f(2)<f(－1)<f(－) D．f(2)<f(－)<f(－1) 解析：选D.由偶函数知f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，0]上单调递增且－2<－<－1， 所以f(－2)<f(－)<f(－1)， 即f(2)<f(－)<f(－1). 3．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则它在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增且有最大值－5 B．单调递增且有最小值－5 C．单调递减且有最大值－5 D．单调递减且有最小值－5 解析：选A.因为函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且有最小值5，所以f(3)＝5，又f(x)为奇函数，所以函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5. 4．(2026·重庆期中)已知函数f(x)是定义在[－4，a－1]上的偶函数，在[－4，0]上单调递增．若f＜f(－2)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－3，1) C．[－5，－3)∪(1，3] D．[－3，1)∪(3，5] 解析：选C.因为f(x)为偶函数，所以－4＋a－1＝0，即a＝5，又f(x)在[－4，0]上单调递增，所以f(x)在[0，4]上单调递减．而f＜f(－2)，即f(x＋1)＜f(－2)，故2<|x＋1|≤4，解得－5≤x＜－3或1＜x≤3. 5．已知f(x)＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值　(　　) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 解析：选A.因为f(x)＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， 所以f(x)＝x3＋2x是R上的奇函数， 又y＝x3在R上单调递增，y＝2x在R上单调递增，所以f(x)＝x3＋2x在R上单调递增， 又因为a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0， 所以a>－b，c>－a，b>－c， 所以f(a)>f(－b)，f(c)>f(－a)，f(b)>f(－c)， 所以f(a)>－f(b)，f(c)>－f(a)，f(b)>－f(c)， 所以f(a)＋f(c)＋f(b)>－f(b)－f(a)－f(c)， 所以2[f(a)＋f(c)＋f(b)]>0， 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0. 6．(多选)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－3，则下列说法正确的是(　　) A．当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3 B．f(0)＝－3 C．当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3 D．f(－2)＝3 解析：选CD.当x＝0时，f(0)＝0，选项B错误；函数y＝f(x)是R上的奇函数，故f(－x)＝－f(x).当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝x2＋2x－3＝－f(x)，故f(x)＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2＜0，故f(－2)＝－4＋4＋3＝3，故D正确． 7．已知函数f(x)＝为奇函数，且f(3)＝6，则函数f(x)的解析式为___________________． 解析：因为函数f(x)＝为奇函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f(－x)＝－f(x)，即＝－恒成立，所以n＝0， 又f(3)＝＝6， 所以m＝1，所以f(x)＝. 答案：f(x)＝ 8．若函数f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________________．　 解析：当m＝1时，f(x)＝6x＋2不是偶函数，不合题意； 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，所以－＝0，即m＝0， 所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减． 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－2)＝f(2)，又0<1<2， 所以f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2). 答案：f(－2)<f(1)<f(0) 9．(2026·南阳月考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________． 解析：由题意得f(－x)＋g(－x)＝，则有 两式相减得2f(x)＝＋＝， 所以f(x)＝，g(x)＝. 答案：　 10．(13分)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋3x. (1)求当x<0时，函数f(x)的解析式；(5分) (2)若函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)由题意得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋3(－x)]＝x2＋3x， 所以当x<0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋3x. (2)当x>0时，函数f(x)＝－x2＋3x在上单调递减， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋3x在上单调递减， 而函数f(x)在[a－1，a＋1]上单调递减，则a＋1≤－或a－1≥， 解得a≤－或a≥，所以实数a的取值范围是或. 11．(2026·焦作月考)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　) A．0 B．3 C．6 D．9 解析：选A.因为函数f(x)的图象关于y轴对称，且其图象与x轴有9个交点，所以f(0)＝0且其余四对交点关于原点对称，所以方程f(x)＝0的所有实根之和是0. 12．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____________． 解析：f(x)＝＝2＋， 设g(x)＝，则x∈R， g(－x)＝＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 设g(x)的最大值为N，则最小值为－N， 则M＝2＋N，m＝2－N， 所以M＋m＝4. 答案：4 13．(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝－x2－2x. (1)求函数f(x)(x∈R)的解析式；(6分) (2)函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．(9分) 解：(1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2(－x)＝－x2＋2x， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝x2－2x，f(0)＝0， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)由题意得，g(x)＝f(x)－2ax＋2＝x2－2x－2ax＋2＝x2－(2＋2a)x＋2(x∈[1，2])， 二次函数图象的对称轴为直线x＝a＋1，开口向上， 当2≤a＋1，即a≥1时，函数g(x)在[1，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝2－4a； 当a＋1≤1，即a≤0时，函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝1－2a； 当1<a＋1<2，即0<a<1时，g(x)在[1，a＋1]上单调递减，在[a＋1，2]上单调递增，g(x)min＝g(a＋1)＝－a2－2a＋1. 综上，当a≥1时，g(x)min＝2－4a， 当0<a<1时，g(x)min＝－a2－2a＋1， 当a≤0时，g(x)min＝1－2a. 14．(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x)＝. (1)求函数f(x)在(－∞，0)上的解析式；(4分) (2)用定义证明f(x)在(－∞，0)上的单调性，并求函数f(x)的值域；(5分) (3)解关于x的不等式f(2x－1)>f(1－x).(6分) 解：(1)因为f(x)是偶函数， 所以当x<0时，－x>0， f(x)＝f(－x)＝＝， 所以f(x)＝(x<0). (2)设x1，x2是(－∞，0)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 又x1<x2<0， 所以x2－x1>0，x1－4<0，x2－4<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减， 又f(x)是偶函数，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0，又f(x)＝＝＝4－<4， 所以函数f(x)的值域是[0，4). (3)因为f(x)是偶函数，则不等式f(2x－1)>f(1－x)化为f(|2x－1|)>f(|x－1|)， 又f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以|2x－1|>|x－1|， 所以(2x－1)2>(x－1)2，即3x2－2x>0，解得x<0或x>，所以不等式的解集为(－∞，0)∪. 15．已知函数f(x)，g(x)是定义在R上的函数，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ax2－x，若对于任意x1>x2>1，都有>2，则实数a的取值范围为____________． 解析：由题意得 ⇒ ⇒ 因为对于任意x1>x2>1，都有>2， 所以对于任意x1>x2>1，都有g(x1)－2x1>g(x2)－2x2， 设h(x)＝g(x)－2x＝ax2－2x，得h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 当a＝0时，h(x)＝－2x在(1，＋∞)上单调递减，不符合题意； 当a≠0时，解得a≥1. 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞). 答案：[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $