16.3.2完全平方公式课件2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过回顾多项式乘法法则和添括号法则，结合几何面积验证与代数计算推导公式，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式结构特征及应用。 其亮点在于融合数形结合思想（如用面积法验证公式）和从一般到特殊的推理（探究多项式乘积规律），培养几何直观和推理意识。通过例题变式（如x²+y²=(x+y)²-2xy）强化模型意识，学生能发展抽象能力，教师可借助完整探究链条提升教学效率。

16.3.2 完全平方公式 1 学习目标 1.会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算； 2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想； 3.在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问题的方法； 4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美. 完 全 平 方 公 式 一级标题：黑体， 2 复习回顾 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+q) =ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘的法则 一级标题：黑体， 3 问题 a＋(b＋c)＝ __________； a－(b＋c)＝ __________. a＋b＋c a－b－c 反过来，就得到： a＋b＋c＝ __________； a－b－c＝ __________. a＋(b＋c) a－(b＋c) ③ ④ ② ① 去括号： 添括号法则 从等式左右两边的项数、括号前的符号、括到括号里的各项的符号等方面观察③和④，你能发现什么？ 归纳 （1）形式上从无括号变为有括号； （2）等式左右两边的项数没变； （3）括号前面的符号没变； （4）括号前面是正号，括到括号里的各项符号不变； （5）括号前面是负号，括到括号里的各项符号都改变了． a＋b＋c＝ __________； a－b－c＝ __________. a＋(b＋c) a－(b＋c) 5 新知 a＋b＋c＝a＋(b＋c)； a－b－c＝a－(b＋c)． 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 去括号法则反过来就是添括号法则： 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 a a b b 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= . p2–2p+1 (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= . m2–4m+4 问题1： 学生活动 【一起探究】 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 问题2： (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央” 完全平方公式 探索新知 思考 (a＋b)2 与 (－a－b)2 相等吗？ (a－b)2 与 (b－a)2 相等吗？ (a－b)2 与 a2－b2 相等吗？ 相等 相等 不一定相等 分析一：(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a) ·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； 分析二：(－a－b)2＝[－(a＋b)]2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2； 分析一：(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2； 分析二：(b－a)＝－(a－b) ∴ (b－a)2＝[－(a－b)]2＝(－1)2(a－b)2＝(a－b)2； 只有当 b＝0 或 a＝b 时， (a－b)2＝a2－b2 . 探索新知 添括号法则 a ＋ (b ＋ c) ＝______________； a － (b ＋ c) ＝_______________. a ＋ b ＋ c ＝ a ＋ (b ＋ c)； a － b － c ＝ a － (b ＋ c). 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则： a ＋ b ＋ c a － b － c 添括号时，如果括号前面是_____，括到括号里的各项都_________； 正号 不变符号 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号. 改变 例题练习 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； (2) 解：(1) (4m+n)2 =(4m)2+2(4m)n+n2 = 16m2+8mn+n2； (a+b)2=a2+2ab+b2 a2 +2ab b2 13 例题练习 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2 -2ab b2 (2) ( y  )2 = y22y +( )2 = y2  y + . 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； (2) 14 已知x＋y＝7，xy＝2.求：(1)x2＋y2的值； 例 解　∵x＋y＝7，xy＝2， ∴x2＋y2＝x2＋y2＋2xy－2xy ＝(x＋y)2－2xy ＝72－2×2＝49－4＝45. (2)(x－y)2的值. 解　(x－y)2＝x2＋y2－2xy＋2xy－2xy ＝x2＋y2＋2xy－4xy＝(x＋y)2－4xy ＝49－4×2＝41. 熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy. 反思感悟 随堂练习 灵活运用乘法公式计算： 已知(m+n+1)(m+n1)=63，则m+n= . 解：∵ (m+n+1)(m+n1) =(m+n)212=63 ∴(m+n)2=64 ∴m+n=8 8 注意： 添括号法则： 添 括 号 法 则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 有些整式相乘需要先通过添括号作适当变形，然后再灵活运用乘法公式计算. 18 1. 根据完全平方公式填空： (1)(x＋1)2＝x2＋2·x·1＋12＝ ⁠； (2)(－x＋1)2＝(－x)2＋2·(－x)·1＋12＝ ⁠； (3)(－2a－b)2＝(－2a)2＋2·(－2a)·(－b)＋(－b)2 ＝ ⁠. x2＋2x＋1　 x2－2x＋1　 4a2＋4ab＋b2　 2. 计算： (1)(5－a)2； 解：原式＝25－10a＋a2. (2)(－2m＋3)2； 解：原式＝4m2－12m＋9. (3)( x－5y)2；解：原式＝ x2－ xy＋25y2. 解：原式＝25－10a＋a2. 解：原式＝4m2－12m＋9. 解：原式＝ x2－ xy＋25y2. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”). 添括号法则 $