四川省达州市大竹县周家中学2026—2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题（北师大版八下全册+九上1-3章）

**基本信息** 四川省达州市大竹县周家中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题，满分150分，分A、B卷分层考查，A卷夯实基础（100分），B卷提升能力（50分），适配开学检测需求，融合几何直观、运算能力与模型意识，助力教师精准掌握学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|平行四边形判定、一元二次方程、相似三角形|结合几何图形性质，考查概念辨析与推理意识| |填空题|10题40分|方程配方、旋转、相似应用、最值问题|融入图形变换与计算，体现空间观念与运算能力| |解答题|8题78分|分式方程应用、图形变换、函数与几何综合|16题（葡萄进货）建模解决实际问题，18题（平行四边形综合）考查推理与几何直观，B卷26题（函数几何）体现应用意识与创新思维|

四川省达州市大竹县周家中学2026—2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列命题错误的是（　　） A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D． 3．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　） A． B．，∠A＝∠F C．，∠B＝∠E D．，∠A＝∠D 4．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 5．下列因式分解正确的是（　　） A．ab+ac+a＝a（b+c） B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．9a2+6a+1＝3a（3a+2）+1 D．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2 6．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A．18 B．8 C．10 D．9 7．如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（x﹣3）2＝　　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 　　 ． 11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　　 ． 12．如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD＝9cm，BD＝4cm，那么CD等于　　 cm． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解不等式组：； （2）化简：（a+1）． 15．解一元二次方程：（1）（x+1）2﹣144＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x2+5x+1＝0． 16．某水果店小明先用1600元购进一批葡萄，供不应求，又用8000元购进第二批这种葡萄，第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍，但单价比第一批贵2元/斤． （1）第一批葡萄的进货单价是多少元/斤？ （2）若两批购进的葡萄都按同一价格销售，两批葡萄全部售完后，获利不少于2400元，那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤？ 17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系xOy，△ABC在第二象限内，且顶点A、B、C均在格点上． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）若P是y轴上一点，使得PB1+PB2最小，则点P的坐标是 　　 ；A到BC的距离是 　　 ． 18．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝60°，以AD为边向下作等边△ADE，F是AD上一点，AB＝AF，连接CF，作∠GFC＝60°，且GF与AE交于点G，连接CG． （1）求证：△AFG≌△DCF； （2）若∠GCB＝45°，试判断CF，DE的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若CF，求平行四边形ABCD的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知：a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b﹣1＝　　 ． 20．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C　　 m． 21．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的最大整数值为 　　 ． 22．如图，将菱形OABC放置于平面直角坐标系中，边OA与x轴正半轴重合，D为边OC的中点，点E，F，G分别在边OA，AB与BC上，若∠COA＝60°，OA＝4，则当四边形DEFG为菱形时，点G的坐标为　　 ． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACB＝30°，P，Q分别为对角线AC边CD上的两点，且AP＝CQ，BP+BQ的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 25．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当α＝0°时，　　 ；②当α＝180°时，　　 ． （2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 26．如图，直线y＝kx﹣4k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝8． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请直接写出点H的坐标． 参考答案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列命题错误的是（　　） A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解答】解：A、首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项错误，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意； 故选：B． 2．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．x3+1＝x2 B．x2+x﹣1＝0 C．x﹣3＝0 D． 【解答】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意； C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　） A． B．，∠A＝∠F C．，∠B＝∠E D．，∠A＝∠D 【解答】解：A、当时，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合题意； B、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合题意； C、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合题意； D、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故D符合题意； 4．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x﹣3＝0且2x﹣5≠0， 解得x＝3， 故选：B． 5．下列因式分解正确的是（　　） A．ab+ac+a＝a（b+c） B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．9a2+6a+1＝3a（3a+2）+1 D．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2 【解答】解：A、ab+ac+a＝a（b+c+1），故该选项不符合题意； B、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），故该选项符合题意； C、9a2+6a+1＝（3a+1）2，故该选项不符合题意； D、a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，故该选项符合题意； 故选：D． 6．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A．18 B．8 C．10 D．9 【解答】解：∵D、E分别是BC、CA的中点， ∴DEAB＝2，ECAC＝3，CDCB＝4， ∴△DEC的周长＝2+3+4＝9， 故选：D． 7．如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 【解答】解：在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集， 观察图象可知：不等式的解集为：0＜x＜1， 故选：B． 8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AB＝m， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA＝m，∠BAE＝∠D＝90°， ∵2， ∴AEDAm， ∵AF⊥BE于点G， ∴∠AGE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠AEB， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴DF＝AEm， ∴AFm， ∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF， ∴△GAE∽△DAF， ∴， ∴AGADm， ∴GF＝AF﹣AGmmm， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（x﹣3）2＝　15　 ． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣6＝0， ∴x2﹣6x＝6， 则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15． 故答案为：15． 10．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 　　 ． 【解答】解：在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2， ∴∠C＝90°， 连接BD， 由作图知MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵∠C＝90°， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴（AC﹣CD）2＝BC2+CD2， ∴（8﹣CD）2＝62+CD2， ∴CD； 故答案为：． 11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是 　115°　 ． 【解答】解：由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠CAE＝45°， ∵∠ACD＝70°， ∴∠DCE＝20°， ∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°， 故答案为115°． 12．如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD＝9cm，BD＝4cm，那么CD等于　6　 cm． 【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90° ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴， ∴CD＝6． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝　2.4　 ． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBF， ∵∠A＝90°，∠CFB＝90°， ∴△ABE∽△FCB， ∴， ∵AB＝2，BC＝3，E是AD的中点， ∴BE＝2.5， ∴， 解得：FC＝2.4． 故答案为：2.4． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（1）解不等式组：； （2）化简：（a+1）． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＜﹣7， 所以不等式组的解集是x＜﹣7； （2）（a+1） • • • ＝2（a﹣2） ＝2a﹣4． 15．解一元二次方程：（1）（x+1）2﹣144＝0； （2）x2﹣4x+3＝0； （3）x2+5x+1＝0． 【解答】解：（1）（x+1）2﹣144＝0， （x+1）2＝144， x+1＝±12， ∴x1＝11，x2＝﹣13； （2）x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0，x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （3）x2+5x+1＝0， a＝1，b＝5，c＝1， ∴Δ＝25﹣4×1×1＝21＞0， ∴x， ∴x1，x2． 16．某水果店小明先用1600元购进一批葡萄，供不应求，又用8000元购进第二批这种葡萄，第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍，但单价比第一批贵2元/斤． （1）第一批葡萄的进货单价是多少元/斤？ （2）若两批购进的葡萄都按同一价格销售，两批葡萄全部售完后，获利不少于2400元，那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤？ 【解答】解：（1）设第一批葡萄的进货单价为x元/斤，则第二批进货单价为（x+2）元/斤， 依题意，得：4， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意． 答：第一批葡萄的进货单价为8元/斤． （2）第一批购进数量为1600÷8＝200（斤）， 第二批购进数量为200×4＝800（斤）． 设葡萄的销售单价为y元/斤， 依题意，得：（200+800）y﹣1600﹣8000≥2400， 解得：y≥12． 答：葡萄的销售单价至少为12元/斤． 17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系xOy，△ABC在第二象限内，且顶点A、B、C均在格点上． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）若P是y轴上一点，使得PB1+PB2最小，则点P的坐标是 　（0，﹣1）　 ；A到BC的距离是 　　 ． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）如图所示，点P即为所求，P（0，﹣1）， ∵，BC， 设A到BC的距离是h， 则， ∴h， 故答案为：（0，﹣1），． 18．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝60°，以AD为边向下作等边△ADE，F是AD上一点，AB＝AF，连接CF，作∠GFC＝60°，且GF与AE交于点G，连接CG． （1）求证：△AFG≌△DCF； （2）若∠GCB＝45°，试判断CF，DE的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若CF，求平行四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°，即∠FAG＝∠CDF， ∴∠AFG+∠AGF＝120°， ∵∠CFG＝60°， ∴∠AFG+∠DFC＝120°， ∴∠AGF＝∠DFC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵AB＝AF， ∴AF＝CD， 在△AFG和△DCF中， ， ∴△AFG≌△DCF（AAS）； （2）解：DECF，理由如下： 如图，过点G作GH⊥BC于点H， 由（1）知，△AFG≌△DCF， ∴FG＝CF， ∵∠CFG＝60°， ∴△CFG为等边三角形， ∴FG＝CG，∠CGF＝60°， ∴∠AGF+∠CGE＝120°， ∵△ADE为等边三角形， ∴∠FAG＝∠GEC＝60°， ∴ECG+∠CGE＝120°， ∴∠AGF＝∠ECG， 在△AFG和△EGC中， ， ∴△AFG≌△EGC（AAS）， ∴AG＝CE， ∵GC⊥BC，∠GCB＝45°， ∴△CHG为等腰直角三角形，GH＝CH， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CKE＝∠DAE＝60°，∠KCE＝∠ADE＝60°， ∴△CKE为等边三角形， ∴CE＝CK＝KE＝AG，∠CKE＝60°， ∴∠GKH＝∠CKE＝60°， 在Rt△GKH中，∠HGK＝30°， ∴GK＝2HK，GHHK， 设HK＝a， ∴GK＝2a，GH＝CHa， ∴CF＝CGGHa， ∴CE＝AG＝KE＝CK＝CH﹣HKa﹣a＝（1）a， ∴DE＝AE＝AG+GK+KE＝（1）a+2a+（1）a＝2a， ∴， ∴DECF； （3）解：如图，过点C作CM⊥AD于点M， 由（2）知，CFa， ∵CF＝2， ∴a＝2， ∴AD＝DECF24， 由（2）知，△AFG≌△EGC， ∴AF＝EG， ∵CD＝AB＝AF， ∴CD＝EG＝GK+KE＝2a+（1）a＝2+2， ∵∠D＝60°， ∴∠DCM＝30°， ∴DMCD1， ∴CMDM＝3， ∴S▱ABCD＝AD•CM＝4（3）＝1212． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知：a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b﹣1＝　3　 ． 【解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a＝b+2， ∴a2﹣b2﹣4b﹣1， ＝（b+2）2﹣b2﹣4b﹣1， ＝3， 故答案为：3． 20．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C　2.5　 m． 【解答】解：∵AD∥BE， ∴△BCE∽△ACD， ∴，CD＝CE+ED＝4+5＝9，AC＝BC+AB＝BC+2， ∴． 解得BC＝2.5． 故答案为：2.5． 21．关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的最大整数值为 　0　 ． 【解答】解：根据题意得1﹣a≠0且Δ＝22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0， 解得a且a≠1． 所以a的取值范围为a且a≠1， 故最大整数为0． 故答案为：0． 22．如图，将菱形OABC放置于平面直角坐标系中，边OA与x轴正半轴重合，D为边OC的中点，点E，F，G分别在边OA，AB与BC上，若∠COA＝60°，OA＝4，则当四边形DEFG为菱形时，点G的坐标为　（3，2）　 ． 【解答】解：过D作MN⊥OA于N，交BC的延长线于M，连接DF、EG，交于点H， ∵四边形ABCO是菱形， ∴BM∥OA， ∴∠M＝∠OND＝90°， ∵OD＝DC，∠ODN＝∠MDC， ∴△ODN≌△CDM（AAS）， ∴DN＝DM， ∵OA＝OC＝4， ∴OD＝2， Rt△DON中，∠DON＝60°， ∴∠ODN＝30°， ∴ON，DN， ∴MN＝2DN＝2， ∵四边形DEFG是菱形， ∴DF⊥EG，DH，DG＝DE， ∴Rt△DMG≌Rt△DNE（HL）， ∴MG＝EN， ∵MG∥EN，∠M＝90°， ∴四边形MNEG为矩形， ∴EG⊥BM，EG＝MN＝2， ∵BC∥OA，DF⊥EG，EG⊥BC， ∴DF∥OA∥BC， ∵OD∥AF， ∴四边形DOAF是平行四边形， ∴DF＝OA＝4， ∴DH＝ENDF＝2， ∴OE＝ON+EN＝3， ∴G（3，2）， 故答案为：（3，2）． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACB＝30°，P，Q分别为对角线AC边CD上的两点，且AP＝CQ，BP+BQ的最小值为 　2　 ． 【解答】解：在AC上截取CH＝AB＝2，延长BC至G，使得CG＝BC，连接FG、HG，过点H作HM⊥BC于M， 在矩形ABCD中，AB∥CD，∠BCQ＝90°， ∴∠BAP＝∠HCQ， 在△ABP与△CHQ中， ， ∴△ABP≌△CHQ（SAS）， ∴BP＝HQ， ∵BC＝CG，∠BCQ＝90°， ∴CQ垂直平分BG， ∴BQ＝QG， ∴BP+BQ＝HQ+QG≥HG， ∵∠ACB＝30°， ∴HMCH＝1，AC＝2AB＝4， ∴CM，BC2， ∴MG＝CM+CG＝3， ∴HG2， ∴BP+BQ的最小值为2． 故答案为：2． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）x， 解得x1＝k+1，x2＝k， 即AB、AC的长为k+1，k， 当k+1＝5时，即k＝4，三角形三边长分别为5、5、4； 当k＝5时，三角形三边长分别为5、5、6； 综上所述，k的值为4或5． 25．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当α＝0°时，　　 ；②当α＝180°时，　　 ． （2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 【解答】解：（1）①当α＝0°时， ∵Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴AC， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴， ∴． ②如图1， ， 当α＝180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴． 故答案为：． （2） 如图2， ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化， ∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3） ①如图3， ， ∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD， ∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，， ∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE2， ∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6， 由（2），可得 ， ∴BD． 综上所述，BD的长为4或． 26．如图，直线y＝kx﹣4k（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，过点A、B作直线AB，以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC，S△AOB＝8． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE； ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请直接写出点H的坐标． 【解答】解：（1）分别将x＝0，y＝0代入y＝kx﹣4k（k≠0）， 得y＝﹣4k，x＝4， 即A（0，﹣4k），B（4，0）， ∴OA＝﹣4k，OB＝4， ∵， ∴k＝﹣1， 即A（0，4），B（4，0）． 答：A（0，4），B（4，0）． （2）①点E是在定直线上． 过点E作EF⊥x轴，如图，矩形AOBC 由题意可得：∠AOD＝∠DFE＝∠ADE＝90°， ∴∠ADO+∠EDF＝∠ADO+∠OAD＝90°， ∴∠OAD＝∠EDF， ∴△AOD≌△DFE（AAS）， ∴DF＝OA＝4，EF＝OD， ∴BF＝DF﹣DB＝OA﹣DB＝OB﹣DB＝OD， ∴EF＝BF， 设E（x，y），则D（y，0），F（x，0）， 由题意可得：OF＝OD+DF＝OD+OA， 即y＝x﹣4， ∴点E在定直线y＝x﹣4上． ②连接AE，由题意可得△ADE为等腰直角三角形，∠DAE＝45°， ∵四边形OACB为正方形， ∴∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠EAC＝∠BAD，此时点H与点E重合， 由①可得E（6，2）， ∴H（6，2）， 设直线AE为y＝kx+b，将E（6，2）、A（0，4）代入， 得， 解得， ∴直线AE为， 当x＝4时，， ∴， 作点M关于直线AC的对称点N， ∴， 此时∠NAC＝∠EAC＝∠BAD， ∴点H为直线AN与BE的交点， ∴直线AN为， 联立， 解得， ∴H（12，8）． 解法2：E点关于AC的对称点为（6，6）， ∴直线AE'的解析式为yx+4， 联立， 解得， ∴H（12，8）． 综上，点H坐标为（12，8）或（6，2）． 学科网（北京）股份有限公司 $