1.2集合间的基本关系(讲义) -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统讲解子集、真子集、集合相等及空集的含义，结合Venn图直观表示包含关系，推导含n个元素集合的子集个数公式，并强化含参数问题的“空集优先”分类讨论。通过知识回顾衔接上一讲元素与集合的关系，构建从元素到集合整体关系的学习支架。 资料以新知导图梳理知识脉络，设计分层题型训练（如含参数集合关系例题及变式），培养学生数学思维（逻辑推理、分类讨论）和数学语言（符号准确运用、Venn图表达）。课中辅助教师高效授课，课后通过巩固检测卷帮助学生夯实基础、提升能力，有效查漏补缺。

第 02 讲 集合间的基本关系 ▶ 预习目标 ● 1．理解子集、真子集、集合相等、空集的含义，能用符号 、、 准确表示集合间关系。 ● 2．会用 Venn 图（韦恩图）直观表示集合间的包含关系。 ● 3．掌握含 个元素的集合其子集、真子集、非空真子集的个数公式。 ● 4．能在含参数的集合关系问题中，熟练进行“空集优先”的分类讨论。 ▶ 知识回顾 上一讲我们认识了集合与元素，本讲研究“集合与集合”的关系： ● 元素与集合是“属于 / 不属于 ”的点对集合关系； ● 集合与集合则是“包含 / 真包含 / 相等 ”的整体对整体关系； ● 判断集合关系，核心是比较两个集合的元素是否一致或谁的范围更大。 ▶ 新知导图 集合间关系 子集 、真子集 、相等 空集 任何集合的子集；任何非空集合的真子集 个数公式 元集有 个子集、 个真子集、 个非空真子集 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 子集与 Venn 图 若集合 的每一个元素都是集合 的元素，就说 是 的子集，记作 （读作“ 包含于 ”）或 。用 Venn 图表示时， 的圆完全在 的圆内部。规定：空集是任何集合的子集，即对任意集合 都有 。 ◆ 知识点 02 真子集 若 且 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 。特别地，空集是任何非空集合的真子集。注意：任何集合都是它自身的子集，但不是自身的真子集。 ◆ 知识点 03 集合相等 若 且 ，则集合 与 相等，记作 。反之，若 ，则必有 且 。判断两集合相等，常用“相互包含”来证明。 ◆ 理解提示 “包含”看范围，“属于”看点是否在圈里，二者不可混用： 正确，但 只在 恰含空集这个元素时才成立。 ◆ 知识点 04 子集个数公式 含有 个元素的集合，其子集共有 个（每个元素“在子集中”或“不在子集中”两种选择）；真子集有 个（去掉集合自身）；非空真子集有 个（再去掉空集）。当 为空集时， 只有 个子集（自身），没有真子集。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 下列写法中，表示“空集是任何集合的子集”的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 已知 ，，则 与 的关系是 ________（填“”“”或“”）。 【例 2】 集合 的所有真子集的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 集合 的子集个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 已知集合 有 个元素，则 的非空真子集个数为 ________。 【变式 2-3】 （多选）已知集合 有 个元素，则下列说法正确的是（ ） A．子集共有 个 B．真子集共有 个 C．非空真子集共有 个 D．非空子集共有 个 【例 3】 已知集合 ，，则集合 的子集个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 集合 中，含有元素 的子集共有 ________ 个。 【变式 3-2】 已知集合 ，则 的真子集个数为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 若集合 满足 且 ，则这样的集合 共有 ________ 个。 【例 4】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值可以是（ ） A． B． C． D． 或 【变式 4-1】 集合 ，，若 ，则 ________。 【变式 4-2】 已知集合 ，，且 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 【变式 4-3】 已知集合 ，，若 ，则 ________。 【例 5】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式 5-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为 ________。 【变式 5-2】 已知集合 ，，若 且 ，则 的一组值为 ________。 【变式 5-3】 已知集合 ，，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或使 的值 D．以上都不对 【例 6】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 与 无包含关系 【变式 6-1】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D．无包含关系 【变式 6-2】 已知集合 ，，则 与 的关系是 ________。 【变式 6-3】 （多选）下列集合关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【例 7】 已知集合 ，则其非空真子集的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式 7-1】 集合 的非空子集个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 7-2】 已知 ，则这样的集合 有 ________ 个。 【变式 7-3】 集合 的真子集个数是（ ） A． B． C． D． 【例 8】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式 8-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 ________。 【变式 8-2】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D．不存在 【变式 8-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【例 9】 定义“真扩集”：若 满足 且 ，则称 是 的真扩集。已知集合 ，在全集 中， 的真扩集个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式 9-1】 定义“邻集”：若集合 与 满足 且 ，则称 是 的邻集。集合 的邻集个数是（ ） A． B． C． D． 【变式 9-2】 （多选）定义集合的“增广”：。若 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式 9-3】 定义“幂集” 为 的所有子集组成的集合。若 ，则 ________。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2． 集合 的子集个数为（ ） A． B． C． D． 3． 已知集合 ，，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D．无包含关系 4． 已知集合 ，，若 ，则 ________。 5． （多选）下列写法正确的是（ ） A． B． C． D． 6． 集合 的非空真子集个数为（ ） A． B． C． D． 7． 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D．无关系 8． 已知集合 ，，若 ，则 ________。 9． 已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（ ） A． B． C． D． 10． 集合 的真子集个数是（ ） A． B． C． D． ◆ 能力提升 11． 已知集合 ，满足 的集合 有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 12． 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 13． （多选）已知集合 ，，若 且 ，则（ ） A． 可为 B． 可为 C． 可为 D． 可为 14． 已知集合 ，则其真子集个数为 ________。 15． 定义“覆盖集”： 满足 且 的元素个数恰为 （）。若 ，在全集 中 的覆盖集有 ________ 个。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 02 讲 集合间的基本关系 ▶ 预习目标 ● 1．理解子集、真子集、集合相等、空集的含义，能用符号 、、 准确表示集合间关系。 ● 2．会用 Venn 图（韦恩图）直观表示集合间的包含关系。 ● 3．掌握含 个元素的集合其子集、真子集、非空真子集的个数公式。 ● 4．能在含参数的集合关系问题中，熟练进行“空集优先”的分类讨论。 ▶ 知识回顾 上一讲我们认识了集合与元素，本讲研究“集合与集合”的关系： ● 元素与集合是“属于 / 不属于 ”的点对集合关系； ● 集合与集合则是“包含 / 真包含 / 相等 ”的整体对整体关系； ● 判断集合关系，核心是比较两个集合的元素是否一致或谁的范围更大。 ▶ 新知导图 集合间关系 子集 、真子集 、相等 空集 任何集合的子集；任何非空集合的真子集 个数公式 元集有 个子集、 个真子集、 个非空真子集 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 子集与 Venn 图 若集合 的每一个元素都是集合 的元素，就说 是 的子集，记作 （读作“ 包含于 ”）或 。用 Venn 图表示时， 的圆完全在 的圆内部。规定：空集是任何集合的子集，即对任意集合 都有 。 ◆ 知识点 02 真子集 若 且 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 。特别地，空集是任何非空集合的真子集。注意：任何集合都是它自身的子集，但不是自身的真子集。 ◆ 知识点 03 集合相等 若 且 ，则集合 与 相等，记作 。反之，若 ，则必有 且 。判断两集合相等，常用“相互包含”来证明。 ◆ 理解提示 “包含”看范围，“属于”看点是否在圈里，二者不可混用： 正确，但 只在 恰含空集这个元素时才成立。 ◆ 知识点 04 子集个数公式 含有 个元素的集合，其子集共有 个（每个元素“在子集中”或“不在子集中”两种选择）；真子集有 个（去掉集合自身）；非空真子集有 个（再去掉空集）。当 为空集时， 只有 个子集（自身），没有真子集。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 子集用 ， 元素均在 中，故 B 对；A 空集不是自身的真子集；C 元素是 不是 ；D 集合间是包含不是属于。 【变式 1-1】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 元素都在 中且 多一个 ，故 是 的真子集。 【变式 1-2】 下列写法中，表示“空集是任何集合的子集”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 规定对任意集合 都有 。 【变式 1-3】 已知 ，，则 与 的关系是 ________（填“”“”或“”）。 【答案】 【详解】 解 得 ，故 。 【例 2】 集合 的所有真子集的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 元集真子集有 个：。 【变式 2-1】 集合 的子集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 元集子集有 个。 【变式 2-2】 已知集合 有 个元素，则 的非空真子集个数为 ________。 【答案】 【详解】 非空真子集有 个。 【变式 2-3】 （多选）已知集合 有 个元素，则下列说法正确的是（ ） A．子集共有 个 B．真子集共有 个 C．非空真子集共有 个 D．非空子集共有 个 【答案】 ABC 【详解】 子集 ，真子集 ，非空真子集 ；非空子集为 ，D 错。 【例 3】 已知集合 ，，则集合 的子集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 含 个元素，子集有 个。 【变式 3-1】 集合 中，含有元素 的子集共有 ________ 个。 【答案】 【详解】 含 后剩余 个元素 任意取舍，共 个。 【变式 3-2】 已知集合 ，则 的真子集个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 的整数解为 ，故 含 个元素，真子集有 个。 【变式 3-3】 若集合 满足 且 ，则这样的集合 共有 ________ 个。 【答案】 【详解】 必含 ，再从 中任选，共 个：。 【例 4】 已知集合 ，，若 ，则实数 的值可以是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】 D 【详解】 需 ，故 或 （即 ）。检验： 时 ； 时 ； 时 ，均含 且元素互异，都满足。故 或 。 【变式 4-1】 集合 ，，若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 说明 ，代入 得 。 【变式 4-2】 已知集合 ，，且 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 【答案】 C 【详解】 ，代入 ；此时方程为 ，根为 ，含 ，满足。 【变式 4-3】 已知集合 ，，若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 代入得 。 【例 5】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 。当 时 成立；当 时 ，需 或 ，得 或 。故 。 【变式 5-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为 ________。 【答案】 【详解】 ； 方程可化为 ，根为 和 。 要求 或 （或两根重合 ），即 或 。注意 时 成立； 时 成立。 【变式 5-2】 已知集合 ，，若 且 ，则 的一组值为 ________。 【答案】 （或 等） 【详解】 为单根 时方程 ，； 时 ，。 【变式 5-3】 已知集合 ，，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． 或使 的值 D．以上都不对 【答案】 C 【详解】 。 时 满足； 时 且根为 。故 。 【例 6】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 与 无包含关系 【答案】 D 【详解】 ，。 含 ，故 ； 含 ，故 。两集合互不包含，选 D。 【变式 6-1】 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D．无包含关系 【答案】 B 【详解】 为 的倍数集， 为偶数集， 的倍数都是偶数，但偶数未必是 的倍数，故 。 【变式 6-2】 已知集合 ，，则 与 的关系是 ________。 【答案】 【详解】 大于 的数一定大于 ，但大于 的数不一定大于 （如 ），故 。 【变式 6-3】 （多选）下列集合关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】 空集是任何集合子集，且是非空集合真子集，故 A、B 对；C 显然对；（后者含元素 ），D 错。 【例 7】 已知集合 ，则其非空真子集的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 元集非空真子集有 个。 【变式 7-1】 集合 的非空子集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 非空子集有 个。 【变式 7-2】 已知 ，则这样的集合 有 ________ 个。 【答案】 【详解】 含 且真包含 ，即从 中至少取一个，共 个：。 【变式 7-3】 集合 的真子集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 方程解为 ，集合有 个元素，真子集 个。 【例 8】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需区间 ，即 且 ，得 且 。 【变式 8-1】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 需 且 ，即 。 【变式 8-2】 已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D．不存在 【答案】 D 【详解】 是长度为 的连续闭区间，若含于离散集 ，则 中每个元素都必须是 或 ；但连续区间必含 与 之间的实数（如 ），而 ，矛盾。故不存在这样的 。 【变式 8-3】 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ________。 【答案】 【详解】 需 。 【例 9】 定义“真扩集”：若 满足 且 ，则称 是 的真扩集。已知集合 ，在全集 中， 的真扩集个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】 A 【详解】 含 个元素，真扩集为含 且恰多 个元素的集合，须从全集补集 中取 个元素加入，共 个：。 【变式 9-1】 定义“邻集”：若集合 与 满足 且 ，则称 是 的邻集。集合 的邻集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 邻集需含 且恰多 个元素，从补集 取 个加入，共 个：。 【变式 9-2】 （多选）定义集合的“增广”：。若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 ，比 多元素 ，故真包含 ，含 个元素，。 【变式 9-3】 定义“幂集” 为 的所有子集组成的集合。若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 元集子集有 个，幂集元素个数为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 基础过关 1． 下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 子集用 ， 在 中；A 应为 ；C 用 ；D 。 2． 集合 的子集个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 元集子集 个。 3． 已知集合 ，，则 与 的关系是（ ） A． B． C． D．无包含关系 【答案】 A 【详解】 ，含 且多元素 ，故 。 4． 已知集合 ，，若 ，则 ________。 【答案】 【详解】 两集合相等需元素完全相同，故 。 5． （多选）下列写法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 ACD 【详解】 任何集合是自身子集（含 、）；空集是任何非空集合真子集；空集不是自身真子集，B 错。 6． 集合 的非空真子集个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 集合为 ，有 个元素，非空真子集 个：。 7． 已知集合 ，，则（ ） A． B． C． D．无关系 【答案】 B 【详解】 大于 必大于 ，故 。 8． 已知集合 ，，若 ，则 ________。 【答案】 或 【详解】 ，单元素集 需 或 。 9． 已知集合 ，，若 ，则 的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 时 ； 时 ，需 或 ，得 或 。 10． 集合 的真子集个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 元集的真子集有 个，即空集 。 ◆ 能力提升 11． 已知集合 ，满足 的集合 有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 A 【详解】 需满足：含 且真包含 （即 ），又真包含于 （即 ）。在 的子集中，含 且非 非 的只有 ，共 个。 12． 已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．任意实数 【答案】 A 【详解】 需左端 且右端 ，联立得 。 13． （多选）已知集合 ，，若 且 ，则（ ） A． 可为 B． 可为 C． 可为 D． 可为 【答案】 ABC 【详解】 且非空， 只能是 ；。 14． 已知集合 ，则其真子集个数为 ________。 【答案】 【详解】 有 个元素，真子集 个。 15． 定义“覆盖集”： 满足 且 的元素个数恰为 （）。若 ，在全集 中 的覆盖集有 ________ 个。 【答案】 【详解】 覆盖集为含 且多 个元素，即从补集 取 个，共 个：。 ▶ 基础过关 参考答案 1．B 2．C 3．A 4． 5．ACD 6．A 7．B 8． 或 9．B 10．B ▶ 能力提升 参考答案 11．A 12．A 13．ABC 14． 15． 学科网（北京）股份有限公司 $