27.3 确定二次函数的表达式 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数表达式的确定，先系统梳理二次函数的图象特征、基本形式及性质，再关联a/b/c及判别式符号与图象的关系，最后详解一般式、顶点式、交点式三种表达式的前提条件与转化，构建从性质到表达式确定的学习支架。 该资料以题型为核心，通过“知识点+题型精讲+变式训练”设计，培养抽象能力（如从点坐标抽象表达式）、推理意识（根据图象特征推理系数符号）。例如题型1结合三点坐标实例及变式，助学生掌握一般式应用，课中提升教学效率，课后学生可通过强化训练巩固，弥补知识盲点。

27.3 确定二次函数的表达式 学习目标 学习详解 【知识点01】：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点02：二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点03：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型精讲 【题型1 已知三点求函数表达式】 【例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）． 【变式1】抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【例1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【变式1-2】．（2023九年级上·上海·专题练习）已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【例1-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【变式1-5】如图，已知抛物线经过，两点．求抛物线的解析式．    【题型2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质】 【例2-1】．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而减小，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】．（25-26九年级上·上海·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【变式2-3】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若抛物线过、两点，那么 （填“”，“”或“”） 【变式2-4】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【题型3 一次函数、二次函数，反比例函数图象综合判断】 【例3-1】．（24-25九年级上·上海·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【例3-2】．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【题型4、待定系数法求二次函数解析式】 【例4-1】．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（   ） A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C 【变式4-1】．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【变式4-2】．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【变式4-3】．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【变式4-4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【题型5二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移，翻折，旋转】 【例5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【变式5-1】．已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【变式4-2】．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【变式5-3】．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【变式5-4】．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【变式5-5】．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-6】．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 【变式5-7】．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【题型6、抛物线与x轴的交点问题】 【例6-1】．下列抛物线中,过原点的抛物线是（  ） A．y 4x 2 1 B．y 4x 2 1 C．y 4(x 1) 2 D．y 4x 2 x 【例6-2】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 【变式6-1】．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式6-2】．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 一、单选题强化训练 1．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 2．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 选：C． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（    ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 8．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 9. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为________ 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，抛物线与轴的交点为，点、在此抛物线上，抛物线与轴正半轴交点为，轴，，． (1)求、、的坐标； (2)求抛物线的顶点坐标． 13．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3 确定二次函数的表达式 学习目标 学习详解 【知识点01】：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点02：二次函数的图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点03：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型精讲 【题型1 已知三点求函数表达式】 【例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）． 【答案】(1) (2)见解析. 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）将点和和代入抛物线求解即可； （2）先找出5个点，再描点连线即可. 【详解】解：（1）∵二次函数图像过点、和， ∴（3分） ∴∴二次函数解析式为. （2）. x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －2 0 … 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 【变式1】抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而即可求解． 【详解】把（－1，－22），（0，－8），（2，8）分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得：a＝－2，b＝12， c＝－8， 所以抛物线的解析式为y＝－2x2＋12x－8， 将解析式配方，得y＝－2(x－3)2＋10， 又∵a＝－2＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，求出二次函数解析式，是解题的关键． 【例1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键 根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， 故②正确； 当或时， ， 故m的值为0， 故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线， ∴图象不过第三象限， 故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 【变式1-2】．（2023九年级上·上海·专题练习）已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知，函数对称轴为，而由可知，位于对称轴的右侧，且距离大于与对称轴的距离． 【详解】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 【例1-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为直线，、同号， ， 与轴的交点在和之间， ， ， 故A不正确； 对称轴为直线， ， ， ， 故B不正确； 由图可得，当时，， 故C不正确； 由题意可得，方程的两个根为，， ，即， ， ， 因此， 故D正确； 故选：D． 【变式1-4】已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 【变式1-5】如图，已知抛物线经过，两点．求抛物线的解析式．    【答案】 【分析】把，代入，得到二元一次方程组，求解得到完整解析式即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，代入坐标得到二元一次方程组并求解是解题的关键． 【题型2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质】 【例2-1】．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知，函数对称轴为，而由可知，位于对称轴的右侧，且距离大于与对称轴的距离． 【详解】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 【变式2-1】（2024九年级上·上海·专题练习）二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而减小，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质和图象可得到：抛物线开口向下，对称轴为直线，进而得出当时，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴的取值范围是， 故选：D． 【例2-2】．（25-26九年级上·上海·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的求解，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标的计算公式或配方法的应用． 对于二次函数，可通过顶点坐标公式求解，其中顶点的横坐标为，再将横坐标代入函数解析式求出纵坐标，进而得到顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， 由顶点横坐标公式，得顶点的横坐标为； 将代入函数解析式，得 ， 故顶点坐标为． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线经过原点，从而得，进而求出可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线经过原点， ． ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若抛物线过、两点，那么 （填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近，且在对称轴上，即顶点 ∴． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【答案】或 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、解直角三角形，由题意可得，再分两种情况：当直线在点的左侧时，当直线在点的右侧时，再结合轴对称的性质、解直角三角形，计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当直线在点的左侧时， ∵该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴点的纵坐标为， 连接交轴于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当直线在点的右侧时，同理可得：， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【题型3 一次函数、二次函数，反比例函数图象综合判断】 【例3-1】．（24-25九年级上·上海·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 【例3-2】．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大， ∴k＜0， ∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下， ﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上， 又∵b＝﹣1＜0， ∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧， 符合题意的只有选项D． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键． 【变式3-2】．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题 【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【题型4、待定系数法求二次函数解析式】 【例4-1】．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（   ） A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】先把，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：，再判断不在抛物线上，从而可得答案． 【详解】解：把，代入抛物线的解析式， 即： 解得： 抛物线为： 当时， 不在抛物线上， 抛物线可以经过的点是 故选： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-1】．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【答案】2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标都满足该二次函数的解析式，把点代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把点代入抛物线， 则， 解得， 故答案为：2． 【变式4-2】．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【点睛】本题也可模仿典例1，利用对称性求出抛物线必过点（-5，2） 【变式4-3】．已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【分析】本题表面不用设解析式，但用顶点式更简单。 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 【变式4-4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【分析】由对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0） 【详解】（1）方法一，解：由对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0） 设抛物线解析式为 则有设抛物线解析式为 把（0，3）代入得，3=-3a 解得，a=-1 ∴二次函数的表达式为。 方法二，设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 【题型5二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移，翻折，旋转】 【例5-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移特征“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移4个单位长度，所得直线解析式为：； 故选：D． 【例5-2】（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求角的正弦值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 【变式5-1】．已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【详解】解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称， 即表达式为：； （2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称， 即表达式为：； （3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称， 即表达式为：； （4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称， 即表达式为：. 【变式4-2】．（25-26九年级上·上海·阶段练习）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 【变式5-3】．（24-25九年级上·上海虹口·期末）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是， 故答案为：． 【变式5-4】．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 【变式5-5】．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 【变式5-6】．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， 又∵图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下， ∴旋转后的新函数图象的解析式为． 故答案为：． 【变式5-7】．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 【题型6、抛物线与x轴的交点问题】 【例6-1】．下列抛物线中,过原点的抛物线是（  ） A．y 4x 2 1 B．y 4x 2 1 C．y 4(x 1) 2 D．y 4x 2 x 【答案】D 【分析】分别求出当x=0时y的值，然后逐个判断即可． 【详解】解：A、y=4x2-1中，当x=0时，y=-1，不过原点； B、y=4x2+1中，当x=0时，y=1，不过原点； C、y=4（x+1）2中，当x=0时，y=4，不过原点； D、y=4x2+x中，当x=0时，y=0，过原点； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键． 【例6-2】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为 ． 【答案】2 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件构建方程． 求出四个交点坐标，在构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 令，则和， ∴或或或， ∵这两个函数的图象与x轴都有两个交点， ∴， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若 ， 则， ∴或（舍去） 若 ， 则， ∴或（舍去） ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离， 故答案为：2． 【变式6-1】．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 【变式6-2】．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如果点P与点C重合，求线段的长； （2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标； （3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）且． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可； （2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可； （3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可． 【详解】（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点， ， ， C点在D点的左侧，C(m-2，0)， 又点P与点C重合，， m-2=1，m=3， ，A(3，4)，P(1，0)， ； （2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入， 得， 顶点A在第一象限，m=2， =，当x=1时，y=3，P(1，3)， 如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点， ，， ， 设PQ延长线与x轴交于点G（x，0）， 又OG=PG，，解得x=5， 检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解， G（5,0）， 设直线PG的解析式为：y=kx+b， 将P，G两点坐标代入得，求得 ， PG所在直线的解析式为， 联立直线PG和抛物线解析式可得 ， 解得或，Q； （3）如图3，点在该抛物线上，代入中， ，， 又抛物线与y轴交于点B，B（0，）， 设直线BP的解析式为：y=kx+b， 代入B、P两点，， 则，直线BP的解析式为：， 令y=0，， 直线与x轴的负半轴相交， ， 或， 解得m<-2或<m<2， 又顶点A在第一象限，m>0, 点A与点P不重合，， 综上所述，且． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键． 强化训练 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移5个单位， 得：． 故选：A． 2．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为，顶点为最大值点，当 时，函数单调递减，由，可得且，因此 ． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（    ） 已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线；本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：当添加的条件为小沁的说法时， ∵抛物线过点、， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故小沁的说法正确； 当添加的条件为小蓓的说法时， ∵抛物线过、， ∴， 解得、， 此时函数解析式为， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故小蓓的说法正确； 当添加的条件为小卓的说法时，此时函数解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， 因此函数解析式为，此时对称轴为，与题目中结论一致； 故小卓的说法正确； 当添加的添加为小茉的说法时， ∵抛物线被轴截得的线段长为2，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或，所以对称轴为轴或直线，与题目中的结论不符； 故小茉的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，小茉的说法错误． 故选：C． 4．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 5．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为直线，图象开口向上，找出关于对称轴的对称点，利用当时，随的增大而减小，再根据，即可做出判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由二次函数图象的对称性，可知与对称， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ， ； 故答案为：． 8．一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 9. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为________ 【答案】． 【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式． 【详解】∵， ∴顶点坐标为(2，1)，开口向上， ∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上， ∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为， 化简后为：． 【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、已知两点坐标求两点距离、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 三、解答题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，抛物线与轴的交点为，点、在此抛物线上，抛物线与轴正半轴交点为，轴，，． (1)求、、的坐标； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)，，； (2)顶点坐标． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把代入求出的坐标，把代入求出的坐标，根据勾股定理和锐角三角函数求出，过点作轴，垂足为，根据，求出，根据勾股定理求出，得出的坐标； （2）把的坐标代入求出，化成顶点式即可求出答案． 【详解】（1）解：根据可得， ∵轴， ∴点的纵坐标为 6 ， ， ， ， ∴点的坐标为， ，， 过点作轴，垂足为， ，， ， ， 答：的坐标分别为． （2）解：∵点在此抛物线上， ， ， ∴抛物线为， ， ∴抛物线的顶点坐标为， 答：抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数的定义，二次函数的三种形式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 13．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是结合图象找出关于的一元一次不等式组． （1）由过点且平行于轴的直线解析式为，可求出点的坐标，由点关于直线的对称点为，可求出点的坐标； （2）由抛物线经过点，，利用待定系数法可求出函数的解析式，将解析式配方后可得出顶点的坐标； （3）结合图形，可得知两个根的范围，从而的出结论． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线解析式为， 令，则有，解得：， 故点的坐标为． 点关于直线的对称点为， 点的坐标为． （2）解：抛物线经过点， ，解得； （3）解：依照题意画出题形如下． 当时，抛物线与线段无交点， ， 令，则有，解得：， 抛物线与线段恰有一个公共点， 有，解得：． 故的取值范围为．    学科网（北京）股份有限公司 $