八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第2章 实数的初步认识）

**基本信息** 覆盖三角形与实数核心知识，通过分层设计（如选择第1题全等判定、解答24题立方根估算）考查几何直观与运算能力，适配培优学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形全等判定（1题）、无理数识别（4题）|结合各地期末真题，基础与辨析并重| |填空题|6/18|角平分线作图依据（12题）、等边三角形规律（15题）|融入实践情境，考查推理意识| |解答题|9/72|全等证明（18题）、翻折综合（25题）|24题立方根探究体现创新意识，25题分层设问发展空间观念|

八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第2章 实数的初步认识 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 2．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）在中，，则最长边上的高与中线的夹角为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 12．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 13．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 14．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，已知分别是和的角平分线，若，，，则的周长为_________． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 16．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 19．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 20．（8分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 21．（8分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 22．（9分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 23．（9分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 24．（10分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 25．（10分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 2．（2026·宁夏·中考真题）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、 ， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 3．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：，， 、、、、均为有理数，仅是无理数， 则，，0.618，，，，无理数的个数有1个． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． 10．（25-26七年级下·河南周口·期末）在中，，则最长边上的高与中线的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，设是边上的中线，是边上的高，延长到，使，连接，先根据三角形内角和定理求出三个内角的度数，利用证明，得出，，可得，即可证明，得出，，根据三角形高的定义及三角形内角和定理得出，进而求出的度数即可得出答案． 【详解】解：设，，，设是边上的中线，是边上的高，延长到，使，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∵是边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴中线与高的夹角． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 13．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 14．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，已知分别是和的角平分线，若，，，则的周长为_________． 【答案】30 【分析】根据分别是和的角平分线，可以推出ABG和ACF都是等腰三角形，得出AB=BG，AC=CF，由已知条件可求得结果． 【详解】∵，BD是的角平分线， ∴∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD， 又∵BD=BD， ∴ABD≌GBD（ASA）， ∴AB=BG， 同理可证：AC=CF， ∵，，， ∴ABC的周长为：AB+BC+AC=BG+BC+CF =BF+FG+BF+FG+GC+FG+GC =2+6+2+6+4+6+4 =30， 故答案为：30． 【点睛】考查了等腰三角形性质和判定，理解掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 16．（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（6分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1) 解：， 理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中，， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． (1)由等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； (2)由全等三角形的性质可得，可得，利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， ， ， 即， ． 即． 20．（8分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 21．（8分）（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 22．（9分）（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求的度数． (2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的长为定值，理由如下： 在的延长线上取点H，使得， ∵在正方形中，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长等于正方形的边长，为定值． 【分析】（1）根据正方形得到，再根据角平分线的定义求解即可； （2）在的延长线上取点H，使得，则，得到，证明，得到，从而，再证明，即可得出，因此的长等于正方形的边长，为定值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． （2）略 23．（9分）（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 24．（10分）（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 25．（10分）（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $