2025-2026学年北师大版数学七年级下册暑假基础训练（三）概率初步与变量之间的关系

**基本信息** 聚焦概率初步与变量关系的跨模块整合，通过概念辨析、实际应用与几何结合题，系统训练抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率初步|约10题（如第4题游戏公平性、第16题概率计算）|包含必然事件判断、频率估计概率、几何概率、游戏公平性分析|从概念（必然事件）到计算（概率公式），再到应用（游戏设计），形成完整逻辑链| |变量关系|约10题（如第3题行程图象、第14题表格建函数）|涵盖函数图象辨析、表格数据建模、几何动态变量关系|从识别变量（自变量因变量）到建立关系（函数表达式），再到解决实际问题（如水箱注水、设备产量）|

基础训练（三）【概率初步与变量之间的关系】 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列事件中，是必然事件的是 （     ） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3 C. 掷一枚质地均匀且各面分别写有1～6的骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为6 cm，7 cm，13 cm的三根小木棒摆成一个三角形 2. 小军在用频率估计概率的一次试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是 （     ） A. 一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球，任意摸出1个球，摸到蓝球的概率 B. 掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的概率 C. 从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D. 任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率 3. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回.下列图象中，最能体现他离家的距离s与出发时间t之间的对应关系的是 （     ） 4. 一个口袋中有8个球，上面依次写着2，3，4，5，6，7，8，9八个数字，这些球除标注数字不同外其余均相同，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是 （     ） A. 任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B. 任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C. 任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D. 任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 5. 用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，设购买n本书共需要费用y元，则可列出关系式为 （     ） A. B. C. D. 6. 如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色涂成红、黄、绿，指针的位置固定. 转动转盘，转盘停止转动后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）. 下列说法正确的是 （     ） A. 指针指向黄色扇形的概率为 B. 指针不指向红色扇形的概率为 C. 指针指向红色扇形或绿色扇形的概率为 D. 指针指向绿色扇形的概率大于指向黄色扇形的概率 7. 已知蓄水池原有水，现匀速放水，池中剩余水量和放水时间的关系如下表所示，则放水14 min后，池中剩余水量为 （     ） 放水时间（min） 0 1 2 3 4 … 池中剩余水量（） 50 48 46 44 42 … A. B. C. D. 8. 匀速地向一个容器注水，最后把容器注满。在注水的过程中，水面高度随时间的变化规律如图中折线所示，那么这个容器的形状可能是（     ） 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 从某玉米种子中随机抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 302 652 793 1604 4005 发芽频率 0.85 0.755 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为            （结果精确到0.1）。 10. 在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的个黄球、3个红球、4个白球，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则盒子里一共有            个球。 11. 下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程与行驶时间； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间； ③在弹簧的弹性范围内，弹簧挂重物后的总长度与所挂重物的质量。 其中，变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示的是            （填序号）。 12. 如图，圆柱的高是3 cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化。 （1）在这个变化中，自变量是            ，因变量是            ； （2）当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆柱的体积增加了            。 13. 如图，正方形镖盘的边长为4，分别以它的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆相交于点。乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为            。 三、解答题（共48分） 14.（8分）为了解某种汽车的耗油情况，我们对这种汽车在高速公路上做了耗油试验，并把试验所得的数据记录如下表： 汽车行驶时间 0 1 2 3 … 油箱剩余油量 100 94 88 82 … （1）上表反映的两个变量中，自变量是            ，因变量是            ； （2）根据上表可知，汽车行驶3 h的时候，该车油箱的剩余油量为            L，汽车每小时耗油            L； （3）求出汽车油箱剩余油量（单位：L）和汽车行驶时间（单位：h）之间的关系式。 15.（8分）如图，在中，，高，为上一动点，当点从点向点运动时，的面积发生了变化。 （1）设的长为（单位：cm），的面积为（单位：），求与之间的关系式； （2）当 时，求 的面积. 16.（10分）在一个不透明的盒子中装有3个白色小球、2个黄色小球和1个红色小球，这些小球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮从盒子中任意摸出一个小球. （1）小亮摸出的小球最有可能是              色. （2）在上述盒子中再放入4个形状和大小完全相同的红色小球，小亮和小英一起做游戏，若小亮从上述盒子中任意摸出一个小球，摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜.这个游戏对双方公平吗？ 为什么？ 17.（10分）如图1，正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，在正方形的边上沿路线 运动，设运动的时间为 （单位：）， 的面积为 （单位：）， 与 的关系图象如图2所示. （1）写出当点 在 上运动时 的取值范围； （2）当 为何值时， 的面积为 ？ 18.（12分）某工厂为提高生产效益引进了新的设备.如图，图中折线甲表示新设备的产量 （单位：万个）与生产时间 （单位：天）的关系，直线乙表示旧设备的产量 （单位：万个）与生产时间 （单位：天）的关系. （1）新设备因工人操作不当停止生产了一段时间，由图象可知，新设备停止生产了              天； （2）求新、旧设备每天分别生产的产品数量； （3）在生产过程中，当 为何值时，新、旧设备所生产的产品数量相同？ 基础训练（三）【概率初步与变量之间的关系】 1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.B 9.0.8 10.9 11. ①② 12.（1） 圆柱的底面半径 圆柱的 体积 （2） 13. 14.（1） 汽车行驶时间 油箱的剩余油量 (2)82 6 （3） 解： 由表格可知，汽车一开始的油量为100 L，每行驶1 小时汽车耗油6 L，故汽车油箱剩余油量（单位：L）和汽 车行驶时间（单位：h） 的关系式为（）. 15. 解：（1） （）. （2） 当时，. 16.(1) 白 （2） 解： 这个游戏对双方公平. 理由如下： ∵在不透明的盒子中装有3个白色小球、2个黄色小球和 5个红色小球， ∴摸到红球的概率为， 摸到其他颜色小球的概率为， ∴小亮、小英获胜的概率相同，均为， 故这个游戏对双方公平. 17. 解：（1） 根据图象可得点P在BC上运动时的取值范围 为. (2) ①当点P在AB上运动时，的面积逐渐增大， 当点P到达点B时，面积最大，由图象知面积最大为 ，且点P从点A到点B的运动时间为2 s，. 若△ADP的面积为， 则. ∵， ∴，解得. ②由图象知点P在BC上时，的面积不变，为. ③当点P在CD上时，的面积逐渐减小. 由图象知，此时点P的速度为. 若△ADP的面积为， 则，此时，其 中， ∴，解得. 综上，当的值为1.5或7时，的面积为. 18.(1)2 （2） 解： 新设备： （万个）， 旧设备： （万个）. 答： 新设备每天生产的产品数量为4.8万个，旧设备每天 生产的产品数量为2.4万个. （3） ①在新设备停时，，解得； ②在新设备复工后，，解得. 答： 在生产过程中，当的值为2或4时，新、旧设备所生 产的产品数量相同. 学科网（北京）股份有限公司 $