第二十六章 二次函数概念清单速记表（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学二次函数知识清单全面梳理了第二十六章内容，涵盖二次函数的概念、图象性质、与一元二次方程的关系及实际应用，分章节系统梳理核心概念、定义说明及相关概念，为学生搭建从基础概念到图象性质再到实际应用的递进式学习架构。 清单采用“概念-性质-应用”分级呈现知识体系，通过“相关概念”列关联易混知识点，如将“抛物线开口方向与a的关系”“顶点坐标公式”等标注为核心要点，培养学生的几何直观和推理意识。特别设计从y=ax²到y=a(x-h)²+k的平移规律推导过程，结合描点法作图步骤，不同基础的学生都能系统复习，教师可据此精准设计教学活动，提升课堂效率。

第二十六章 二次函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 26.1 二次函数的概念 二次函数 一般地，形如 （，， 是常数，）的函数，叫作二次函数。其中 是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 自变量、二次项系数、一次项系数、常数项、函数解析式 26.2 二次函数的图象和性质 二次函数的图象和性质 与学习一次函数一样，在学习了二次函数的概念之后，研究二次函数的图象和性质：先从简单的二次函数 开始，逐步深入到一般的二次函数 。研究过程中数形结合，即解析式与图象结合是重要的研究方法。 数形结合、解析式、图象 26.2.1 二次函数 y＝ax2 的图象和性质 二次函数的图象 二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线。实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下。 曲线、开口方向、描点法 抛物线 把二次函数 的图象叫作抛物线 。 二次函数的图象、开口方向 对称轴 一般地，抛物线 的对称轴是 轴。 抛物线 、顶点 顶点 一般地，抛物线 的顶点是原点。 抛物线 、对称轴、原点 抛物线的开口方向 当 时，抛物线 的开口向上；当 时，抛物线 的开口向下。 越大，抛物线的开口越小。 开口向上、开口向下、二次项系数 抛物线的最高点与最低点 当 时，顶点是抛物线的最低点；当 时，顶点是抛物线的最高点。 顶点、最值 二次函数 的增减性 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。 增减性、对称轴、、 26.2.2 二次函数 y＝a（x－h）2 +k的图象和性质 二次函数 的图象 把抛物线 向上（）或向下（）平移 个单位长度，就得到抛物线 。 平移、、 二次函数 的图象 把抛物线 向左（）或向右（）平移 个单位长度，就得到抛物线 。 平移、、 抛物线 与 的关系 抛物线 与 形状相同，位置不同。把抛物线 向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 ，平移的方向、距离要根据 ， 的值来决定。 平移、形状、位置 抛物线 的开口方向 当 时，开口向上；当 时，开口向下。 开口方向、二次项系数 对称轴 抛物线 的对称轴是 。 顶点、直线 顶点 抛物线 的顶点是 。 对称轴、顶点坐标 二次函数 的最值 如果 ，那么当 时， 取最小值，最小值为 ；如果 ，那么当 时， 取最大值，最大值为 。 最大值、最小值、顶点 二次函数 的增减性 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。 增减性、对称轴 26.2.3 二次函数 y＝ax2 +bx＋c的图象和性质 二次函数的顶点式 通过配方，可以将二次函数 化成 的形式，即 的形式，其中 ，。从而可以利用 的图象和性质研究 的图象和性质。 配方法、顶点式、、 对称轴 抛物线 的对称轴是 。 顶点、顶点式 顶点 抛物线 的顶点是 。 对称轴、最值 二次函数 的增减性 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小。 增减性、对称轴 二次函数 的最值 当 （或 ）时，抛物线 的顶点是最低点（或最高点）；当 时，二次函数 有最小值（或最大值）。 最小值、最大值、顶点 26.3 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 一般地，如果抛物线 与 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数值是 0，因此 是一元二次方程 的一个根。 一元二次方程、图象与 轴的公共点、方程的根 图象与 轴的公共点与方程根的情况 二次函数 的图象与 轴的公共点的情况有三种：没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，它们分别对应一元二次方程 的根的三种情况：没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根。 判别式、实数根、公共点 利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值 通过观察二次函数 的图象，可以利用图象与 轴公共点的横坐标求对应方程 的根；也可以通过不断缩小根所在的范围（如取平均数的方法）估计一元二次方程根的近似值。 图象法、根的近似值、取平均数 26.4 实际问题与二次函数 用二次函数解决实际问题 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究。运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象和性质求解，从而获得实际问题的答案。 二次函数模型、建模、函数解析式 二次函数的最值在实际问题中的应用 利用二次函数的性质，可以解决生活中的一些最大值（或最小值）问题，例如求最大高度、最大面积、最大利润等。 最大值、最小值、最大高度、最大面积、最大利润 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $