5.3一元一次方程的应用讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

一元一次方程的应用 学习目标 1. 能够准确理解题意，找出实际问题中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 学会设未知数，能根据题目中的等量关系列出一元一次方程。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤，并能正确求解方程。 4. 能够检验方程的解是否符合实际意义，并规范地写出答案。 5. 能够运用一元一次方程解决生活中的常见实际问题，如行程问题、工程问题、利润问题、数字问题等。 知识点讲解 利用一元一次方程解决实际问题，关键在于将实际问题转化为数学模型（即列出方程）。其一般步骤可概括为： 1. 审（审题）：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中涉及的量以及它们之间的关系，找出已知条件和所求问题。 2. 设（设元）：根据题意，设出适当的未知数。设未知数时，通常设直接未知数（即求什么设什么），有时为了方便列方程也可设间接未知数。设未知数后，要用含未知数的代数式表示出其他相关的量。 3. 找（找等量关系）：这是列方程的关键。分析题目中的数量关系，找出能够表示题目全部含义的一个（或几个）等量关系。等量关系通常可以通过题目中的关键词语（如“等于”、“是”、“比……多”、“比……少”、“共”、“几分之几”等）或基本的数量关系（如路程=速度×时间，总价=单价×数量，工作总量=工作效率×工作时间等）来寻找。 4. 列（列方程）：根据找出的等量关系，用含未知数的代数式表示等量关系中的各个量，从而列出一元一次方程。 5. 解（解方程）：运用解一元一次方程的方法和步骤，求出未知数的值。解方程时要注意书写规范，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行（具体步骤根据方程特点灵活选用），注意“脱式计算”，避免连等式。 6. 验（检验）：检验所求得的未知数的值是否是原方程的解，更重要的是检验它是否符合实际问题的意义。如果不符合，要检查解题过程是否有误，或是否需要重新考虑等量关系。 7. 答（作答）：在确保解符合题意后，写出完整、简洁的答案。 例题解析 例题1：行程问题（相遇问题） 甲、乙两地相距240千米，一辆快车从甲地出发，每小时行驶80千米，一辆慢车从乙地出发，每小时行驶60千米。两车同时出发，相向而行，经过多少小时两车相遇？ 分析： 已知量：总路程240千米，快车速度80千米/小时，慢车速度60千米/小时，同时出发相向而行。 未知量：相遇时间，设为 ( x ) 小时。 等量关系：快车行驶的路程 + 慢车行驶的路程 = 总路程 解： 设经过 ( x ) 小时两车相遇。 根据题意，得 ( 80x + 60x = 240 ) 合并同类项，得 ( 140x = 240 ) 系数化为1，得 检验：当时，快车行驶路程为千米，慢车行驶路程为千米，两者之和为千米，符合总路程，且时间为正数，符合实际意义。 答：经过小时两车相遇。 解析：本题考查了相遇问题中的基本等量关系。通过设相遇时间为未知数，利用“快车路程+慢车路程=总路程”这一核心等量关系列出方程，求解并检验后得到答案。 例题2：工程问题 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天可以完成这项工程？ 分析： 将这项工程的工作总量看作单位“1”。 已知量：甲的工作效率为（每天完成工程的），乙的工作效率为（每天完成工程的）。 未知量：甲乙合作完成工程所需时间，设为 ( x ) 天。 等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 工作总量“1” 解： 设甲、乙两人合作需要 ( x ) 天可以完成这项工程。 根据题意，得 为了方便计算，方程两边同时乘以30（10和15的最小公倍数），得 合并同类项，得 ( 5x = 30 ) 系数化为1，得 ( x = 6 ) 检验：当 ( x = 6 ) 时，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，两者之和为，即完成了整个工程，符合题意。 答：甲、乙两人合作需要6天可以完成这项工程。 解析：本题考查工程问题，关键是将工作总量设为单位“1”，并利用“工作效率×工作时间=工作量”的关系表示出各部分工作量，再根据工作量之和等于总工作量列方程。 例题3：利润问题 某商店购进一批服装，每件的进价为100元，商店准备以每件150元的价格出售。为了促销，商店决定降价销售，但要保证每件服装的利润率不低于20%。那么，每件服装最多可以降价多少元？ 分析： 已知量：进价100元/件，原标价150元/件，期望利润率不低于20%。 未知量：最多降价金额，设为 ( x ) 元。则实际售价为 ( (150 - x) ) 元。 等量关系（或不等关系）：利润率。由于题目问“最多可以降价多少元”，即利润率刚好为20%时，降价最多。所以我们可以按等量关系“利润率 = 20%”来列方程求解。 解： 设每件服装最多可以降价 ( x ) 元。 根据题意，得 化简方程，得 方程两边同时乘以100，得 ( 50 - x = 20 ) 移项，得 ( -x = 20 - 50 ) ( -x = -30 ) 系数化为1，得 ( x = 30 ) 检验：当 ( x = 30 ) 时，售价为 ( 150 - 30 = 120 ) 元。利润率为，刚好满足利润率不低于20%的要求。若降价超过30元，利润率将低于20%，不符合题意。所以 ( x = 30 ) 是符合题意的最大值。 答：每件服装最多可以降价30元。 解析：本题考查利润问题，核心公式是“利润率 = ( \frac{利润}{进价} = \frac{售价 - 进价}{进价} )”。根据题目中的“不低于”，我们找到临界状态（等于）来列方程求解，从而确定降价的最大值。 例题4：数字问题 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小27，求原来的两位数。 分析： 一个两位数可以表示为：十位数字×10 + 个位数字。 已知量：十位数字比个位数字大3；原数 - 新数（对调后）= 27。 未知量：原来的两位数。直接设原来的两位数为 ( x ) 不方便表示个位和十位数字，故考虑间接设元。设原来两位数的个位数字为 ( x )，则十位数字为 ( x + 3 )。 原两位数可表示为：( 10(x + 3) + x )。 新两位数（对调后）的十位数字为 ( x )，个位数字为 ( x + 3 )，可表示为：( 10x + (x + 3) )。 等量关系：原两位数 - 新两位数 = 27。 解： 设原来两位数的个位数字为 ( x )，则十位数字为 ( x + 3 )。 原来的两位数为：( 10(x + 3) + x ) 对调后的新两位数为：( 10x + (x + 3) ) 根据题意，得 ( [10(x + 3) + x] - [10x + (x + 3)] = 27 ) 去括号，得 ( 10x + 30 + x - 10x - x - 3 = 27 ) 合并同类项，得 ( (10x + x - 10x - x) + (30 - 3) = 27 ) ( 0x + 27 = 27 ) ( 27 = 27 ) 这是一个恒等式，说明只要满足“十位上的数字比个位上的数字大3”这个条件的两位数，对调后新数都比原数小27。 因为 ( x ) 是个位数字，所以 ( x ) 可以取0到6的整数（因为十位数字 ( x + 3 ) 必须是1-9的整数，所以即）。 因此，原来的两位数可能是：30，41，52，63，74，85，96。 检验：以30为例，对调后为03即3，30 - 3 = 27。以41为例，对调后为14，41 - 14 = 27。均符合题意。 答：原来的两位数可以是30，41，52，63，74，85或96。 解析：本题考查数字问题，关键在于用代数式正确表示一个两位数。在求解过程中出现了恒等式，说明存在多个符合条件的解，此时需要根据数字的实际意义（0-9的整数，且最高位不为0）来确定未知数的取值范围，进而得到所有可能的答案。 巩固练习 一、选择题 1. 某数的3倍比它的2倍多10，设某数为 ( x )，则可列方程为 A. ( 3x - 2x = 10 ) B. ( 3x + 2x = 10 ) C. ( 3x = 2x - 10 ) D. ( 3x = 2(x + 10) ) 2. 小明今年12岁，爸爸今年38岁，设 ( x ) 年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，则可列方程为 A. B. ( 38 + x = 2(12 + x) ) C. ( 38 = 2(12 + x) ) D. ( 38 + x = 2(12 - x) ) 3. 一件商品按进价提高40%后标价，再打八折销售，售价为224元。设这件商品的进价为 ( x ) 元，则可列方程为 A. ( 40%(1 + 80%)x = 224 ) B. C.( (1 + 40%)(1 + 80%)x = 224 ) D. 4. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米。如果甲让乙先跑5米，设 ( x ) 秒后甲可以追上乙，则可列方程为 A. B. C. D. 5. 某班学生去看电影，买了价格为5元和8元的两种票共40张，总共付了275元。设5元的票买了 ( x ) 张，则8元的票买了 ( (40 - x) ) 张，根据题意可列方程为 A. ( 5x + 8(40 - x) = 275 ) B. ( 5(40 - x) + 8x = 275 ) C. . ( 5x + 8(40 + x) = 275 ) 二、填空题 1. 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍。设长方形的宽为 ( x ) 厘米，则长为 ______ 厘米，根据题意可列方程为 ______。 2. 某工厂计划每天生产零件200个，实际每天比计划多生产50个，结果提前2天完成任务。设原计划 ( x ) 天完成任务，则这批零件共有 ______ 个，实际用了 ______ 天，根据题意可列方程为 ______。 3. 一项工作，甲单独做需要8小时完成，乙单独做需要12小时完成。若甲先做2小时，然后甲、乙合作，还需要 ______ 小时才能完成这项工作。 4. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数是 ______。 5. 某商品的进价是150元，售价是180元。则此商品的利润率是 ______%。 三、解答题 1. 某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15名学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车。问共有多少辆汽车？多少名学生？ 2. A、B两地相距360千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米。 （1）慢车先开出1小时，快车再开出，两车相向而行，快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距720千米？ 3. 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓配两个螺母。为了使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 巩固练习参考答案及解析 一、选择题 1. 答案：A 解析：某数的3倍是 ( 3x )，它的2倍是 ( 2x )，“3倍比2倍多10”，即 ( 3x - 2x = 10 )。故选A。 2. 答案：B 解析：( x ) 年后，小明的年龄是 ( (12 + x) ) 岁，爸爸的年龄是 ( (38 + x) ) 岁。根据“爸爸的年龄是小明年龄的2倍”，可列方程 ( 38 + x = 2(12 + x) )。故选B。 3. 答案：B 解析：进价为 ( x ) 元，提高40%后标价为 ( (1 + 40%)x ) 元，再打八折销售，售价为元。已知售价为224元，故方程为。故选B。 4. 答案：A 解析：甲跑的路程为 ( 7x ) 米，乙先跑5米，再跑 ( 6.5x ) 米，甲追上乙时，两者跑的路程相等，即 。故选A。 5. 答案：A 解析：5元的票买了 ( x ) 张，花费 ( 5x ) 元；8元的票买了 ( (40 - x) ) 张，花费 ( 8(40 - x) ) 元。总共花费275元，故方程为 ( 5x + 8(40 - x) = 275 )。故选A。 二、填空题 1. 答案：( 2x )；( 2(x + 2x) = 60 ) 解析：宽为 ( x ) 厘米，长是宽的2倍，则长为 ( 2x ) 厘米。长方形周长 = 2×(长+宽)，铁丝长60厘米即周长为60厘米，所以方程为 ( 2(x + 2x) = 60 )，化简后也可为 ( x + 2x = 30 )（两边同时除以2）。 2. 答案：( 200x )；( (x - 2) )；( 200x = (200 + 50)(x - 2) ) 解析：原计划每天生产200个，( x ) 天完成，则零件总数为 ( 200x ) 个。实际每天生产 ( 200 + 50 = 250 ) 个，提前2天完成，故实际用了 ( (x - 2) ) 天，零件总数也可表示为 ( 250(x - 2) ) 个。根据零件总数相等，可列方程 ( 200x = 250(x - 2) )。 3. 答案：3.6 解析：设甲、乙合作还需要 ( x ) 小时才能完成这项工作。把工作总量看作单位“1”，甲的工作效率为，乙的工作效率为。甲先做2小时，完成的工作量为，甲乙合作 ( x ) 小时完成的工作量为。根据总工作量为1，可列方程： 化简： 移项： 解得： 4. 答案：45 解析：设原来两位数的十位数字为 ( x )，则个位数字为 ( (9 - x) )。原数可表示为 ( 10x + (9 - x) = 9x + 9 )。对调后新数的十位数字为 ( (9 - x) )，个位数字为 ( x )，新数可表示为 ( 10(9 - x) + x = 90 - 9x )。根据新数比原数大9，可列方程： ( (90 - 9x) - (9x + 9) = 9 ) 去括号：( 90 - 9x - 9x - 9 = 9 ) 合并同类项：( 81 - 18x = 9 ) 移项：( -18x = 9 - 81 ) ( -18x = -72 ) 解得：( x = 4 ) 个位数字为 ( 9 - x = 9 - 4 = 5 )。所以原来的两位数是45。 5. 答案：20 解析：利润 = 售价 - 进价 = 180 - 150 = 30元。利润率。 三、解答题 1. 解：设共有 ( x ) 辆汽车。 根据题意，学生人数是固定的，可表示为两种形式： 第一种：每车坐45人，有15名没座位，学生人数为 ( 45x + 15 )。 第二种：每车坐60人，空出一辆车，即坐了 ( (x - 1) ) 辆车，学生人数为 ( 60(x - 1) )。 所以可列方程： ( 45x + 15 = 60(x - 1) ) 去括号，得 ( 45x + 15 = 60x - 60 ) 移项，得 ( 15 + 60 = 60x - 45x ) 合并同类项，得 ( 75 = 15x ) 系数化为1，得 ( x = 5 ) 学生人数为：（名） 或（名） 检验：当 ( x = 5 ) 时，45×5 +15=240，60×(5-1)=240，学生人数相等，符合题意。 答：共有5辆汽车，240名学生。 2. 解： （1）设快车开出 ( x ) 小时后两车相遇。 慢车先开出1小时，则慢车行驶的总时间为 ( (x + 1) ) 小时。 慢车行驶的路程为 ( 60(x + 1) ) 千米，快车行驶的路程为 ( 90x ) 千米。 两车相向而行，相遇时路程之和等于A、B两地距离360千米。 根据题意，得 ( 60(x + 1) + 90x = 360 ) 去括号，得 ( 60x + 60 + 90x = 360 ) 合并同类项，得 ( 150x + 60 = 360 ) 移项，得 ( 150x = 360 - 60 ) ( 150x = 300 ) 系数化为1，得 ( x = 2 ) 检验：快车开出2小时，行驶路程为90×2=180千米；慢车共行驶2+1=3小时，路程为60×3=180千米。180+180=360千米，符合总路程。 答：快车开出2小时后两车相遇。 （2）设 ( y ) 小时后两车相距720千米。 两车同时开出，相背而行，初始距离为360千米，( y ) 小时后，两车各自行驶的路程分别为 ( 60y ) 千米和 ( 90y ) 千米。 此时两车相距的距离 = 初始距离 + 慢车行驶路程 + 快车行驶路程。 根据题意，得 ( 360 + 60y + 90y = 720 ) 合并同类项，得 ( 360 + 150y = 720 ) 移项，得 ( 150y = 720 - 360 ) ( 150y = 360 ) 系数化为1，得 检验：2.4小时后，慢车行驶60×2.4=144千米，快车行驶90×2.4=216千米。初始相距360千米，所以现在相距360+144+216=720千米，符合题意。 答：2.4小时后两车相距720千米。 3. 解：设应分配 ( x ) 名工人生产螺栓，则有 ( (28 - x) ) 名工人生产螺母。 每天生产螺栓的数量为 ( 12x ) 个，每天生产螺母的数量为 ( 18(28 - x) ) 个。 由于一个螺栓配两个螺母，所以螺母的数量应是螺栓数量的2倍，才能刚好配套。 根据题意，得 化简，得 ( 24x = 504 - 18x ) 移项，得 ( 24x + 18x = 504 ) 合并同类项，得 ( 42x = 504 ) 系数化为1，得 ( x = 12 ) 生产螺母的工人数为：( 28 - x = 28 - 12 = 16 )（名） 检验：生产螺栓的数量为12×12=144个，生产螺母的数量为18×16=288个。288÷144=2，即螺母数量是螺栓数量的2倍，刚好配套。 答：应分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程的应用 学习目标 1. 能够准确理解题意，找出实际问题中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 学会设未知数，能根据题目中的等量关系列出一元一次方程。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤，并能正确求解方程。 4. 能够检验方程的解是否符合实际意义，并规范地写出答案。 5. 能够运用一元一次方程解决生活中的常见实际问题，如行程问题、工程问题、利润问题、数字问题等。 知识点讲解 利用一元一次方程解决实际问题，关键在于将实际问题转化为数学模型（即列出方程）。其一般步骤可概括为： 1. 审（审题）：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中涉及的量以及它们之间的关系，找出已知条件和所求问题。 2. 设（设元）：根据题意，设出适当的未知数。设未知数时，通常设直接未知数（即求什么设什么），有时为了方便列方程也可设间接未知数。设未知数后，要用含未知数的代数式表示出其他相关的量。 3. 找（找等量关系）：这是列方程的关键。分析题目中的数量关系，找出能够表示题目全部含义的一个（或几个）等量关系。等量关系通常可以通过题目中的关键词语（如“等于”、“是”、“比……多”、“比……少”、“共”、“几分之几”等）或基本的数量关系（如路程=速度×时间，总价=单价×数量，工作总量=工作效率×工作时间等）来寻找。 4. 列（列方程）：根据找出的等量关系，用含未知数的代数式表示等量关系中的各个量，从而列出一元一次方程。 5. 解（解方程）：运用解一元一次方程的方法和步骤，求出未知数的值。解方程时要注意书写规范，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行（具体步骤根据方程特点灵活选用），注意“脱式计算”，避免连等式。 6. 验（检验）：检验所求得的未知数的值是否是原方程的解，更重要的是检验它是否符合实际问题的意义。如果不符合，要检查解题过程是否有误，或是否需要重新考虑等量关系。 7. 答（作答）：在确保解符合题意后，写出完整、简洁的答案。 例题解析 例题1：行程问题（相遇问题） 甲、乙两地相距240千米，一辆快车从甲地出发，每小时行驶80千米，一辆慢车从乙地出发，每小时行驶60千米。两车同时出发，相向而行，经过多少小时两车相遇？ 例题2：工程问题 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天可以完成这项工程？ 例题3：利润问题 某商店购进一批服装，每件的进价为100元，商店准备以每件150元的价格出售。为了促销，商店决定降价销售，但要保证每件服装的利润率不低于20%。那么，每件服装最多可以降价多少元？ 例题4：数字问题 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小27，求原来的两位数。 巩固练习 一、选择题 1. 某数的3倍比它的2倍多10，设某数为 ( x )，则可列方程为 A. ( 3x - 2x = 10 ) B. ( 3x + 2x = 10 ) C. ( 3x = 2x - 10 ) D. ( 3x = 2(x + 10) ) 2. 小明今年12岁，爸爸今年38岁，设 ( x ) 年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，则可列方程为 A. B. ( 38 + x = 2(12 + x) ) C. ( 38 = 2(12 + x) ) D. ( 38 + x = 2(12 - x) ) 3. 一件商品按进价提高40%后标价，再打八折销售，售价为224元。设这件商品的进价为 ( x ) 元，则可列方程为 A. ( 40%(1 + 80%)x = 224 ) B. C.( (1 + 40%)(1 + 80%)x = 224 ) D. 4. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米。如果甲让乙先跑5米，设 ( x ) 秒后甲可以追上乙，则可列方程为 A. B. C. D. 5. 某班学生去看电影，买了价格为5元和8元的两种票共40张，总共付了275元。设5元的票买了 ( x ) 张，则8元的票买了 ( (40 - x) ) 张，根据题意可列方程为 A. ( 5x + 8(40 - x) = 275 ) B. ( 5(40 - x) + 8x = 275 ) C. . ( 5x + 8(40 + x) = 275 ) 二、填空题 1. 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍。设长方形的宽为 ( x ) 厘米，则长为 ______ 厘米，根据题意可列方程为 ______。 2. 某工厂计划每天生产零件200个，实际每天比计划多生产50个，结果提前2天完成任务。设原计划 ( x ) 天完成任务，则这批零件共有 ______ 个，实际用了 ______ 天，根据题意可列方程为 ______。 3. 一项工作，甲单独做需要8小时完成，乙单独做需要12小时完成。若甲先做2小时，然后甲、乙合作，还需要 ______ 小时才能完成这项工作。 4. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数是 ______。 5. 某商品的进价是150元，售价是180元。则此商品的利润率是 ______%。 三、解答题 1. 某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15名学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车。问共有多少辆汽车？多少名学生？ 2. A、B两地相距360千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米。 （1）慢车先开出1小时，快车再开出，两车相向而行，快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距720千米？ 3. 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个。一个螺栓配两个螺母。为了使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 学科网（北京）股份有限公司 $