四川广安市加德学校2025-2026学年高一领航班上学期期末考试数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高中数学核心知识，通过基础题巩固集合、函数等概念，综合题如科研资金分配（第17题）、函数性质与反函数应用（第19题），考查数学建模、逻辑推理与应用能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、命题、函数图像|基础概念辨析，如集合运算、命题否定| |多选题|3/18|函数性质、不等式解集|概念辨析与多选项判断，如函数零点、幂函数单调性| |填空题|3/15|定义域、函数零点|简洁考查基础技能，如函数定义域求解| |解答题|5/77|集合子集、分段函数、资金分配、幂函数综合、函数奇偶性与反函数|分层设计，第17题科研资金分配考查建模与优化，第19题函数性质与反函数结合考查逻辑推理|

广安加德学校2025——2026学年度上期高中领航261班期末考试 数学 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题，则（ ） A． B. C． D. 3．已知，且的图象如图所示，则等于（ ） A．4 B． C． D． 4．已知a，b均为正实数，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（ ） A． B． C． D．1 6．已知函数的图象分别与函数和的图象交于A，B两点，设两交点的横坐标分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分。 9．下列说法正确的是（ ） A．命题“，”的否定是真命题 B．函数与函数是同一个函数 C．若幂函数在区间上单调递减，则 D．函数的零点是 10．已知关于的不等式的解集为，则（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知函数实数满足，且，则（ ） A． B． C． D．函数有5个互不相等的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． . 13．函数的定义域是 . 14．已知函数，若，则m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15(13分)．设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 16(15分)．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.  (1)写出函数的定义域和值域； (2)求函数的解析式及的值. 17(15分)．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18(17分)．已知幂函数在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对，，使得成立，求实数的取值范围. 19(17分)．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； (3)设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 期末考试参考答案 1-11.CDBD,DCDB,BC,AD,ACD 1集合，集合，所以.故选：C. 2．因为全称量词命题的否定是改变量词，否定结论，所以．故选：D. 3．由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故，．故选：B 4．由a，b均为正实数，，得 ，当且仅当时取等号，所以.故选：D 5．由函数是定义域为的偶函数，则有，由，则，故，则，即， 则，故周期为，则.故选：D. 6．因为，所以，可得；则，即， 又，即，易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知，即可得；因此可得.故选：D 7．设，，则.因为函数和互为反函数，图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，所以，关于直线对称，即，， 又，所以.故选：C. 8．由题意可得令，定义域为，则， 所以，即为奇函数，又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数， 所以， 等价于，解得或.故选：B. 9．对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同， 故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，所以，得到，故选项C正确，对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，故选：BC. 10．因为不等式的解集为，所以得两个根为，且， 所以A正确；由韦达定理，解得因为，所以B错误； 由不等式，得，因为，所以解集为，所以C错误；由不等式,得，因为，所以，解集为，所以D正确.故选：AD 11．函数，所以，所以，故A正确； 由实数满足，知函数的图象与有三个不同的交点，作出函数的图象，如图：结合图象，可得，故选项B错误；根据二次函数的对称性知，，又，所以， 所以，故C正确；，由题意， 所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和， 即函数的图象分别与，，交点个数之和，由C可知，，，结合图象可知，函数的图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点， 函数的图象与有一个交点，所以函数有5个互不相等的零点，故D正确.故选：ACD 12．.故答案为：. 13．由已知得，解得.所以函数的定义域为.故答案为：. 14．令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，又，，均在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减，又， 所以不等式，即，即，即， 所以，即，解得，所以的取值范围为.故答案为： 15．（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则；当时，，则； 当时，，则，综上所述，实数的值为或或 16．（1）根据函数的图象，即可知函数的定义域为，值域为； （2）设y轴的左侧的线段方程为， 由图可知线段过点，即可得，解得，所以y轴的左侧的线段为； 设右侧为某抛物线的方程为， 由图像可知抛物线过点，即可得，解得， 即抛物线方程为,所以函数的解析式为； 可得，所以，即. 17．（1）由，可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，则 ，其中.则 .由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立.所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18．（1）由幂函数在上单调递增，可得，解得， 所以；（2）因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； （3）由（1）知，因为对，使得都成立，所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 19．（1）因为是偶函数，所以， 即，整理得恒成立，又不恒为0，所以，即. （2）在上是单调递增函数．证明如下：任取，设，则 因为，所以，又因为，所以， 所以，即，所以在上是单调递增函数． （3）函数的反函数为，方程有唯一的实数解， 即有唯一的实数解， 又为定义域上的单调递增函数，所以有唯一的实数解， 令，则有唯一的正实数解，即有唯一的正实数解， 当即时，方程，解得，不满足题意， 当即时，记，则， 当即时，函数开口向下，且， ，则必然与轴有两个交点，且分布在轴两侧， 即有唯一的正实数解，符合题意； 当即时，函数开口向上，且， 则要使有唯一的正实数解，则，解得； 综上所述，实数的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 $