2.1.2有理数的减法 2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）

本讲义聚焦有理数的减法，系统梳理从减法意义（加法逆运算）、法则（减去一个数等于加其相反数）到加减混合运算（统一为加法）及省略加号括号形式的完整知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料以题型为载体，通过温差计算、海拔差分析等实际问题培养应用意识，强调运算步骤与易错点提升运算能力，例题变式搭配练习题，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2.1.2有理数的减法 目录 知识点1 有理数减法的意义 2 知识点2 有理数减法法则 2 知识点3 有理数加减混合运算 2 知识点4 省略加号和括号的形式 2 题型 1 有理数的减法运算 3 题型 2 有理数减法的实际应用 3 题型 3 有理数的加减混合运算 4 题型 4 有理数加减中的简便运算 5 题型 5 有理数加减混合运算的应用 6 题型 6 省略加法和括号的形式 7 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则。 2. 能熟练进行有理数的减法运算。 3. 掌握有理数加减混合运算的方法，能写成省略加号和括号的形式。 4. 能运用有理数加减混合运算解决实际问题。 知识点1 有理数减法的意义 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。 在有理数范围内，若a＋b＝c，则c－a＝b，c－b＝a。 被减数可以小于减数，差可以是负数（这是有理数减法与小学减法的重要区别）。 知识点2 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b＝a＋(－b)。 减法法则的本质是将减法转化为加法，再按有理数加法法则计算。 运算步骤：①减号变加号；②减数变相反数；③按加法法则计算。 a－0＝a；0－a＝－a。 知识点3 有理数加减混合运算 有理数加减混合运算中，先利用减法法则将所有减法转化为加法，再按有理数加法进行计算。 步骤：①减法统一转化为加法；②写成省略加号和括号的形式；③运用加法交换律和结合律简化计算；④求出结果。 加减混合运算可统一成加法，交换律、结合律同样适用。 知识点4 省略加号和括号的形式 加减混合运算统一成加法后，可以省略加号和括号，写成更简洁的形式。 例如：(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) 可以写成 －20＋3＋5－7。 读法一（性质符号）：负20、正3、正5、负7的和。 读法二（运算符号）：负20加3加5减7。 省略后式子中的"+"和"－"既可看作性质符号，也可看作运算符号。 题型 1 有理数的减法运算 【解题技巧】 ① 核心法则：a－b＝a＋(－b)，减去一个数等于加上它的相反数。 ② 运算三步：一变（减号变加号）→ 二反（减数变相反数）→ 三算（按加法计算）。 ③ 正数减正数：5－8＝5＋(－8)＝－3（被减数小于减数时结果为负）。 ④ 负数减正数：－5－3＝－5＋(－3)＝－8（同号相加，取负号）。 ⑤ 正数减负数：5－(－3)＝5＋3＝8（负负得正，转化为加法）。 ⑥ 负数减负数：－5－(－3)＝－5＋3＝－2（转化为异号相加）。 ⑦ 易错点：只变减号不变减数；减数是负数时双重符号处理错误。 【常见考法】直接计算两个有理数的差；判断减法计算是否正确；多个数连减。 【典例1】．计算： 【变式1】．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算： 题型 2 有理数减法的实际应用 【解题技巧】 ① 温差：最高温－最低温＝温差。如最高5℃、最低－3℃，温差＝5－(－3)＝8℃。 ② 海拔差：高海拔－低海拔＝高度差。如A地－155m，B地8848m，差＝8848－(－155)＝9003m。 ③ 收支：收入－支出＝结余。注意规定正负方向。 ④ 距离：大数－小数＝两点间距离（取绝对值）。 ⑤ 比较多少：求一个数比另一个数多多少（或少多少），用减法：大数－小数。 ⑥ 解题步骤：审题意 → 定被减数和减数 → 列算式 → 计算 → 作答带单位。 ⑦ 易错点：被减数减数搞反；负数符号错误；忘带单位。 【常见考法】温差、海拔差、收支、比较多少、数轴上两点间距离。 【典例2】．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【变式1】．山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【变式2】．某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为______，这座高山山下和山顶的温度相差______． 【变式3】．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 题型 3 有理数的加减混合运算 【解题技巧】 ① 核心：所有减法统一转化为加法。 ② 步骤：减法化加法 → 省略加号括号 → 用运算律分组 → 计算。 ③ 示例：(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)＝－7－5－4＋10＝－6。 ④ 不用运算律时从左到右依次计算，每一步先将减法化加法。 ⑤ 含分数/小数的混合运算：统一形式（分数化小数或小数化分数），再计算。 ⑥ 易错点：减法化加法漏变号；省略加号后符号错误；运算顺序错。 【常见考法】直接计算加减混合算式；将混合运算统一成加法；判断过程是否正确。 【典例3】．计算：． 【变式1】．计算： (1) (2) 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2) ． 题型 4 有理数加减中的简便运算 【解题技巧】 ① 前提：先统一成加法，写成省略加号括号形式，再用交换律和结合律。 ② 相反数结合：互为相反数的两数先加，和为0。如－3＋5＋3＝(－3＋3)＋5＝5。 ③ 同号结合：正数一组、负数一组，分别相加再求和。如－5＋3－8＋2＝(3＋2)＋(－5－8)＝－8。 ④ 凑整结合：能凑整数的先加。如3.2＋1.8－5＝(3.2＋1.8)－5＝0。 ⑤ 同分母结合：分数相加时同分母先结合，减少通分。 ⑥ 拆分法：带分数拆成整数和分数部分，分别结合计算。 ⑦ 易错点：移动数忘记带符号；括号使用错误。 【常见考法】运用运算律简便计算；判断方法是否正确；多个有理数连加连减的简便运算。 【典例4】．计算： 【变式1】．计算： 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 题型 5 有理数加减混合运算的应用 【解题技巧】 ① 温度变化：初始温＋各次变化量（上升正、下降负）＝最终温。如－2＋5－8＝－5℃。 ② 行程位移：规定正方向，各段位移带符号相加，结果正负表方向，绝对值表总位移大小。 ③ 收支流水：收入正支出负，所有收支相加得最终结余。 ④ 海拔水位：上升正下降负，初始＋变化＝最终。 ⑤ 比赛积分：胜正负负，各场相加得总分。 ⑥ 步骤：审题意 → 定正负 → 列算式 → 简便计算 → 解释结果（带单位和方向）。 ⑦ 易错点：正负方向错；变化量符号反；忘说明实际意义。 【常见考法】温度变化、行程位移、收支流水、积分累计。 【典例5】．振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【变式1】．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【变式3】．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 题型 6 省略加法和括号的形式 【解题技巧】 ① 方法：先减法化加法，再省略每个加数的括号和前面的加号。 ② 示例：(－20)＋(＋3)－(－5)＋(－7) → －20＋3＋5－7。 ③ 读法一（性质符号）：负20、正3、正5、负7的和。 ④ 读法二（运算符号）：负20加3加5减7。 ⑤ 计算：可从左到右或用运算律，移动数必须连带符号。 ⑥ 还原：需要时可还原为带括号的加法形式，如－5＋3－2＝(－5)＋(＋3)＋(－2)。 ⑦ 易错点：第一个数的符号不能省；误读第一个数为运算符号；移动数忘带符号。 【常见考法】写成省略形式；读出式子；省略形式下计算；判断省略形式是否正确。 【典例6】．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【变式3】．把写成省略括号和加号的形式为_____． 1．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 2．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 3．数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（     ） A．5 B．10 C． D． 4．北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 5．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 6．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 9．某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（    ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A．2月16日 B．2月17日 C．2月18日 D．2月19日 10．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 11．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 12．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 13．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 14．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 15．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．微信支付是当下快捷方便的一种支付方式，下表是李叔叔某天的微信账单 微信红包 元 美团外卖 元 淘宝网 元 银行卡转账 元 微信转账 元 (1)元表示___________元，元表示___________元．(填收入或支出) (2)李叔叔这天结余多少钱？ 17．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 18．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 19．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 20．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 21．阅读以下材料，并回答问题． (1)如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（本题中，数轴上1个单位长度代表．） 由此可得，a的值为_______． (2)借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是110岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2有理数的减法 目录 知识点1 有理数减法的意义 2 知识点2 有理数减法法则 2 知识点3 有理数加减混合运算 2 知识点4 省略加号和括号的形式 2 题型 1 有理数的减法运算 3 题型 2 有理数减法的实际应用 4 题型 3 有理数的加减混合运算 6 题型 4 有理数加减中的简便运算 8 题型 5 有理数加减混合运算的应用 10 题型 6 省略加法和括号的形式 12 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则。 2. 能熟练进行有理数的减法运算。 3. 掌握有理数加减混合运算的方法，能写成省略加号和括号的形式。 4. 能运用有理数加减混合运算解决实际问题。 知识点1 有理数减法的意义 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。 在有理数范围内，若a＋b＝c，则c－a＝b，c－b＝a。 被减数可以小于减数，差可以是负数（这是有理数减法与小学减法的重要区别）。 知识点2 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b＝a＋(－b)。 减法法则的本质是将减法转化为加法，再按有理数加法法则计算。 运算步骤：①减号变加号；②减数变相反数；③按加法法则计算。 a－0＝a；0－a＝－a。 知识点3 有理数加减混合运算 有理数加减混合运算中，先利用减法法则将所有减法转化为加法，再按有理数加法进行计算。 步骤：①减法统一转化为加法；②写成省略加号和括号的形式；③运用加法交换律和结合律简化计算；④求出结果。 加减混合运算可统一成加法，交换律、结合律同样适用。 知识点4 省略加号和括号的形式 加减混合运算统一成加法后，可以省略加号和括号，写成更简洁的形式。 例如：(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7) 可以写成 －20＋3＋5－7。 读法一（性质符号）：负20、正3、正5、负7的和。 读法二（运算符号）：负20加3加5减7。 省略后式子中的"+"和"－"既可看作性质符号，也可看作运算符号。 题型 1 有理数的减法运算 【解题技巧】 ① 核心法则：a－b＝a＋(－b)，减去一个数等于加上它的相反数。 ② 运算三步：一变（减号变加号）→ 二反（减数变相反数）→ 三算（按加法计算）。 ③ 正数减正数：5－8＝5＋(－8)＝－3（被减数小于减数时结果为负）。 ④ 负数减正数：－5－3＝－5＋(－3)＝－8（同号相加，取负号）。 ⑤ 正数减负数：5－(－3)＝5＋3＝8（负负得正，转化为加法）。 ⑥ 负数减负数：－5－(－3)＝－5＋3＝－2（转化为异号相加）。 ⑦ 易错点：只变减号不变减数；减数是负数时双重符号处理错误。 【常见考法】直接计算两个有理数的差；判断减法计算是否正确；多个数连减。 【典例1】．计算： 【答案】 【详解】解： = ． 【变式1】．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型 2 有理数减法的实际应用 【解题技巧】 ① 温差：最高温－最低温＝温差。如最高5℃、最低－3℃，温差＝5－(－3)＝8℃。 ② 海拔差：高海拔－低海拔＝高度差。如A地－155m，B地8848m，差＝8848－(－155)＝9003m。 ③ 收支：收入－支出＝结余。注意规定正负方向。 ④ 距离：大数－小数＝两点间距离（取绝对值）。 ⑤ 比较多少：求一个数比另一个数多多少（或少多少），用减法：大数－小数。 ⑥ 解题步骤：审题意 → 定被减数和减数 → 列算式 → 计算 → 作答带单位。 ⑦ 易错点：被减数减数搞反；负数符号错误；忘带单位。 【常见考法】温差、海拔差、收支、比较多少、数轴上两点间距离。 【典例2】．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 【变式1】．山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，以800米为基准，高于基准记为正，低于基准记为负，计算黄河口海拔与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵ 题目规定将太原市平均海拔800米记作0米，即基准为800米，高于基准记正，低于基准记负， 又∵ 运城市垣曲县黄河口实际海拔为180米， ∴ 米， 因此运城市垣曲县黄河口海拔可记作米． 【变式2】．某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为______，这座高山山下和山顶的温度相差______． 【答案】 【分析】零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，温差等于较高温度减去较低温度． 【详解】解：∵零上温度记为正，零下温度记为负， ∴零下记为， ∵用山下温度减去山顶温度：， ∴高山山下和山顶的温度相差． 【变式3】．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． 题型 3 有理数的加减混合运算 【解题技巧】 ① 核心：所有减法统一转化为加法。 ② 步骤：减法化加法 → 省略加号括号 → 用运算律分组 → 计算。 ③ 示例：(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)＝－7－5－4＋10＝－6。 ④ 不用运算律时从左到右依次计算，每一步先将减法化加法。 ⑤ 含分数/小数的混合运算：统一形式（分数化小数或小数化分数），再计算。 ⑥ 易错点：减法化加法漏变号；省略加号后符号错误；运算顺序错。 【常见考法】直接计算加减混合算式；将混合运算统一成加法；判断过程是否正确。 【典例3】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 题型 4 有理数加减中的简便运算 【解题技巧】 ① 前提：先统一成加法，写成省略加号括号形式，再用交换律和结合律。 ② 相反数结合：互为相反数的两数先加，和为0。如－3＋5＋3＝(－3＋3)＋5＝5。 ③ 同号结合：正数一组、负数一组，分别相加再求和。如－5＋3－8＋2＝(3＋2)＋(－5－8)＝－8。 ④ 凑整结合：能凑整数的先加。如3.2＋1.8－5＝(3.2＋1.8)－5＝0。 ⑤ 同分母结合：分数相加时同分母先结合，减少通分。 ⑥ 拆分法：带分数拆成整数和分数部分，分别结合计算。 ⑦ 易错点：移动数忘记带符号；括号使用错误。 【常见考法】运用运算律简便计算；判断方法是否正确；多个有理数连加连减的简便运算。 【典例4】．计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】．计算： 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项结合，将分数统一转化为小数形式后再进行简便计算． 【详解】， 原式 【变式2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型 5 有理数加减混合运算的应用 【解题技巧】 ① 温度变化：初始温＋各次变化量（上升正、下降负）＝最终温。如－2＋5－8＝－5℃。 ② 行程位移：规定正方向，各段位移带符号相加，结果正负表方向，绝对值表总位移大小。 ③ 收支流水：收入正支出负，所有收支相加得最终结余。 ④ 海拔水位：上升正下降负，初始＋变化＝最终。 ⑤ 比赛积分：胜正负负，各场相加得总分。 ⑥ 步骤：审题意 → 定正负 → 列算式 → 简便计算 → 解释结果（带单位和方向）。 ⑦ 易错点：正负方向错；变化量符号反；忘说明实际意义。 【常见考法】温度变化、行程位移、收支流水、积分累计。 【典例5】．振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【答案】B 【分析】质量最多相差就是质量最重的－质量最轻的．千克的意思是大米的标准重量是25千克，但是或有轻微的误差，即最轻是（千克），最重就是（千克）．则这三种品牌的大米最重比25千克多0.3千克，最轻比25千克少0.3千克．最多相差0.6千克． 【详解】解： （千克） 即这两袋米的质量最多相差0.6千克． 【变式1】．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 【变式2】．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【答案】 【分析】根据有理数加减运算法则计算即可 【详解】解：根据题意可得，半夜的气温为：， 【变式3】．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 首先列式得到，得到标记线按顺时针转了格，进而求解即可． 【详解】解：∵一组开锁密码为“，，” ∴， ∴标记线按顺时针转了格， ∵ ∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故答案为：． 题型 6 省略加法和括号的形式 【解题技巧】 ① 方法：先减法化加法，再省略每个加数的括号和前面的加号。 ② 示例：(－20)＋(＋3)－(－5)＋(－7) → －20＋3＋5－7。 ③ 读法一（性质符号）：负20、正3、正5、负7的和。 ④ 读法二（运算符号）：负20加3加5减7。 ⑤ 计算：可从左到右或用运算律，移动数必须连带符号。 ⑥ 还原：需要时可还原为带括号的加法形式，如－5＋3－2＝(－5)＋(＋3)＋(－2)。 ⑦ 易错点：第一个数的符号不能省；误读第一个数为运算符号；移动数忘带符号。 【常见考法】写成省略形式；读出式子；省略形式下计算；判断省略形式是否正确。 【典例6】．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 【变式1】．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式2】．不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． 【变式3】．把写成省略括号和加号的形式为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号． 【详解】解：把写成省略括号和加号的形式为． 故答案为：． 1．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 2．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 3．数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（     ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】先求出的相反数，再计算两点距离即可． 【详解】解：∵的相反数是， 数轴上两点间的距离等于较大数减去较小数， ∴两点距离为． 4．北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 5．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 6．某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 7．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 8．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 9．某市2026年春节连续四天的天气预报信息如表所示，其中日温差最大的一天是（    ） 2月16日（除夕） 2月17日（春节） 2月18日（初二） 2月19日（初三） 晴 西北风级 多云 北风级 阴 北风级 阴 北风级 A．2月16日 B．2月17日 C．2月18日 D．2月19日 【答案】C 【分析】日温差为当日最高气温减去当日最低气温，计算出四天的日温差后比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 日温差最高气温最低气温 ∴ 分别计算四天的日温差： 2月16日：， 2月17日：， 2月18日：， 2月19日：， ∵ ， ∴ 2月18日的日温差最大． 10．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 11．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵点、表示的数分别为、， ∴线段的长为． 12．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【答案】0 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 13．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元； 14．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 11 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：（分钟）， 整理小实验台：（分钟）； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费（分钟）； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在10分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个大实验台和一个小实验台的步骤③，耗时2分钟是包含在前面两人的10分钟里的，然后等学生1和学生2两人做完后，学生再分别整理小试验台的步骤③，耗时1分钟，所以一共是（分钟）． 15．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 16．微信支付是当下快捷方便的一种支付方式，下表是李叔叔某天的微信账单 微信红包 元 美团外卖 元 淘宝网 元 银行卡转账 元 微信转账 元 (1)元表示___________元，元表示___________元．(填收入或支出) (2)李叔叔这天结余多少钱？ 【答案】(1)支出；收入 (2)元 【分析】本题主要考查正负数的应用、有理数加减运算等知识， （1）根据正负数表示相反意义的量，即可获得答案； （2）将李叔叔这天所以微信账单数值相加，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据正负数表示相反意义的量，在微信账单中，负数对应支出行为，正数对应收入行为， 则元表示支出元，元表示收入元． （2）解：李叔叔这天的结余为李叔叔这天， (元) 答：李叔叔这天结余元． 17．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 18．某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 19．随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 20．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 21．阅读以下材料，并回答问题． (1)如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（本题中，数轴上1个单位长度代表．） 由此可得，a的值为_______． (2)借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是110岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)5 (2)如图所示， 小明现在10岁，爷爷现在60岁 证明：点A表示的数表示小明现在的年龄，点B表示的数表示小明爷爷现在的年龄，的两端分别落在点A、B． 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为，当点M移动到点B时，点N所对应的数为110． ∴， ∴， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴小明现在10岁，爷爷现在60岁． 【分析】本题主要考查了数轴上的两点之间的距离计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）仿照题意画出对应的示意图，求出线段的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5， ∴， ∴，即； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $