2.3.3点到直线的距离公式（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离公式”，通过“仓库到铁路最短距离”的现实问题导入，前情回顾两点距离、两直线交点等旧知，搭建从几何直观到代数推导的学习支架。 其亮点在于采用代数法和向量法双路径推导公式，培养学生逻辑推理的数学思维，结合三角形面积计算、最值问题等实例，强化数学语言的应用表达。练习分层且题型典型，助力学生巩固公式应用，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第二章 直线和圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式 前情回顾 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离   一起来探讨这个简单的问题吧！ 两点间的距离公式： 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 学 习 目 标 1 2 3 理解点到直线的距离公式的几何含义和推导过程. 会运用点到直线的距离公式求点线距和直线方程. 能灵活应用公式解决点线距离的最值问题. 我们一起来探究“点到直线的距离公式”吧！ 读教材 阅读课本P74-P77，5分钟后完成下列问题： 1. 平面直角坐标系中点到直线的距离公式是什么？ 2. 点到直线和到直线的距离怎么表示？ 新课引入 在铁路的附近，有一大型仓库。现要修建一条公路与之连接起来， 易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线， 仓库看作点 . 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 点到直线的距离公式 2 题型训练 新知探究1 怎么求已知点到确定直线的距离呢？ 思考1 如图什么是点到直线的距离？ 到直线的距离是从到直线的垂线段的长度 思考2 点到轴,轴的距离？到直线,直线的距离呢？ x0 y0 |y0| |x0| x y P0 (x0,y0) O x1 y1 x y P0 (x0,y0) O |x1－x0| |y1－y0| 新知探究1 探究1 如何求点到直线的距离？ 思考1：如何求 ？ 思考2：如何求出点的坐标？ 找的坐标，然后由两点距离公式 为直线与直线的交点 思考3：如何求的方程？ 点斜式：已知点的坐标，PQ·=－1求直线的斜率 代数法 新知探究1 探究1 已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 找的坐标，然后由两点距离公式 为直线与 直线的交点 点斜式：已知点的坐标， PQ·=－1求直线的斜率 代数法 设，.由，以及直线的斜率为， 可得的垂线的斜率为，因此，的方程为： ，即. 解方程组 ① 得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为： 于是： 新知探究1 思考1：如何求 ？ 思考2：如何求出的坐标？ 的方向向量为则与垂直的向量为 向量法 探究1 如何求点到直线的距离？ 新知探究1 向量法 探究1 已知点，直线, 如何求点到直线的距离？ 解：的方向向量为 所以与的方向向量垂直的向量为 从而 因为点在直线上，所以， 所以，代入上式得 因此= 概念 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式： 点到直线的距离公式： 注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值； (2)此公式是在的前提下推导的，可以验证， 如果或，此公式也成立. 分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 练习巩固 练习1 求原点到下列直线的距离： (1)； (2) 解：(1) (2) 练习巩固 练习2 求下列点到直线的距离： (1) (－2,3)， ； (2) (1,0)， (3) (1,—2)， 解：(1) (3) 练习巩固 练习3 已知点(－1，2)到直线 的距离为1，求的值？ 解：由已知条件及点到直线的距离公式得： 解得 练习4 求过点，且与原点的距离等于的直线方程？ 解：∵所求直线过，斜率存在，∴设其方程为， 即，又∵原点到直线的距离等于，∴， 解得或故直线方程为或. 学习过程 01 03 02 目录 1 点到直线的距离公式 2 题型训练 点到直线距离公式的应用 题型1 题型探究 例1 求下列点到相应直线的距离： (1)求点到直线的距离； (2)求点到直线的距离； (3)求点到直线的距离； (4)求点到直线的距离. 点到直线距离公式的应用 题型1 题型探究 例2 已知的三个顶点分别是(1，3)，(3，1)，(－1，0)， 求的面积？ 解：所在直线的方程为，即. 点到直线的距离： . . 因此，. O x y A(1,3) B(3,1) C (－1,0) h 点到直线距离公式的应用 题型1 题型探究 例3 直线过点(3,3)，若(1,2)到直线的距离为2，求直线的方程？ 解：① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为满足条件； ② 直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即由题意可得＝2，解得－， 所以直线的方程为. 综上，可得直线的方程为或. 点到直线距离公式的应用 题型1 题型探究 例4 已知点求过点且与原点距离为2的直线 的方程？ 解：① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，符合题意; ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， ，由点到直线的距离公式得， 解得 ，所以直线的方程为 综上所述，直线的方程为或 点线距的最值问题 题型2 题型探究 例5 已知点，点为直线上动点，两点间距离的最小值？ 解：由题意可知，当直线与直线垂直时， 两点间距离最小，点到直线的距离 . 点线距的最值问题 题型2 题型探究 例6 已知实数满足，求的最小值？ 解： 表示直线上的动点到点(0,－3)的距离， 过点(0,－3)向直线作垂线，由垂线段最短知： 的最小值为点(0,－3)到直线的距离， 即 ＝ . 点线距的最值问题 题型2 题型探究 例7 (1)当到直线的距离最大时，求实数？ 解：直线可化为－1由点斜式方程可知 直线恒过定点且斜率为，结合图象（图略）可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，此时·解得m＝－1. 例7 (2)求点到直线距离的最大值？ 解：直线恒过，当直线与，的连线垂直时 距离最大，且最大值为 ＝ . 课堂小结 点到直线的距离公式： 分子是点坐标代入直线方程左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 到直线的距离是从到直线的垂线段的长度 点到直线的距离公式： 感谢聆听! $