第四章 指数函数与对数函数单元试卷- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数与对数函数单元卷，120分钟150分，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合基础运算与实际应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域、对数运算、函数性质（如第1题定义域、第5题比较大小）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多项选择|3/18|对数性质、函数奇偶性与单调性（如第9题对数等式判断）|深化理解，考查综合分析| |填空|3/15|函数值域、零点问题（如第14题函数零点范围）|能力提升，强调逻辑推理| |解答题|5/77|实际应用（如第18题芦荟种植成本建模）、综合运算（如第19题对数函数定义域与值域）|创新应用，体现数学建模与运算能力|

第四章　指数函数与对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.2log6+3log6=(　　) A.0 B.1 C.6 D.log6 3.用二分法求方程x3+3x-7=0在区间(1,2)内的近似解的过程中,构造函数f(x)=x3+3x-7,计算得f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,f(1.75)>0,则这个解所在的区间是(　　) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,1.75) D.(1.75,2) 4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增的是(　　) A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x3 5.已知a=1.20.7,b=log1.20.7,c=log0.50.7,则(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 6.人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足d(x)=9lg.一般两人小声交谈时,声音的等级约为45 dB,在有50人的课堂上讲课时,老师声音的等级约为63 dB,则老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　) A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1 000倍 7.在平面直角坐标系中,函数f(x)=的图象大致是(　　) 8.已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围为(　　) A.(e,e2) B.(1,e2) C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列等式不成立的是(　　) A.log2(8-4)=log28-log24 B.=log2 C.log28=3log22 D.log2(8+4)=log28+log24 10.设函数f(x)=ln(x2-x+1),则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)为增函数 C.函数f(x)的值域为R D.函数f(x)的图象关于直线x=对称 11.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有(　　) A.f(x)在区间(1,2)内单调递增 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4 D.f(x)有且仅有两个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为　　　　　.  13.若函数g(x)=-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为　　　　　.  14.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求值: (1)(-1)0+; (2)+lo8-lg +lg 25-lg-ln . 16.(15分)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0<x1<1<x2<4,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(9,2). (1)求a的值; (2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间. 18.(17分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表: t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt; (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 19.(17分)已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域. (2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域. (3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间内的取值范围为(1,2)?若存在,求a,b的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、单项选择题 1.C 解析:由题意,可知x2-x>0,解得x<0或x>1,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 2.B 解析:原式=log62+log63=log66=1. 3.B 解析:因为f(1.25)<0,f(1.5)>0,所以f(1.25)·f(1.5)<0.又函数f(x)的图象是连续不断的曲线,所以根据函数零点存在定理可知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.5)内,即方程x3+3x-7=0的解所在的区间是(1.25,1.5).故选B. 4.A 解析:y=x3是奇函数.y=|x|,y=2|x|是偶函数,但在区间(-∞,0)内单调递减.y=x-2是偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.故选A. 5.B 解析:因为函数y=1.2x在R上单调递增,所以1.20.7>1.20=1,即a>1. 因为函数y=log1.2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以log1.20.7<log1.21=0,即b<0.因为函数y=log0.5x在区间(0,+∞)上单调递减,所以0=log0.51<log0.50.7<log0.50.5=1,即0<c<1.所以b<c<a.故选B. 6.C 解析:当d(x)=45时,9lg=45,解得x=10-8.当d(x)=63时,9lg=63,解得x=10-6.=100.故选C. 7.A 解析:f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)>0,故排除B,D. 当x趋于+∞时,f(x)趋于0,故排除C.故选A. 8.A 解析:画出函数f(x)的图象,如图所示. 当x>e时,由f(x)=2-ln x=0,得x=e2. 设a<b<c,由题意可知0<a<1,1<b<e,e<c<e2, 所以|ln a|=|ln b|,即-ln a=ln b,即ln a+ln b=ln ab=0,可得ab=1.所以abc=c∈(e,e2).故选A. 二、多项选择题 9.ABD 解析:对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1, 所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误. 对于B,因为,log2=log22=1, 所以≠log2,所以B错误. 对于C,因为log28=log223=3log22,所以C正确. 对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD. 10.AD 解析:因为x2-x+1=>0恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,故A正确. 函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,故B错误. 因为x2-x+1=,所以f(x)≥ln,所以函数f(x)的值域为,故C错误. 因为f=ln=f,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确. 故选AD. 11.ABD 解析:作出f(x)的图象,如图所示. 由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A正确. f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确. 令f(x1)=f(x2)=k(k>0),则直线y=k与f(x)的图象有4个交点,故点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))不一定关于直线x=2对称,即x1+x2=4不一定成立,故C错误. f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即f(x)仅有两个零点,故D正确. 故选ABD. 三、填空题 12.[1,+∞) 解析:当x≤0时,f(x)=1, 当x>0时,f(x)=2x>1, 所以函数f(x)的值域为[1,+∞). 13.[-1,+∞) 解析:因为g(x)在R上单调递减,所以若g(x)的图象不经过第一象限,则g(0)≤0,即-3≤0,解得m≥-1. 14. 解析:函数g(x)=f(x)-x+a存在3个零点等价于函数f(x)与y=x-a的图象有3个交点. 画出函数f(x)和y=x-a的图象,如图所示. 由图知,要使函数f(x)与y=x-a的图象有3个交点,需-<-a≤0,即0≤a<. 四、解答题 15.解:(1)原式=1+π-3+(23=π. (2)原式=-log28-lg +lg 25-lg 8-ln =9-3+lg=6+lg 10-. 16.解:由题意可知 即 解得-<m<-. 故实数m的取值范围为(-,-). 17.解:(1)由题意知f(9)=loga9=2,解得a=3. (2)由(1)知g(x)=f(2-x)+f(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x). 由得-2<x<2, 所以g(x)的定义域为(-2,2). 又g(-x)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x), 所以g(x)是偶函数. g(x)=log3(2-x)+log3(2+x)=log3(4-x2), 令u=4-x2,因为函数y=log3u为增函数,函数u=4-x2在区间(-2,0]上单调递增,所以g(x)的单调递增区间为(-2,0]. 18.解:(1)由所提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市时间t的增加先减少再增加. 若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述. 将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c,可得解得 所以,最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+. (2)当t=-=150时,Qmin=×1502-×150+=100. 故芦荟种植成本最低时的上市天数为150,最低种植成本为100元/10 kg. 19.解:(1)由>0,解得x<-1或x>1, 故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)当a=2时,f(x)=log2, 则y=f(2x)=log2=log2. 由>0,得2x>1, 所以∈(0,+∞),1+∈(1,+∞), 所以log2∈(0,+∞), 所以y=f(2x)的值域是(0,+∞). (3)因为f(x)=loga=loga, 所以当a>1时,f(x)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减, 当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增. 又f(x)在区间内的取值范围为(1,2), 所以当a>1时, 即 解得 当0<a<1时, 即 由题意易知⊆(1,+∞),所以b>1,此时1+=a无解,故不存在a,b满足题意. 综上所述,存在a=2,b=满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $