2.3.3 点到直线的距离公式 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层覆盖基础应用到综合探究，梯度衔接公式直接应用、对称反射转化、几何综合问题，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力、空间观念及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到直线距离公式直接应用|单选（1-5题）聚焦公式直接计算，如点到直线距离求解，巩固运算能力| |提升层|公式灵活应用与转化|单选/多选（6-10题）涉及对称点、反射光线等，需转化为距离问题，发展推理能力| |综合层|几何综合与实际情境|填空/解答（11-15题）结合三角形、光线反射等情境，需多步骤建模，体现空间观念与应用意识|

2.3.3 点到直线的距离公式限时训练 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 11．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 12．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 13．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 14．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 15．（25-26高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式限时训练 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 4．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 5．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 7．（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 9．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 10．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对于A，求出直线的中垂线方程，与直线方程联立可求出点坐标；对于B，设，根据选项结合向量垂直关系即可判断B；对于C，利用两点间的距离公式依次求解判断即可；对于D，利用对称关系即可求解. 【详解】对于A：由于点，，则的方程为， 则直线的中垂线方程为， 联立，解得， 所以当时，，故A正确； 对于B：设，则，， 要使， 则， 则，方程无解，故与不垂直，故B错误； 对于C：设，若， 则，即， 由，所以方程有解，则存在点，使得，故C正确； 对于D：设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 因为，所以存在点，使得.D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【分析】设出对称点为，根据对称点求解的方法得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 12．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 13．（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    14．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点距离公式求底边，由点到直线距离公式求高，代入面积公式计算； （2）由“垂直”、“平分”列式求解对称点坐标； （3）由求解. 【详解】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 15．（25-26高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $