专题04有理数加法与减法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、相反数及与0相加）、运算律（交换律、结合律）及简便技巧，衔接减法法则（转化为加法，两变一不变）与混合运算步骤，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于题型分类系统（10种基础题型+拔高题，难度分级），结合生活应用案例（如考试成绩、科技馆参观时间规划）培养应用意识，通过易错点辨析强化运算能力，解题思路清晰，课中辅助分层教学，课后助力针对性查漏补缺。

专题04有理数加法与减法精讲学案 核心立意： 理解有理数加、减法的运算法则，严格遵循先定符号，后算绝对值的运算顺序；熟练运用加法交换律、结合律进行简便运算，体会减法转化为加法的转化思想，夯实有理数运算基础。 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③互为相反数的两个数相加得0； ④一个数同0相加，仍得这个数。 有理数加法运算律： ①加法交换律：a+b=b+a； ②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可以调换加数位置，分组结合实现简便运算。 有理数加法简便运算技巧： ①互为相反数优先相加凑0； ②同号的数优先集中相加； ③同分母分数、能够凑整的小数优先结合计算。 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式：a-b=a+(-b)；运算两变：减号变为加号、减数变为它的相反数，被减数保持不变。 有理数加减混合运算步骤： ①把全部减法统一转化为加法运算； ②省略括号和加号，写成省略加号的和的形式； ③运用加法运算律分组简便计算； ④先确定结果符号，再计算绝对值，得出最终结果。 重点辨析 1. 有理数运算核心原则：先定符号，后算绝对值，符号判断是有理数运算的关键。 2. 异号两数相加，用较大绝对值减去较小绝对值，结果符号跟随绝对值较大的加数。 3. 减法没有独立运算规则，所有减法运算都要转化为加法，不能直接对数字符号做减法。 4. 0加任意数、任意数减0，结果仍为原数；一个数减去它本身，计算结果为0。 1. 同号两数相加，只计算绝对值，遗漏结果符号。 2. 异号两数相加，用较小绝对值减去较大绝对值，运算顺序颠倒。 3. 进行减法运算，错误改动被减数，或者只改动数字，不改变符号。 4. 加减混合运算去括号时，多重符号化简出现错误。 5. 使用运算律移动加数时，忘记连带数字前面的符号一起移动。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一：有理数加法运算 解题思路：①判断加数是同号还是异号；②同号相加，取相同符号，绝对值相加；③异号相加，取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；④互为相反数相加得0，一个数加0仍得原数。 1．下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 两数之和为，其中一个加数为， ∴ 另一个数为， 观察四个选项，只有选项B符合题意． 2．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 3．下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 【详解】解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． 4．在的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是______． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】112 【分析】本题主要考查了选数求和．熟练掌握选数规则，分类讨论求和，是解题的关键．根据选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数求和有8种情况，分别计算比较即得． 【详解】解：选中4个数分以下8种情况： 图1：， 图2：， 图3：， 图4：， 图5：， 图6：， 图7：， 图8：， ∴4个数和的最大值为112． 故答案为：112． 题型二：有理数加法中的符号问题 解题思路：①牢记运算原则：先定符号，后算绝对值；②同号相加，结果符号与加数符号一致；③异号相加，结果符号跟随绝对值更大的加数；④涉及字母时，注意分类讨论正负、绝对值大小。 5．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 6．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 7．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型三：有理数加法在生活中的应用 解题思路：①读懂题干，把实际意义的量转化为有理数；②根据题意列出加法算式；③依据加法法则计算；④结合实际情境解释结果，写出答语。 8．若某次数学考试标准成绩定为87分，规定高于标准记为正，小王同学的成绩记作：分，则他的实际得分为_______分． 【答案】95 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的加法应用，根据正负数的意义，记作正数表示高于标准成绩，因此实际得分等于标准成绩加上记作的数值． 【详解】解：标准成绩为87分，小王同学的成绩记作分，表示比标准成绩高8分， 因此实际得分为分． 故答案为：95． 9．平年和闰年上半年的天数相比（     ） A．平年上半年天数多 B．一样多 C．闰年上半年天数多 D．无法判断 【答案】C 【分析】平年与闰年仅月天数不同，上半年其余月份天数固定，可通过比较月天数判断上半年总天数的多少． 【详解】解：上半年包含至月，其中月、月、月各有天，月、月各有天， 平年月有天，上半年总天数为（天）， 闰年月有天，上半年总天数为（天）， ， ∴闰年上半年天数多． 10．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完______个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序______． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 【答案】 4 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为、的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15 分钟），（30 分钟），（45分钟），（60 分钟），（60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完、B、C、A等4个展馆用时150分钟． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4；． 11．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时标记线对准的数是3，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转4个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示的数是“5”．一组开锁密码为“，，”，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是（  ） A．2 B． C．38 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的应用及有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算，根据结果的符号及绝对值即可判断锁打开时标记线对准的刻度线表示的数． 【详解】解：题意得，， 由结果知，锁打开时标记线对准的刻度线在“0”刻度线左侧2格，表示的数是38， 故选：C． 题型四：有理数加法运算律 解题思路：①交换律：a+b=b+a，可调换加数位置；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可分组结合；③移动加数时，必须连带数字前面的符号一起移动。 12．计算：的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法结合律，解决本题的关键在于运用加法结合律时，要对符号进行正确处理. 根据加法的结合律，逐一判断选项的正误. 【详解】解：A、，选项说法正确，不符合题意； B、原式，选项说法正确，不符合题意； C、原式，选项说法错误，符合题意； D、原式，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 14．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 15．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 题型五：有理数的减法运算 解题思路：①利用减法法则转化为加法：a-b=a+(-b)；②记住“两变一不变”：减号变加号、减数变相反数，被减数不变；③转化完成后，按有理数加法法则计算结果。 16．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 18．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法和减法的实际应用，先分别求出与3相邻的另一个数和与5相邻的另一个数，然后将两个数相加即可得出答案． 【详解】解：根据题意与3相邻的另一个数为：， 与5相邻的另一个数为：， ∴涂色圈里的数是， 故答案为：． 19．有4个数：，，，3，任意取其中两个数求差记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a与b的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：，，即为一种“连差操作”．给出下列说法： ①不存在“连差操作”，使其结果为0 ②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10 ③所有的“连差操作”，共有5种不同的结果 以上说法正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数减法，先确定所有可能的“连差操作”情况，计算每种情况的结果，再根据结果判断三个说法的正确性． 【详解】解：四个数中任取两个数作为第一组，剩下的两个作为第二组，共有3种分组方式（无序分组），每种分组方式中，组内两数顺序不同会导致差值不同，需分别计算第一组差值a和第二组差值b，再计算． 分组方式1：组，组或组，组 情况1：； 情况2：； 情况3：； 情况4：； 情况5：； 情况6：； 情况7：； 情况8：； 分组方式2：组，组或组，组 情况1：； 情况2：； 情况3：； 情况4：； 情况5：； 情况6：； 情况7：； 情况8：； 分组方式3：组，组或组，组 情况1：； 情况2：； 情况3：； 情况4：； 情况5：； 情况6：； 情况7：； 情况8：； 所有结果： (共5种不同结果)， 存在结果为0的情况，故说法①错误， 结果中包含10，故说法②正确， 不同结果为，共5种，故说法③正确， 所以说法正确的有2个， 故选：C． 题型六：有理数减法的实际应用 解题思路：①分析题意，分清被减数、减数；②列出减法算式；③减法统一转化为加法运算；④计算后结合实际意义作答。 20．在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为，固态氧的熔点为，固态酒精的熔点比固态氧的熔点高________． 【答案】101 【详解】解：. 21．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为：， 22．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 23．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 题型七：有理数的加减混合运算 解题思路：①全部减法统一转化为加法；②写成省略括号与加号的形式；③合理使用运算律分组；④先定符号，再算绝对值，求出最终结果。 24．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算，先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：A． 25．计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键． 根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 26．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值．本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的运算及找到数的和的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 27．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 题型八：有理数加减中的简便运算 解题思路：①互为相反数优先相加凑0；②同号数集中分组；③同分母分数、可凑整小数优先结合；④移动数字，一定要连带前面的性质符号。 28．下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的简便运算，掌握分数和分数相加，小数和小数相加，先交换加数的位置，再结合是关键． 【详解】解：观察所给式子的计算过程可得： ，运用了加法交换律， ，运用了加法结合律， 故选C． 29．填写下列运算的依据 ________ ________． 【答案】 加法结合律 有理数加法法则 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．第一个步骤将算式分组结合，依据加法结合律；第二个步骤计算异号两数相加，依据有理数加法法则． 【详解】解：在计算过程中，第三步将算式分组为，这应用了加法结合律，即多个有理数相加，可以先将同号数结合相加； 第五步计算得到，这应用了有理数加法法则，即异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法结合律，有理数加法法则． 30．找规律计算：______． 【答案】 【分析】先将原式转化为，再进一步变形为，然后计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，将裂项折成是解答本题的关键． 31．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 题型九：有理数加减混合运算的应用 解题思路：①将实际数据转化为有理数；②列出加减混合算式；③优先选用简便运算技巧计算；④将计算结果还原回实际情境作答。 32．“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 【答案】 【分析】本题考查了正负数及有理数的加减法在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据题意，以为标准，低于标准记为负，高于标准记为正即可求解． 【详解】解：根据题意得：，下潜深度达到记作， ∴下潜深度为记作：， 故答案为：． 33．生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（   ） A．质量，直径 B．质量，直径 C．质量，直径 D．质量，直径 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减的应用． 根据求出乒乓球质量、直径的合格范围进而判断即可． 【详解】解：由题意知，乒乓球质量的合格范围为，即， 乒乓球直径的合格范围为，即， 只有C乒乓球质量、直径均在合格范围内． 故选：C． 34．根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是______． 【答案】年月 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 35．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 题型十：省略加法和括号的形式 解题思路：①先把所有减法转化为加法；②去掉括号和括号前的加号，保留数字的性质符号；③括号前面为负号时，括号内每一项都要变号；④读式时，把正负号看作数字本身的性质符号。 36．算式写成省略加号的和式是______． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则． 利用去括号法则即可求解． 【详解】解：原式，根据去括号法则，减去一个负数等于加上这个负数的相反数，加上一个负数等于减去这个负数的绝对值， 因此，， 故原式写成省略加号的和式是． 故答案为：． 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 38．把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 39．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 解答题 1．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据有理数的减法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 3．平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 4．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 5．为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 【答案】(1)步行距离最长的一天比最短的一天多走了； (2)小华这五天一共走了 (3)小华这周的步行量能拿到奖状 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正负数的实际意义及实际问题中的数量关系分析，关键是理解表格中“”“”代表的超出或不足标准量的含义，结合每天千米的标准来计算实际距离． （1）只需找出偏差值的最大与最小值，计算两者的差值即可得到最长与最短步行距离的差； （2）将5天的标准总距离与每天的偏差值相加得到总偏差，两者相加即为实际总路程； （3）用总路程乘以每千米消耗的热量得到总消耗，再与大卡的标准比较，就能判断是否能拿到奖状． 【详解】（1）解：最长一天的超出量为，最短一天的超出量为， 两者的差值为， 即步行距离最长的一天比最短的一天多走了； （2）解：， ． 答：小华这五天一共走了； （3）解：总消耗热量为， ∵， ∴小华这周的步行量能拿到奖状． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数加法与减法精讲学案 核心立意： 理解有理数加、减法的运算法则，严格遵循先定符号，后算绝对值的运算顺序；熟练运用加法交换律、结合律进行简便运算，体会减法转化为加法的转化思想，夯实有理数运算基础。 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③互为相反数的两个数相加得0； ④一个数同0相加，仍得这个数。 有理数加法运算律： ①加法交换律：a+b=b+a； ②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可以调换加数位置，分组结合实现简便运算。 有理数加法简便运算技巧： ①互为相反数优先相加凑0； ②同号的数优先集中相加； ③同分母分数、能够凑整的小数优先结合计算。 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式：a-b=a+(-b)；运算两变：减号变为加号、减数变为它的相反数，被减数保持不变。 有理数加减混合运算步骤： ①把全部减法统一转化为加法运算； ②省略括号和加号，写成省略加号的和的形式； ③运用加法运算律分组简便计算； ④先确定结果符号，再计算绝对值，得出最终结果。 重点辨析 1. 有理数运算核心原则：先定符号，后算绝对值，符号判断是有理数运算的关键。 2. 异号两数相加，用较大绝对值减去较小绝对值，结果符号跟随绝对值较大的加数。 3. 减法没有独立运算规则，所有减法运算都要转化为加法，不能直接对数字符号做减法。 4. 0加任意数、任意数减0，结果仍为原数；一个数减去它本身，计算结果为0。 1. 同号两数相加，只计算绝对值，遗漏结果符号。 2. 异号两数相加，用较小绝对值减去较大绝对值，运算顺序颠倒。 3. 进行减法运算，错误改动被减数，或者只改动数字，不改变符号。 4. 加减混合运算去括号时，多重符号化简出现错误。 5. 使用运算律移动加数时，忘记连带数字前面的符号一起移动。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点 题型一：有理数加法运算 解题思路：①判断加数是同号还是异号；②同号相加，取相同符号，绝对值相加；③异号相加，取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；④互为相反数相加得0，一个数加0仍得原数。 1．下列数中与的和为0的是（     ） A． B．6 C． D． 2．计算：________． 3．下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 4．在的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是______． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 题型二：有理数加法中的符号问题 解题思路：①牢记运算原则：先定符号，后算绝对值；②同号相加，结果符号与加数符号一致；③异号相加，结果符号跟随绝对值更大的加数；④涉及字母时，注意分类讨论正负、绝对值大小。 5．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 6．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 7．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：有理数加法在生活中的应用 解题思路：①读懂题干，把实际意义的量转化为有理数；②根据题意列出加法算式；③依据加法法则计算；④结合实际情境解释结果，写出答语。 8．若某次数学考试标准成绩定为87分，规定高于标准记为正，小王同学的成绩记作：分，则他的实际得分为_______分． 9．平年和闰年上半年的天数相比（     ） A．平年上半年天数多 B．一样多 C．闰年上半年天数多 D．无法判断 10．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完______个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序______． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 11．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时标记线对准的数是3，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转4个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示的数是“5”．一组开锁密码为“，，”，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是（  ） A．2 B． C．38 D．37 题型四：有理数加法运算律 解题思路：①交换律：a+b=b+a，可调换加数位置；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可分组结合；③移动加数时，必须连带数字前面的符号一起移动。 12．计算：的结果是____． 13．下列各式运用加法结合律变形错误的是（   ） A． B． C． D． 14．（1）计算：________． （2）计算：________． 15．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 题型五：有理数的减法运算 解题思路：①利用减法法则转化为加法：a-b=a+(-b)；②记住“两变一不变”：减号变加号、减数变相反数，被减数不变；③转化完成后，按有理数加法法则计算结果。 16．计算：________． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 18．如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，如，则涂色圈里的数是________． 19．有4个数：，，，3，任意取其中两个数求差记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a与b的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：，，即为一种“连差操作”．给出下列说法： ①不存在“连差操作”，使其结果为0 ②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10 ③所有的“连差操作”，共有5种不同的结果 以上说法正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型六：有理数减法的实际应用 解题思路：①分析题意，分清被减数、减数；②列出减法算式；③减法统一转化为加法运算；④计算后结合实际意义作答。 20．在1个标准大气压下，固态酒精的熔点为，固态氧的熔点为，固态酒精的熔点比固态氧的熔点高________． 21．如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 22．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 23．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 题型七：有理数的加减混合运算 解题思路：①全部减法统一转化为加法；②写成省略括号与加号的形式；③合理使用运算律分组；④先定符号，再算绝对值，求出最终结果。 24．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．9 25．计算：=______． 26．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 27．决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 题型八：有理数加减中的简便运算 解题思路：①互为相反数优先相加凑0；②同号数集中分组；③同分母分数、可凑整小数优先结合；④移动数字，一定要连带前面的性质符号。 28．下面的计算运用的运算律是（　　） ． A．加法交换律 B．加法结合律 C．先用加法交换律，再用加法结合律 D．先用加法结合律，再用加法交换律 29．填写下列运算的依据 ________ ________． 30．找规律计算：______． 31．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 题型九：有理数加减混合运算的应用 解题思路：①将实际数据转化为有理数；②列出加减混合算式；③优先选用简便运算技巧计算；④将计算结果还原回实际情境作答。 32．“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 33．生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（   ） A．质量，直径 B．质量，直径 C．质量，直径 D．质量，直径 34．根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是______． 35．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 题型十：省略加法和括号的形式 解题思路：①先把所有减法转化为加法；②去掉括号和括号前的加号，保留数字的性质符号；③括号前面为负号时，括号内每一项都要变号；④读式时，把正负号看作数字本身的性质符号。 36．算式写成省略加号的和式是______． 37．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 38．把写成省略加号的和的形式是_________． 39．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2) (3)； 2．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 3．平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 4．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 5．为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $