专题11分式及其基本性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式概念、有意义及值为零的条件、基本性质、约分与通分等核心知识，通过类比分数导入，搭建旧知与新知的学习支架，为分式运算奠定基础。 其亮点在于结合重点辨析与易错点分析，培养学生抽象能力和推理意识，分层题型设计（基础到拔高）助力运算能力提升。教师可高效开展教学，学生能系统掌握知识，减少常见错误。

专题11分式及其基本性质精讲学案 核心立意： 类比分数理解分式的概念，会判别分式；掌握分式有意义、无意义、分式值为零的条件；熟练运用分式的基本性质完成变形，掌握分式符号变换规律；会分式约分，识别最简分式，为后续分式通分、分式运算打好基础。 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 ①A为分子，B为分母； ②分式的分母必须含有字母；分母不含字母，则为整式； ③分式本质是两个整式相除的商。 分式有意义、无意义、值为0的条件 ①分式有意义：分母B≠0； ②分式无意义：分母B=0； ③分式的值为0：分子A=0同时分母B≠0；两个条件必须同时成立。 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式：, (M0) ①A、B、C都为整式； ②限制条件M0不可省略； ③分式符号法则：分子、分母、分式本身三处符号，同时改变两处，分式的值不变。 分式的约分与最简分式 ①约分依据：分式的基本性质； ②约分做法：找出分子、分母的公因式，分子分母同时除以公因式； ③最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式； ④约分最终结果要化成最简分式或者整式。 最简公分母 ①系数：取各个分母系数的最小公倍数； ②字母（因式）：取所有出现过的字母、因式； ③指数：相同字母/因式，取最高次幂； ④分母是多项式，必须先因式分解，再确定最简公分母。 分式的通分 ①通分依据：分式的基本性质； ②定义：把几个异分母分式，化为和原来分式相等的同分母分式； ③关键：准确找出各分式的最简公分母； ④操作：每个分式分子分母同时乘对应的因式。 重点辨析 1. 判断分式，看原式分母是否含有字母，不以化简后的结果作为判断依据。 2. 分式值等于0，不能只令分子等于0，必须保证分母不为0。 3. 使用分式基本性质，乘、除的整式不能等于0。 4. 约分是对分子、分母整体提取公因式，不能只约掉分子分母当中的部分项。 5. 分式符号变换，只允许同时改动两处符号，不能只改动一处。 6. 分母是多项式，找最简公分母、通分前，要先因式分解。 1. 判断分式，错误拿化简后的式子判断，忽略原式分母含有字母。 2. 求分式值为0，只令分子等于0，忽略分母≠0的限制条件。 3. 运用分式基本性质，忘记C≠0的前提条件。 4. 局部错误约分，不是约分子分母整体的公因式。 5. 分子、分母、分式本身三处符号混淆，符号变形出错。 6. 求最简公分母，系数错取最大公约数，相同字母错取最低次幂；多项式分母忘记因式分解。 7. 通分时，分母乘因式，分子忘记同步乘。 题型 考察方向 难度 题型一 分式的判断 ★ 题型二 分式无意义的条件 ★ 题型三 分式有意义的条件 ★ 题型四 分式值为零的条件 ★★ 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★ 题型六 判断分式变形是否正确 ★★ 题型七 求使分式变形成立的条件 ★★ 题型八 利用分式的基本性质判断分式值的变化 ★ 题型九 将分式的分子分母的最高次项化为正数 ★★ 题型十 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★ 题型十一 求使分式值为整数时未知数的整数值 ★★★ 题型十二 约分 ★★ 题型十三 最简分式 ★★ 题型十四 最简公分母 ★★★ 题型十五 通分 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 分式的判断 解题思路：①看原始原式，分母含有字母就是分式；②为常数，不能当作字母；③判断只看原式，不能用化简后的式子判定。 1．若是分式，则“”可以取（     ） A． B．2 C． D． 2．下列式子中是分式的是（     ） A．2 B． C． D． 3．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：分式无意义的条件 解题思路：①分式无意义，令分母=0；②解方程，求出对应未知数的值。 4．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知分式，当时，分式无意义，则______________． 6．当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 7．根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 题型三：分式有意义的条件 解题思路：①分式有意义，令分母0；②解不等式，得到未知数取值范围。 8．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 10．若式子有意义，则的取值范围是___________． 11．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 题型四：分式值为零的条件 解题思路：①令分子A=0，解出未知数；②将解代入分母检验，保证分母B0；③舍去使分母为0的解。 12．若分式的值为0，则__________． 13．已知分式的值为0，那么x的值为（     ） A．或2 B．0 C． D．2 14．若分式的值为，则的值为__________． 15．分式，当______时分式的值为零． 题型五：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题思路：对于分式，①值为正：分子分母同号，列或；②值为负：分子分母异号，列或；③解不等式组，合并解集，剔除分母等于0的取值。 16．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 17．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 18．已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 题型六：判断分式变形是否正确 解题思路：①依据分式基本性质，看分子分母是否同时乘、除以同一个不为0的整式；②检查乘除的整式是否存在为0的情况；③核对符号是否符合分式符号法则。 19．填空：，括号里应该填_______． 20．根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 21．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型七：求使分式变形成立的条件 解题思路：①对比变形前后分式，找出分子分母共同乘除的整式C；②写出限制条件C0。 22．若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 23．把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 24．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八：利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题思路：①按题意，把分子、分母中全部字母同步扩大或缩小；②化简变化后的新分式；③对比原式，判断分式值如何变化。 25．分式中，，同时扩大倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．无法计算 26．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 27．已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型九：将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：①找出分子、分母的最高次项，观察符号；②利用分式符号法则，同时改变两处符号；③整体提取负号，把最高次项系数化为正。 28．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 29．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 30．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十：将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：①找出分子、分母分数系数分母的最小公倍数；②分子分母整体同时乘这个公倍数；③化简得到系数全为整数的分式。 31．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 32．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 33．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：求使分式值为整数时未知数的整数值 解题思路：①对分式分离常数，写成“整数±分式”形式；②令分式部分的分母为分子的正负约数；③求出对应未知数；④回代检验，舍去分母等于0的解。 34．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 35．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 36．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型十二：约分 解题思路：①分子、分母可以因式分解的先因式分解；②找出分子分母整体公因式；③分子分母同除以公因式；④结果化为最简分式或者整式。 37．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 38．下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 39．下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十三：最简分式 解题思路：①把分子、分母分别因式分解；②查看分子分母是否还有公因式；③无公因式即为最简分式。 40．下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 41．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 42．若代数式是最简分式，则表示的可以是（     ） A． B．2 C． D． 题型十四：最简公分母 解题思路：①分母为多项式，先因式分解；②系数取各分母系数的最小公倍数；③取全部出现过的因式；④相同因式取最高次幂。 43．分式和的最简公分母是_________． 44．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 45．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 题型十五：通分 解题思路：①各个分母先因式分解，确定最简公分母；②求出每个分母变为公分母需要乘的因式；③分式分子分母同步乘对应因式；④化为同分母分式。 46．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 47．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 48．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．请你把小明的解题过程补充完整． 已知不论x取何值，分式总有意义，求m的取值范围． 解：． 2．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 3．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 4．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式及其基本性质精讲学案 核心立意： 类比分数理解分式的概念，会判别分式；掌握分式有意义、无意义、分式值为零的条件；熟练运用分式的基本性质完成变形，掌握分式符号变换规律；会分式约分，识别最简分式，为后续分式通分、分式运算打好基础。 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 ①A为分子，B为分母； ②分式的分母必须含有字母；分母不含字母，则为整式； ③分式本质是两个整式相除的商。 分式有意义、无意义、值为0的条件 ①分式有意义：分母B≠0； ②分式无意义：分母B=0； ③分式的值为0：分子A=0同时分母B≠0；两个条件必须同时成立。 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式：, (M0) ①A、B、C都为整式； ②限制条件M0不可省略； ③分式符号法则：分子、分母、分式本身三处符号，同时改变两处，分式的值不变。 分式的约分与最简分式 ①约分依据：分式的基本性质； ②约分做法：找出分子、分母的公因式，分子分母同时除以公因式； ③最简分式定义：分子与分母没有公因式的分式； ④约分最终结果要化成最简分式或者整式。 最简公分母 ①系数：取各个分母系数的最小公倍数； ②字母（因式）：取所有出现过的字母、因式； ③指数：相同字母/因式，取最高次幂； ④分母是多项式，必须先因式分解，再确定最简公分母。 分式的通分 ①通分依据：分式的基本性质； ②定义：把几个异分母分式，化为和原来分式相等的同分母分式； ③关键：准确找出各分式的最简公分母； ④操作：每个分式分子分母同时乘对应的因式。 重点辨析 1. 判断分式，看原式分母是否含有字母，不以化简后的结果作为判断依据。 2. 分式值等于0，不能只令分子等于0，必须保证分母不为0。 3. 使用分式基本性质，乘、除的整式不能等于0。 4. 约分是对分子、分母整体提取公因式，不能只约掉分子分母当中的部分项。 5. 分式符号变换，只允许同时改动两处符号，不能只改动一处。 6. 分母是多项式，找最简公分母、通分前，要先因式分解。 1. 判断分式，错误拿化简后的式子判断，忽略原式分母含有字母。 2. 求分式值为0，只令分子等于0，忽略分母≠0的限制条件。 3. 运用分式基本性质，忘记C≠0的前提条件。 4. 局部错误约分，不是约分子分母整体的公因式。 5. 分子、分母、分式本身三处符号混淆，符号变形出错。 6. 求最简公分母，系数错取最大公约数，相同字母错取最低次幂；多项式分母忘记因式分解。 7. 通分时，分母乘因式，分子忘记同步乘。 题型 考察方向 难度 题型一 分式的判断 ★ 题型二 分式无意义的条件 ★ 题型三 分式有意义的条件 ★ 题型四 分式值为零的条件 ★★ 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★ 题型六 判断分式变形是否正确 ★★ 题型七 求使分式变形成立的条件 ★★ 题型八 利用分式的基本性质判断分式值的变化 ★ 题型九 将分式的分子分母的最高次项化为正数 ★★ 题型十 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★ 题型十一 求使分式值为整数时未知数的整数值 ★★★ 题型十二 约分 ★★ 题型十三 最简分式 ★★ 题型十四 最简公分母 ★★★ 题型十五 通分 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 分式的判断 解题思路：①看原始原式，分母含有字母就是分式；②为常数，不能当作字母；③判断只看原式，不能用化简后的式子判定。 1．若是分式，则“”可以取（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 仅选项A的含有字母，选项B的、选项C的、选项D的均为常数， ∴取时，为分式． 2．下列式子中是分式的是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：各选项中，只有的分母含有字母，是分式． 3．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 题型二：分式无意义的条件 解题思路：①分式无意义，令分母=0；②解方程，求出对应未知数的值。 4．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式无意义，则分母为零， ∴， 解得． 5．已知分式，当时，分式无意义，则______________． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时，其分母的值为 将代入分式的分母，令分母等于，解关于的方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为． 当时，分母，代入得 即， 解得． 故答案为：． 6．当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 【答案】 【分析】本题根据分式无意义的条件和分式值为的条件求解．分式无意义时，分母为；分式值为时，需满足分子为且分母不为，分别列方程求解即可得到结果． 【详解】解：分式无意义， 解得； 分式的值为， 且， 又 得或，得， 所以． 7．根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件（分母为时分式无意义）和分式值为的条件（分子为且分母不为时分式值为），结合表格信息判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件：① 当时，无意义，可知时，分式分母为；② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为；③ 当时，，代入验证即可； A、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； B、中，当时，分母，无意义，符合条件①；当时，分子，分母，符合条件②；当时，，符合条件③，故该选项符合题意； C、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； D、中，当时，分子，，不符合条件②，排除． 题型三：分式有意义的条件 解题思路：①分式有意义，令分母0；②解不等式，得到未知数取值范围。 8．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴. 9．若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：分式有意义， 分母， 即， ∴． 10．若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且且 【分析】本题主要考查了分式和除法算式的有意义，掌握有意义的条件是解题的关键． 根据分式和除法算式有意义的条件：分母不为零，除数不为零即可求解． 【详解】解：式子中，第一个分式的分母，即； 第二个分式的分母，即； 又因为除数，所以分子，即， 综上可得，且且． 故答案为：且且． 11．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 题型四：分式值为零的条件 解题思路：①令分子A=0，解出未知数；②将解代入分母检验，保证分母B0；③舍去使分母为0的解。 12．若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】分式的值为需同时满足分子等于，分母不等于，先求出分子为时的取值，再排除使分母为的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为 ， ∴ 令，解得或， 又∵ 分母，即， ∴ 舍去， ∴． 13．已知分式的值为0，那么x的值为（     ） A．或2 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】分式值为0需满足分子为0，且分母不为0，先求解分子等于0的x值，再根据分母不为0排除不符合的解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴满足两个条件：分子，且分母， 解方程得或， 由得，故． 14．若分式的值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子为零对应的的值，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为，则需同时满足： ， 解方程，得， 由不等式，得， 故舍去，可得． 15．分式，当______时分式的值为零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，需满足分子等于零且分母不等于零，先求解使分子为零的的值，再舍去使分母为零的值，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为零，则需满足 且， 解，，解得或， 解，因式分解得 ，解得， ∴． 题型五：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题思路：对于分式，①值为正：分子分母同号，列或；②值为负：分子分母异号，列或；③解不等式组，合并解集，剔除分母等于0的取值。 16．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，根据同号得正列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 只有选项A符合条件， 故选：A． 17．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 18．已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 题型六：判断分式变形是否正确 解题思路：①依据分式基本性质，看分子分母是否同时乘、除以同一个不为0的整式；②检查乘除的整式是否存在为0的情况；③核对符号是否符合分式符号法则。 19．填空：，括号里应该填_______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】∵分母 乘 得到 ， ∴分子 也要同乘 ， ∴． 故答案为：． 20．根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 21．下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据分式的基本性质及符号变化规律判断各选项等式是否成立． 【详解】解：选项A：将的分子、分母同乘，得，与不相等，等式不成立； 选项B：无法分解为含因式的整式，不能约分得，等式不成立； 选项C：将的分母提取，得，与右侧相等，等式成立； 选项D：将的分子分母同时乘以，得，与不相等，等式不成立． 题型七：求使分式变形成立的条件 解题思路：①对比变形前后分式，找出分子分母共同乘除的整式C；②写出限制条件C0。 22．若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 23．把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可． 【详解】分式方程等式两边同时乘以得到 ∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意； B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意； C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意； D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意； 故选：B． 24．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 题型八：利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题思路：①按题意，把分子、分母中全部字母同步扩大或缩小；②化简变化后的新分式；③对比原式，判断分式值如何变化。 25．分式中，，同时扩大倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．无法计算 【答案】A 【详解】解：将，同时扩大倍后代入分式得： ． 故将，同时扩大倍后，分式的值与原式相等． 26．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、分别替换为原来的2倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 27．已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且均为正数， ，， ， ， ， ， ． 题型九：将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：①找出分子、分母的最高次项，观察符号；②利用分式符号法则，同时改变两处符号；③整体提取负号，把最高次项系数化为正。 28．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 29．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 30．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 题型十：将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：①找出分子、分母分数系数分母的最小公倍数；②分子分母整体同时乘这个公倍数；③化简得到系数全为整数的分式。 31．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 32．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 33．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型十一：求使分式值为整数时未知数的整数值 解题思路：①对分式分离常数，写成“整数±分式”形式；②令分式部分的分母为分子的正负约数；③求出对应未知数；④回代检验，舍去分母等于0的解。 34．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 35．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 36．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简．求出，再根据中不含和项，可判断①；求出，可判断②；求出，可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∵中不含和项， ∴， 解得：，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ， ∵的值为正整数， ∴9是的整数倍， ∴取， ∴x的值为， ∵的值为正整数， ∴x取3，5，11， ∴此时所有整数的值的和为，故③错误． 故选：D 题型十二：约分 解题思路：①分子、分母可以因式分解的先因式分解；②找出分子分母整体公因式；③分子分母同除以公因式；④结果化为最简分式或者整式。 37．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 38．下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：的分子与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 选项B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 选项C：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 选项D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 39．下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 题型十三：最简分式 解题思路：①把分子、分母分别因式分解；②查看分子分母是否还有公因式；③无公因式即为最简分式。 40．下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项，分子分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子与分母无公因式，是最简分式． 选项，分子因式分解为，与分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子可变形为，与分母有公因式，不是最简分式． 41．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 【答案】①⑤ 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式； ⑤是最简分式； ⑥，不是最简分式； 综上，是最简分式的有①⑤． 42．若代数式是最简分式，则表示的可以是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于A选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于B选项：当时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于C选项：当时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于D选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 题型十四：最简公分母 解题思路：①分母为多项式，先因式分解；②系数取各分母系数的最小公倍数；③取全部出现过的因式；④相同因式取最高次幂。 43．分式和的最简公分母是_________． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的乘积计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和， 和的最小公倍数是， 字母的最高次幂为， ∴ 两个分式的最简公分母是． 44．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 45．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 题型十五：通分 解题思路：①各个分母先因式分解，确定最简公分母；②求出每个分母变为公分母需要乘的因式；③分式分子分母同步乘对应因式；④化为同分母分式。 46．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 47．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 48．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 解答题 1．请你把小明的解题过程补充完整． 已知不论x取何值，分式总有意义，求m的取值范围． 解：． 【答案】 ． ∵不论取何值，该分式总有意义，， ∴， ∴． 【分析】根据配方法可得，再根据分式有意义的条件可得：，再解不等式即可． 此题主要考查了分式有意义的条件，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】略 2．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 3．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 4．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 5．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①②③ (2) (3)整数的值为或或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． （2）解： ． （3）解：∵为整数， ∴也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴所有可能的值为，，，， ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $